1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк приводим к упрощенной форме. Гл. 7. Системы линейных уравнений 158 '2. Проверяем совместность упрощенной системы, пользуясь теоремой Кронекера — Капелли. Признаком совместности системы является наличие базисного минора расширенной матрицы внутри основной матрицы системы. Система несовместна тогда н только тогда, когда в упрощенный вид расширенной матрицы входит строка ))00 ... 01)).
3. Решаем упрощенную систему уравнений, если она оказалась совместной. Допустим, что базисными являются первые г столбцов матрицы А совместной системы. Тогда упрощенная расширенная матрица имеет вид 3 10...0оы...а1п 0 1 ... 0 о21 ... е12 и — и (6) О О ... 1 ап1 ... ппп .,дп 0 0 ... 0 0 ... 0 0 О 0 ...
0 ... 0 0 Ей соответствует упрощенная система уравнений Х1тОЫХпт1 т ...+О,, лип=А, (7) Хп+Оп1Хпт1+ .+Пап — пап =4" Неизвестные х1,...,х„, соответствующие базисным сголбцам матри- цЫ, НаЗЫВаЮтСя бааиСНЫМи, ОСтаЛЬНЫЕ НЕИЗВЕСТНЫŠ— Х,т1,...,Хп— свободными. Задав значения 61,..., Ь„п свободных неизвестных, находим базисные неизвестные из системы уравнений (7).
Общее решение получим в параметрической форме х1 = — п1151 — " — о1, —, й —, + о1, (8) х, = — п„51 --... — оп „„6„„+ ~3„, х1-~-1 21 . х ~1п — 1 где 111,...,11„„— произвольные постоянные. Общее решение (8) можно записать в векторной (4) и матричной (5) форме, положив П1 и — и 4. 0 21 Х Хп 11п1 ° ° пап -и (9) Х= Ф= 1 ... 0 0 0 ... 1 Х, столбцы Ф. Пусть г = 18 А, 11 < 12 « ... 1, номера базисных столбцов А, 1„т1 « ... 1п — номера остальных ее с"голбцов. Фундаментальная матРиЦа, стРоки котоРой с номеРами е„т1 « ... 1п обРазУют еДиничную подматрицу, называется нормальной фундаментальной матрицей, соответствующей базисным неизвестным х;„...,х1, Гл.
7. Систпгмы линейных уравнений 159 Столбцы нормальной фундаментальной матрицы образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы уравнений. В частности, Ф в формуле (9) нормальная фундаментальная матрица однородной системы х1+ а,,хыы+... + а1 „тх„= О, (10) х„+ а„1х„.г1+... + а„„,х„= О, соответствующая базисным неизвестным хы..., хт. Нормалт ную фундаментальную матрицу Ф, частное решение Хо и формулу общего решения можно выписать прямо по расширенной матрице (6). Если расширенную матрицу кратко записать в виде ~Е, Р 0 0 о то — Р Е„ Хе = й и (5) примет вид (5') Здесь Е„, Е„„— единичные матрицы порядка г и и — г соответственно, а р — столбец из чисел ~3м...,Д„.
Общее решение системы уравнений в форме (4) и (5) можно получить из систем уравнений (7), (10) без обращения к формуле (8). Частное решение можно найти из системы (7),. задав каким- нибудь образом свободные неизвестные (если мы приравняем их к О, то получим частное решение, определяемое формулой (9)). Столбцы фундаментальной матрицы можно найти как решения системы (10), придавая параметрическим неизвестным значения, образующие в совокупности невырожденную матрипу. В частности, если приравнять значения ~ х„еы,.,, х„)~т к столбцам единичной матрицы, то решения системы (10) образуют фундаментальную матрипу (9).
3 а м е ч а н и е . Допустим, чтоданная система уравнений совместна, но базисными являются не первые г столбцов основной матрицы, а какие-то другие. В этом случае, чтобы решить упрощенную систему уравнений, можно действовать одним из двух способов. С п о с о б 1 . Аналогично п.
3 составляем упрощенную систему уравнений, называем базиснымн неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, выражаем базисные неизвестные через остальные (свободные) и записываем общее решение в форме (4) или (5). С п о с о б 2 . Неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, обозначаем через ры ..,, у„остальные — через у„ты...,р„. После этой замены неизвестных получаем упрощенную систему уравнений вида (7), решаем ее и делаем обратную замену.
Гл. 7. Системы линейных уравнений 160 Таким образом, существует много путей получения общего решения системы линейных уравнений и много различных форм его записи. Ниже рассмотрен пример неоднородной системы линейных уравнений, имеющей бесконечное множество решений. Общее решение получено в параметрической (8), векторной (4) и матричной форме (5). Для сокращения записи в этой главе системы линейных уравнений и ответы к ним лишь частично приведены в развернутой форме (1) и (8). Некоторая часть систем уравнений задана с помощью расширенной матрицы. В ответах к этим упражнениям мы помещаем фундаментальную матрицу решений однородной системы уравнений и столбец какого-либо частного решения неоднородной системы.
