L-7-Autmn2017 (824143)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

‹…Š–ˆŸ ü7„ â : 18.10.2017ã箪 ¯àï¬ëå ­ ¯«®áª®á⨍ ¯«®áª®á⨠à áᬮâਬ ¯àï¬ë¥ A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0,¯¥à¥á¥ª î騥áï ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (x0 , y0 ).  áᬮâਬ ­¥ª®â®àãî ¯àï¬ãîA3 x + B3 y + C3 = 0, ®â«¨ç­ãî ®â ¯à¥¤ë¤ãé¨å, ¨ ¯®¯à®¡ã¥¬ ®â¢¥â¨âì ­ ¢®¯à®á: ¢ª ª®¬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â A3 x0 + B3 y0 + C3 = 0?’¥®à¥¬ 7.1.

A3 x+B3 y +C3 = λ(A1 x+B1 y +C1 )+µ(A2 x+B2 y +C2 ) ¤«ï ­¥ª®â®àëå­¥­ã«¥¢ëå ç¨á¥« λ, µ ⇔ A3 x0 + B3 y0 + C3 = 0.„®ª § ⥫ìá⢮. (⇒) Žç¥¢¨¤­®. (⇐) ˆ§ ãá«®¢¨ï ⥮६ë 7.1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯àï¬ë¥A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0 ­¥ ¯ à ««¥«ì­ë, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨å­ ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë (B1 , −A1 ) = v1 , (B2 , −A2 ) = v2 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¯«®áª®áâ¨.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, (B3 , −A3 ) = λv1 + µv2 ¤«ï ­¥ª®â®àëå ­¥­ã«¥¢ëå ç¨á¥« λ, µ, â.¥.A3 x + B3 y + C3= (λA1 + µA2 )x + (λB1 + µB2 )y + C3 .ˆ¬¥¥¬0 = A3 x0 + B3 y0 + C3= (λA1 + µA2 )x0 +(λB1 + µB2 )y0 + λC1 + µC2 −λC1 −µC2 + C3 = C3 − (λC1 + µC2 ).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, C3 = λC1 + µC2 .¥àאַ㣮«ì­ ï á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®áâ¨.“£®« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨…¢ª«¨¤®¢ ¯«®áª®áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª áâ ­¤ àâ­®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮ R2á ®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ë¬ ¡ §¨á®¬ e1 , e2 : ¢¥ªâ®àë e1 , e2 ¨¬¥îâ ª®®à¤¨­ âë (1, 0), (0, 1)ᮮ⢥âá⢥­­®; áâ ­¤ àâ­®¥ ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå ¢¥ªâ®à®¢ u, v, ¨¬¥îé¨åª®®à¤¨­ âë (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ᮮ⢥âá⢥­­®, à ¢­® hu, vi = x1 x2 + y1 y2 ; ¥¢ª«¨¤®¢®à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) à ¢­®ρ(a, b) =p(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 .Žà¨¥­â æ¨ï ­ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ­¨¥¬ ý­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢à 饭¨ï ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨þ: ­ ¯à ¢«¥­¨ï, ¢ ª®â®à®¬ á«¥¤ã¥â ¡¥§®áâ ­®¢®ç­®¢à é âì ¯¥à¢ë© ¢¥ªâ®à ¡ §¨á e1 , çâ®¡ë ªà âç ©è¨¬ ¯ã⥬ ᮥ¤¨­¨âì ¥£® ­ ¯à ¢«¥­¨¥ á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¢â®à®£® ¢¥ªâ®à e2 (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢¥ªâ®àë e1 , e2 ¨á室ïâ12¨§ ®¤­®© â®çª¨).

