Феодосьев В.И (823545), страница 43
Текст из файла (страница 43)
После несложных преобразований имеемУоф =(а1 + <*2 + аз “ а2*з- <73<П - «71<72)»илиUoФ =[(.1 - а2)2 + (а2 - аз)2 + (аз - а,)2].(7.28)335Если это выражение написать для произвольных осей, тов соответствии с (7.23)^Оф = g£, [(°г°у)2 +— °z)2 + (Oz — Oz)2]++ 2^ (ri + Tzr + r* y).(7.29)В частном случае всестороннего равномерного сжатия илирастяжения, т.е. при 04 = Ст2 = а3 =3 1 — 2д о^Ооб = q --- р--- О'2; ивф = 0.При чистом сдвиге, т.е.
если ai = a, aj = 0, <73 = —а, составляющие потенциальной энергии имеют вид^Ооб — 0;[/Оф =Сравнивая выражение (7.27) с (7.12), а (7.28) с (7.11), легко заметить любопытную особенность: энергия изменения объема и энергия формоизменения соответственно пропорциональны квадратам нормального и касательного октаэдрических напряжений.7.8. АнизотропияВсе сказанное по поводу обобщенного закона Гука и вытекающих из него следствий относилось к изотропным средам.Теперь остановимся на упругих свойствах анизотропных материалов.До недавнего времени в практических задачах инженерноймеханики эти вопросы на передний край не выдвигались.
Этоне значит, что анизотропные материалы не находили применения. С ними давно приходится иметь дело. Вспомним хотя бырезинокордную конструкцию автомобильных и авиационныхшин, где резиновая оболочка армирована стальными или нейлоновыми нитями, образующими косоугольную сетку. Можновспомнить и фанерные анизотропные панели, применявшиесяв прошлом для оклейки несущих плоскостей самолетов. Можно привести и другие примеры, где анизотропия фигурирует336как важный фактор расчетной схемы. И все же, несмотря нанесомненную важность и даже заслуженность подобных прикладных задач, следует признать, что все они узконаправленны и по своей общности существенно уступают тому богатствуструктурных схем, которое раскрывается перед нами в связис применением композиционных материалов.
Сейчас немыслимо представить авиационную и ракетно-космическую техникубез применения композитов. Композиционные материалы ужеохватили многие отрасли промышленности, в том числе производство предметов домашнего обихода.Композиционные материалы могут иметь различнуюструктуру. Но во всех случаях, по самому определению, композит состоит по крайней мере из двух компонентов - наполнителя и связующего. Последнее обычно называют матрицей. Еслинаполнитель представляет собой уложенную в определенномпорядке систему нитей или нитевидных кристаллов, композиционный материал приобретает резко выраженные свойстваанизотропии, и модули упругости в различных направленияхмогут различаться в несколько крат.Не касаясь пока вопросов прочности, постараемся представить армированную структуру композита как сплошную иоднородную среду с соответствующими упругими константами, позволяющими построить закон Гука в традиционной форме линейных зависимостей между компонентами напряженного и деформированного состояний.
И обобщение в этом случаедостаточно очевидно: каждая компонента деформированногосостояния зависит от каждой из компонент напряженного состояния. В итоге получаем следующие соотношения:£х = Зцах + Si2^y + S\3ffx + Si4TyX + Si5Tzx + S^TXy\= *$21°х + $22°У + S23^z + *$24Tyz+ *$257хх + S2&Txy;£х-Зз\ах + Зз2^у + Зз3^г + Зз4Туг + Зз5Тхх + ЗзвТХу]— *^41 <^x + 842*7у + $43(7z + S44TyZ + S45TZX“1“ *546TryJ7xx = *$51 °x + ^52 O’у + 833(7 z + S^Tyz + Зззтхх + ЗззТХу^Уху =Sqi<7x + Зз2°у + 8бЗ(7х + SfoTyz + SqsTzx + SQQTxy,где Sik - коэффициенты податливости, которые определяютсясвойствами материала, но не являются его константами, поскольку зависят еще и от ориентации выбранной системы осейг, !/, 2.337Как напряженное и деформированное состояния являютсятензорами, так и система коэффициентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга).