Как в условиях задач, так и в ответах матрицы и столбцы не выписаны непосредственно, а указаны их номера в банке. П р и м е р. Система уравнений задана распгиренной матрицей 'гАеэг ~сээ ~ (задача 19.6, 42)). В банке находим 1 3 5 7 9 20 ))Аевг)сеэ! = 1 — 2 3 — 4 5 — 5 2 11 12 25 22 65 Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений хг + Зхг + 5хз + 7хз + 9хе = 20, хг — 2хг + Зхз — 4т4 + 5хэ = — 5, 2хг + 11хг + 12хз + 25хз + 22хэ = 65 (11) 1 0 — — — 5 19 2 33 ' 5 5 5 0 1 — — — 5 2 11 4 5 5 5 (12) 0 0 0 0 0 0 Замечаем, что система совместна, так как в расширенной матри- це (12) базисными являются два первых столбца. Расширенная мат- рица (12) соответствует системс уравнений 19 2 33 хг+ — хз+ -хз+ — хэ = 5, 5 5 5 2 11 4 хг ~- — „хз+ — х4+ — хэ = 5, 5 5 5 (13) эквивалентной данной.
Базисные неизвестные — хм тг, свободные— хэ, х4., хе. Обозначим последние через Ьы Ьг, Ьз, получаем общее решение: Применяя алгоритм Гаусса, приводим расширенную матрицу к упро- щенному виду: Гл. 7. Системы линейных уравнений 161 19 2 33 х2 = — — 62 — — 62 — — 63+ 5, 5 5 5 2 11 4 х2 = и1 и2 из+ 5~ 5 5 5 (14) хз = йы Хл и2; Х5 и3 Общее решение системы уравнений (13) можно получить другим спо- собом. Сначала, положив в (13) хз = хл = хв = О, находим ее частное решение: (15) х Далее рассмотрим однородную систему 19 2 33 х1 + — хе+ -х5+ — хв = О, 5 ' 5 5 2 11 4 х2+ — хз+ — х5 + — хв = О.
5 5 5 Положив хз = 1, хл = ха = О, находим хг = — 19/5, х2 = — 2/5. Положив хз = О, ха = 1, 25 = О, находим хг = — 2/5, 22 = — 11/5. Положив хз = ха = О, хв = 1, находим х2 = — 33/5., х2 = — 4/5. Таким образом, мы находим три линейно независимых частных решения однородной системы уравнений (фундаментальную систему решений): -19/5 - 2/5 1 О О -33/5 -4/5 О О 1 Теперь можно записать общее решение данной системы уравнений (11) в векторной форме — 2/5 — 11/5 +52~ О +53 О (16) Х=й, Очевидно, что (16) есть другая запись формулы (14). Наконец, можно получить общее решение системы уравнений (13) сразу в матричной форме (5').
В данном случае 19/5 2/5 33/5 5 2/5 11/5 4/5 : 5 -19/5 -2/5 1 О О -2/5 -11/5 О 1 О -33/5 -4/5 О О 1 Гл. 7. Системы линейных ураелений 162 Таким образом, общее решение -19/5 -2~5 -2/5 -11/5 1 О О 1 ΠΠ— 33/5 — 4/5 О О 1 (17) Х= где 14 — столбец из произвольных постоянных Ьы Ьз, Ьз. Ясно, что (17) есть матричная запись (16).
Заменим произвольные постоянные Ьы Ьы Ьз на — 5Ьы — 56ш — 56з соответстненно. Формула (17) примет вид 19 2 33 2 11 4 — 5 ΠΠΠ— 5 О О 0-5 64 ~ 6 6з ~ где 14 = (18) Х= 19 2 33 2 11 4 — 5 ΠΠΠ— 5 ΠΠΠ— 5 Ф = А4ов = с231 что соответствует решению (18). Напомним, что и фундаментальная система решении, и частное решение определены не однозначно 8 17. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 17.1. Выписать расп1иренную матрицу данной системы уравнений. Решить систему: 1) 2х4+хз = 10, 2) Зх+5у = 2, хг+хз = 17; 5х+9у = 4; 3) 2х1+хз — хз = 2, 4) у+Зв = — 1 Зх| + хз — 2хз = 3, 2х+Зд+ бе = 3, хг+ хз = 3; Зх+ бу+ 7з = 6; 5) Зх4+4хз+2хз+х4 = 16, хг + 7хз + хз + х4 = 23, 2х4+хз+Зхз+5х4 = 10, 4х~ — Зхз+4хз+бх4 = 1; 6) 2х+Зу+4з+51=30, Зх+ Зу+ 4х+ 51 = 34, 4х+ 4у+ 4в+ 51 = 41, х+у+г+1= 10; В ответе к данной задаче 19.6, 42) указаны фундаментальная мат- рица А4ов н столбеп сязн В банке находим з 17.
Системы уриепений е определитпелем, отличным от 0 163 7) хд+х2+хз+х4+х5 = 1, хд+хз+х4+хз = — 3, хд + хг+ хз+ х4 = 0 хд + х2+ хз+ х5 = 31 хд+х2+х4+ х5 = — 2~ 8) хд+хг = 3, хд+хз =4, хд+х4 = — 2, хд+хз = — 1, хд+ть =0 хг+хз+х4+хз+хо = — 1. 17.2. Выписать систему линейных уравнений, соответст- вуюпдую данной расширенной матрице. Решить систему, поль- зуясь правилом Крамера: 1) ЗА4о)сгз; 2) ЗА5(соо; 3) 5Агог)с545; 4) ЗАгоо(с555,: 5) 5А254(с555; 6) ЗАгоз(сзз5; 7) 5Агоз(оз. 17.3.
Доказать утверждения: 1) Если уравнения системы (Б) являются линейными комби- нациями уравнений совместной линейной системы (А), то множе- ство решений системы (Б) содержит множество решений (А). 2) Присоединение к совместной системе линейных уравне- ний линейных комбинаций из ее уравнений заменяет систему на эквивалентную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