®­ïâ­®, çâ® ¬®¦­® ᮢ¬¥é âì ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à e1 á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¢¥ªâ®à e2 (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢¥ªâ®àë e1 , e2 ¨á室ïâ ¨§ ®¤­®© â®çª¨)¯ã⥬ ¡¥§®áâ ­®¢®ç­®£® ¢à 饭¨ï ª ª ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥, â ª ¨ ¯à®â¨¢, ®¤­ ª®­ã¬¥à æ¨ï ¢¥ªâ®à®¢ e1 , e2 â ª®¢ , çâ® ¡¥§®áâ ­®¢®ç­®¥ ¢à 饭¨¥ ¯à®â¨¢ ç ᮢ®©áâ५ª¨ ¤ ¥â ¡®«¥¥ ª®à®âª¨© ¯ãâì ᮢ¬¥é¥­¨ï ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢¥ªâ®à e1 á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¢¥ªâ®à e2 (¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ­ ¯à ¢«¥­¨¨). ç «® ª®®à¤¨­ â ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠(â®çªã á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (0, 0) ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ᨬ¢®«®¬ O. ‚®®¡é¥, âà ¤¨æ¨®­­® áâ ­¤ àâ­ ï ¥¢ª«¨¤®¢ á¨á⥬ ª®®à¤¨­ â ­ ¯«®áª®á⨠®¡®§­ ç ¥âáï XOY , (x, y) | ª®®à¤¨­ âë ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¨¯«®áª®áâ¨, ®áì á ­ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ e1 ®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ OX = L(e1 )¨ ­ §ë¢ ¥âáï ®áìî ¡æ¨áá, ᮮ⢥âá⢥­­® ¯¥à¢ ï ª®®à¤¨­ â â®çª¨ ­ §ë¢ ¥âáï ¡æ¨áᮩ â®çª¨, ®áì á ­ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ e2 = L(e2 ) ®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ OY ¨ ­ §ë¢ ¥âáï ®áìî ®à¤¨­ â, ᮮ⢥âá⢥­­® ¢â®à ï ª®®à¤¨­ â â®çª¨­ §ë¢ ¥âáï ®à¤¨­ ⮩ â®çª¨.…¤¨­¨ç­ ï ®ªà㦭®áâì S 1 (0, 1) á 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â ¨ à ¤¨ãá 1­ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠| ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª, ¨¬¥îé¨å ª®®à¤¨­ âë (x, y) â ª¨¥,çâ® x2 + y2 = 1 (ãà ¢­¥­¨¥ ®ªà㦭®áâ¨).

ˆ§ ãà ¢­¥­¨ï ®ªà㦭®á⨠¢ë⥪ ¥â,çâ® S 1 (0, 1) ᨬ¬¥âà¨ç­ ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¡æ¨áá, â. ¥. ¥á«¨ M = (x, y) ∈ S 1 , â®M 0 = (x, −y ) ∈ S 1 (0, 1), ᨬ¬¥âà¨ç­ ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ®à¤¨­ â, â. ¥. ¥á«¨ M =(x, y) ∈ S 1 (0, 1), â® M " = (−x, y) ∈ S 1 (0, 1), 業âà «ì­® ᨬ¬¥âà¨ç­ , â. ¥. ¥á«¨f = (−x, −y ) ∈ S 1 (0, 1).

„«¨­ ¥¤¨­¨ç­®© ®ªà㦭®áâ¨M = (x, y ) ∈ S 1 (0, 1), â® Mà ¢­ 2π. ˆ§ á®®¡à ¦¥­¨© ᨬ¬¥âਨ, ¯à¨¢¥¤¥­­ëå ¢ëè¥, ¬ë ¯®« £ ¥¬, çâ® ¤«¨­ ¤ã£¨ ®ªà㦭®á⨠S 1 , ¯®«ãç î饩áï ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥¬ S 1 á «î¡ë¬ ¨§ ª®®à¤¨­ â­ëå㣫®¢, à ¢­ π2 .’®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨ A = (1, 0) ®ç¥¢¨¤­® ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¥¤¨­¨ç­®© ®ªà㦭®áâ¨.ã¤¥¬ ¡¥§®áâ ­®¢®ç­® ¤¢¨£ âìáï ¯® ¥¤¨­¨ç­®© ®ªà㦭®á⨠®â â®çª¨ A ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨. —¥à¥§ ­¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï ¬ë ®¯ïâì ¢¥à­¥¬áï ¢ â®çªã A, ¯à¨ í⮬ª ¦¤ãî â®çªã ¥¤¨­¨ç­®© ®ªà㦭®áâ¨, ¢ ᨫ㠡¥§®áâ ­®¢®ç­®á⨠¤¢¨¦¥­¨ï, ¬ë¯à®©¤¥¬ ¢á¥£® ®¤¨­ à §.

 è¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯à®¨á室¨â ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨, ¨¬ë ¢®á¯à¨­¨¬ ¥¬ ¥£® ª ª ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®§­¨ª ¥â ­¥ª®â®à®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ γ (ϕ) : [0, 2π) → S 1 (0, 1), γ (0) = A, ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®© â®çª¥ γ (ϕ) ∈ S 1 (0, 1) ¤«¨­ã ¯ã⨠(¤ã£¨ ®ªà㦭®áâ¨), à ¢­ãî ϕ,ϕ ∈ (0, 2π ), ª®â®àãî ¬ë ¯à®è«¨ ®â â®çª¨ A ¤® â®çª¨ γ (ϕ) = Bϕ . ‘®¢¥à訢 ¯®«­ë©®¡®à®â, ¯à®¤®«¦¨¬ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨; ¯®­ïâ­®, çâ®, ¯à®©¤ï¥é¥ à § ®â â®çª¨ A ¤«¨­ã ¯ãâ¨, à ¢­ãî ϕ, ¬ë á­®¢ ¯®¯ ¤¥¬ ¢ â®çªã Bϕ , ¨ â.