Исследоватьего свойства мы не будем, но отметим только, что этот тензорсимметричный, т.е.Это вытекает из теоремы взаимности работ (см. § 5.6). Работа, например, силы aydydz наперемещенииdx, вызванном силой ау dx dz, равна работесилы ау dx dz на перемещении&х dy dz * S12&у dx— (Туdx dz*52i^z*dy^откуда следует, что S12 = S^l-Если оси х, у.> z являются главными осями напряженного состояния, то ту2 — т2Х == тху — 0. При этом угловыедеформации 7yz, 7tx, 71у в нульне обращаются. Следовательно,в анизотропной среде главные осинапряженного и деформированного состояний, вообще говоря, несовпадают.
Это иллюстрируетпростой пример, показанный нарис. 7.32. Деревянный образец вырезан под углом к направлениюволокон. При растяжении вдольоси х образец получит не толькоудлинение, но и перекос. В данРис 7 32ном слУчае касательные напряжения тху равны нулю и, следовательно, оси х и у - главные осинапряженного состояния.
Деформация же уХу в нуль не обращается. Следовательно, для деформированного состояния осих и у - не главные. Если бы образец был вырезан вдоль волокон, то при его растяжении по оси х никаких перекосов невозникало бы, и главные оси напряженного и деформированного состояний совпадали бы. А это означает, что некоторые из коэффициентов податливости при таком выборе осейобращаются в нуль.
Значит, при определении коэффициентов338податливости в целях простоты следует сообразовываться сосями анизотропии среды.Наиболее простой вид матрица податливости приобретает, естественно, в случае полной изотропии (см. (7.20) и (7.21)):1_£ЕВЕ1_£ЕLЕЕЕ-t -ИЕЕооооооооооо000G00000000Несколько сложнее выглядит матрица податливости вслучае монотропии, или, как ее часто называют, трансверсальной изотропии, которая свойственна композитам с однонаправленной укладкой нитевидного наполнителя (рис. 7.33).Рис.
7.33Обратимся к первому выражению (7.21) и, сохраняя обозначения для модуля и коэффициента Пуассона, снабдим ихсоответствующими индексами. Пусть по оси х модуль будетЕу, а по равноправным осям у и z - £2- Тогда~Ьс1— 7ГА121°х7Г Оу±/2Д217Г Ог.ззеОбозначение коэффициента Пуассона снабжено двумя индексами. Первый соответствует оси, по которой приложено напряжение, а второй - той оси, по которой происходит сужение.
Для монотропной среды, естественно, Д21 = Д31 • Написаваналогичные выражения и для остальных компонент деформированного состояния, получаем матрицу податливости монотропного материала в следующем виде:1Л*21Д21Е\Е2Е2М121М32EiЕ2Е2М12М321Е\Е2ооОооОоооОООёй°оООО0ООООЕ2G12Оо1£12 .п*М21Здесьпо свойствусимметрии—- = Д12——, а кроме того, по£-2£-1скольку в плоскости уО z среда изотропна, для нее сохраняетсяхорошо известное соотношение G23 = тп-------- г. Таким обра2(1 +дз2)зом упругие свойства монотропной среды определяются пятьюнезависимыми константами.И, наконец, еще один вид анизотропии, характерный длякомпозитов - ортотропия, обладающая симметрией относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис.