¤.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¦¥­¨¥ γ (ϕ) ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ¯à®¤®«¦ ¥âáï ­ [0, ∞)3á ¯¥à¨®¤®¬ 2π, â. ¥. γ (ϕ) = γ (ϕ + 2πn), n ∈ N. ’ ª¦¥ ¬ë ¬®¦¥¬ ¡¥§®áâ ­®¢®ç­®¤¢¨£ âìáï ¯® ¥¤¨­¨ç­®© ®ªà㦭®á⨠®â â®çª¨ A ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥ (¤¢¨¦¥­¨¥ ¢®âà¨æ ⥫쭮¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨), â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯à®¤®«¦ ï ®â®¡à ¦¥­¨¥ γ (ϕ) 㦥 ­ (−∞, 0) á ¯¥à¨®¤®¬ 2π, â. ¥. Bϕ = γ (ϕ + 2πn), £¤¥ −n ∈ N. ‚ á¢ï§¨ á ¢ëè¥áª § ­­ë¬ ¥áâ¥á⢥­­® ¯®« £ âì, çâ® ¢¥«¨ç¨­ 㣫 , ­ ª®â®àë© ¯®¢¥à­ã«áï ¢¥ªâ®à−→−→OA, £¤¥ O | ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (­¥¯®¤¢¨¦­®¥ ­ ç «® ¢¥ªâ®à OA), ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨¢¤®«ì S 1 (0, 1) ¥£® ­¥§ ªà¥¯«¥­­®£® ª®­æ ¤® â®çª¨ γ (ϕ), à ¢­ ϕ.ãáâì γ (ϕ) = (x(ϕ), y(ϕ)), x2 (ϕ) + y2 (ϕ) = 1.

ˆ§ ¢ëè¥áª § ­­®£® á«¥¤ã¥â, çâ®ä㭪樨 x(ϕ), y(ϕ) 2π-¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥; ªà®¬¥ ⮣®, ¨á¯®«ì§ãï ᨬ¬¥âà¨î ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¡æ¨áá ®ªà㦭®á⨠S 1 (0, 1), ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ®x(ϕ) = x(−ϕ)−y (ϕ) = y (−ϕ)(ç¥â­ ï äã­ªæ¨ï),(­¥ç¥â­ ï äã­ªæ¨ï).Ž¡ëç­® ¢¬¥áâ® x(ϕ) ¨á¯®«ì§ãîâ ®¡®§­ 祭¨¥ cos ϕ, ¢¬¥áâ® y(ϕ) | ®¡®§­ 祭¨¥sin ϕ. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬−−→OBϕ = cos ϕ · e1 + sin ϕ · e2−−→= PrOX OBϕ + PrOY−−→OBϕ .−→à¨ ¯®¢®à®â¥ ¢¥ªâ®à OA ­ 㣮« π2 (ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮬ã, çâ® ¬ë ¯à®è«¨à®¢­® ç¥â¢¥àâì ¥¤¨­¨ç­®© ®ªà㦭®á⨠¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨) â®çª A ¯®−−→−→¯ ¤ ¥â ¢ â®çªã á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (0, 1) = A0 .

®áª®«ìªã ¢¥ªâ®àë OA = e1 , OA0 = e2®à⮣®­ «ì­ë (¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ë) ¤à㣠¤àã£ã, ¥áâ¥á⢥­­® ­ §ë¢ âì 㣮« ∠AOA0 ,à ¢­ë© π2 , ¯àï¬ë¬, à áᬠâਢ ¥¬ãî ­ ¬¨ á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â | ¯àאַ㣮«ì­®©.—â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì 㣮« ¬¥¦¤ã ­¥ª®««¨­¥ à­ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ a, b, ᮢ¬¥á⨬ ¨å­ ç « ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯ à ««¥«ì­®£® ¯¥à¥­®á . ¥ 㬥­ìè ï ®¡é­®áâ¨, ¯®« £ ¥¬,çâ® ¨å ®¡é¥¥ ­ ç «® ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ ç «®¬ ª®®à¤¨­ â. ‘­ ç « à áᬮâਬ á«ãç ©|a| = |b| = 1. ®« £ ¥¬½a = (x1 , y1 ) = (cos ϕ1 , sin ϕ1 ),b = (x2 , y2 ) = (cos ϕ2 , sin ϕ2 ),£¤¥ ϕ1 , ϕ2 | ã£«ë ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ e1 ¨ a, e1 ¨ b ᮮ⢥âá⢥­­®.