7.34).Здесь, в отличие от монотропии, оси у и z неравноправны. Вчастности, ортотропной является древесина. Упругие свойства ортотропной среды описываются девятью независимымипостоянными:340НитиСвязующее |Рис. 7.35Рис. 7.34EiД12_Д13EiЕ2J_Е2_Д32Е2MlЕ3_Д32E3±QQ0ооо77ьззООЕзОООООООтг-ОООООО77Ь12 .Ь31где, конечно, по свойству симметрииMl _ М2Ml _ МзМ2 _ М3Е2Е\ ' ЕзЕ\ ’ ЕзЕ2Упругие постоянные Е\^ Е2, ... для композита можноопределять не только путем испытания образцов. Если известны модули нитей и связующего, можно с достаточной точностью рассчитать упругие постоянные создаваемого композита.В частности, особенно просто определить модуль упругости Е^для монотропного композита (рис. 7.35). Достаточно очевидно,341что в случае длинных нитейEi = EHVH + EcVcjгде Ен и Ес - модули упругости нитей и связующего; VH и Vc- соответственно их объемные доли в композите. Если наполнитель состоит из коротких нитевидных кристаллов, формуладает завышенные значения Ej.
Возникает также погрешностьвследствие различия коэффициентов Пуассона для нитей и матрицы, но она незначительна. Формулы для определения других упругих констант композита существенно сложнее толькочто приведенной, но не настолько, чтобы это серьезно затрудняло вычисления.В практике расчетов и упругих констант, и предела прочности композита широко используют понятие монослоя - какосновного составляющего элемента слоистых структур.
Монослой - это скорее двойной слой (см. рис. 7.35), содержащийдва семейства нитей, направленных соответственно под углами +уз, -уз или 0°, 90° к оси х.Если <р = 0°, получается однонаправленный монослой.Значения модулей упругости и пределов прочности такого монослоя даны в табл. 7.1. Приведенные данные заметно изменяются в зависимости от рецептуры связующего и от методовизготовления композита.Таблица 7.1. Механические свойства однонаправленныхкомпозитов с эпоксидной матрицейХарактеристикаСтеклоУглеОрганоБоро-пластикпластикпластикп ласти к(Уи = 0,65)(V. = 0,7)(Ун =0,54(И. = 0,5)£1, ГПа52,1181,484,3201,3ГПа14,010,34,821,7Ci2> ГПа6,36,92,95,4Д120,0560,0160,0180,018Д210,210,280,320,17EJEj3,717,617,69,3El/G\26,326,329,137,3342Окончание табл.
7.1.СтеклоУглеОрганоБоро-пластикпластикпластикпластик(14 =0,65)(V. = 0,7)(V. = 0,54(14 =0,5)Характеристикаnf, МПа1108П], МПа14947,5530МПа118610,940,01702137328955,81599ЯГ, МПа78,0246,164,8123,41Z12, МПа22)467,627,663,037,3108,824,6Я+/Я+148Я+/Я1249,522,143,021,8яг/я2-6,86,94,513,0Примечание. 14 - объемная доля наполнителя. Через П+, П~и П\2 Для наглядности обозначены соответственно пределы прочности нарастяжение) на сжатие и на сдвиг.В табл. 7.2 даны значения модулей упругости и пределовпрочности перекрестно армированных композитов.Таблица 7.5.
Механические свойства ортогональноармированных и перекрестно армированных композитовХарактеристикаСтеклопл асти к0о/90°±45°Углепластик0°/90вБоропластик±45°0°/90°i ГПа22,617,068,88.284,3ГПа22,617,070,27,683,4£*21Д120,15—0,0340,890,05М210,15—0,0350,870,05Gi2t ГПа9,412,53,120,04,4я+, МПа40753029168,6422,*ЯМПа407—28463,7—МПа25532020466,7907МПа255—20898,1—343Глава 8КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИИ РАЗРУШЕНИЯ8Л. Основные положения теориипластичности и разрушенияМатериал конструкции в зависимости от условий нагружения может находиться в различных механических состояниях. При небольших внешних силах возникают только упругиедеформации, или, как говорят, материал находится в упругомсостоянии. При больших силах обнаруживаются заметныеостаточные деформации и материал находится в пластическом состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