àï¬ ïl : − sin ϕ1 · x + cos ϕ1 · y=0á ­ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ a ¤¥«¨â ¯«®áª®áâì ­ ¤¢¥ ¯®«ã¯«®áª®á⨠P− , P+ . ãáâìâ®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (cos ϕ2 , sin ϕ2 ) ∈ P+ , â. ¥.µcos ϕ1 cos ϕ2− sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 · sin ϕ2 > 0 ⇔ detsin ϕ1 sin ϕ2¶> 0;4¯®­ïâ­®, çâ® ªà âç ©è¨© ¯®¢®à®â, ᮢ¬¥é î騩 ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à a á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¢¥ªâ®à b ¯à®¨á室¨â ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥. ‚ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®à¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë a, b ®¡à §ãîâ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¯«®áª®áâ¨.

…᫨¦¥ â®çª á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (cos ϕ2 , sin ϕ2 ) ∈ P− , â. ¥.µcos ϕ1 cos ϕ2− sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 · sin ϕ2 < 0 ⇔ detsin ϕ1 sin ϕ2¶< 0;¯®­ïâ­®, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ªà âç ©è¨© ¯®¢®à®â, ᮢ¬¥é î騩 ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à a á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¢¥ªâ®à b ¯à®¨á室¨â ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨. ‚ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®à¨¬, çâ® ¢¥ªâ®àë a, b ®¡à §ãîâ ®âà¨æ ⥫쭮 ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á¯«®áª®áâ¨.ˆáå®¤ï ¨§ í⮣®, «î¡ ï ¯ à u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ­¥ª®««¨­¥ à­ëå ¢¥ªâ®à®¢®¡à §ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­® ¨«¨ ®âà¨æ ⥫쭮 ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¯«®áª®áâ¨, ¥á«¨á®®â¢¥âá⢥­­® ¢ë¯®«­ï¥âáïµdetu1u2v1v2¶µ>0¨«¨ detu1u2v1v2¶< 0;¯®-¤à㣮¬ã, «î¡ ï ¯ à u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ­¥ª®««¨­¥ à­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¡à §ã¥â¯®«®¦¨â¥«ì­® (®âà¨æ ⥫쭮) ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¯«®áª®áâ¨, ¥á«¨ ªà âç ©è¥¥á®¢¬¥é¥­¨¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢¥ªâ®à u á ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¢¥ªâ®à v ¢®ªà㣠¨å ®¡é¥£®­ ç « ¯à®¨á室¨â ¯à®â¨¢ (¯®) 室 (室ã) ç ᮢ®© áâ५ª¨.‚¥ªâ®à ­®à¬ «¨ n ª ¯àאַ© l ¨¬¥¥â ¢¨¤ (− sin ϕ1 , cos ϕ1 ).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥ªâ®àë a, n ®¡à §ãîâ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¯«®áe Ye ¯«®áª®áâ¨, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ãî ९¥à®¬ª®áâ¨.  áᬮâਬ á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â XO(O, a, n). ãáâì Se1 (0, 1) = {(~x, y~) | x~2 + y~2 = 1}. Œë ¨¬¥¥¬ Se1 (0, 1) = S 1 (0, 1).f á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (~„¥©á⢨⥫쭮, ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â XOY «î¡ ï â®çª Mx, y~),¯à¨­ ¤«¥¦ é ï ¬­®¦¥áâ¢ã Se1 , § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ªx~a + y~n = x~(cos ϕ1 e1 + sin ϕ1 e2 ) + y~(− sin ϕ1 e1 + cos ϕ1 e2 )f ∈ S 1 (0, 1).= (~x cos ϕ1 − y~ sin ϕ1 )e1 + (~x sin ϕ1 + y~ cos ϕ1 )e2 ⇒ Me Ye «î¡ ï â®çª M á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (x, y ),‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â XO¯à¨­ ¤«¥¦ é ï ¬­®¦¥áâ¢ã S 1 , § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ªxe1 + ye2= x(cos ϕ1 a − sin ϕ1 n) + y(sin ϕ1 a + cos ϕ1 n)= (x cos ϕ1 + y sin ϕ1 )a + (−x sin ϕ1 + y cos ϕ1 )n ⇒ M∈ Se1 (0, 1).Ž¡®§­ ç ï ç¥à¥§ ϕ 㣮« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ a, b, ¢ë¯ã饭­ë¬¨ ¨§ â®çª¨ O, ¬ë ¨¬¥¥¬ϕ = ϕ2 − ϕ1 .5‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨áå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï cos, sin, ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âìb = cos ϕ · a + sin ϕ · n = PrOXe b + PrOYe b. ©¤¥¬ §­ 祭¨ï cos ϕ, sin ϕ ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â XOY .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций