Феодосьев В.И (823545), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Для этого надо по заданным напряжениям вы­чертить наибольший из трех кругов Мора, а затем, хотя быграфически, установить, во сколько раз следует увеличитьи аз, чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей.В изложенном подходе к вопросам предельных состоянийне содержится, как видим, критериальных гипотез, и теорияМора основана в первую очередь на логической систематиза­ции результатов необходимых экспериментов.Теперь нужно решить вопрос о том, как построить оги­бающую предельных кругов при ограниченном числе испыта­ний.

Наиболее простыми являются испытания на растяже­ние и сжатие. Следовательно, два предельных круга полу­чить просто (рис. 8.3). Можно получить еще один предельныйкруг путем испытания тонкостенной трубки на кручение. Приэтом материал будет находиться в состоянии чистого сдви­га и центр соответствующего круга расположится в началекоординат (рис. 8.4)., Однако этот круг для определения фор­мы огибающей мало что дает, поскольку расположен вблизидвух первых кругов.12*355Рис.

8.4Для определения огибающей чрезвычайно важно знать по­ложение точки С (см. рис. 8.2 и 8.3). Нормальное напряжениев этой точке представляет собой напряжение отрыва при все­стороннем растяжении. До сих пор, однако, не существуетметода для проведения соответствующего испытания.

Вообщене удается осуществить испытание в условиях напряженногосостояния, когда все три главных напряжения являются рас­тягивающими (об этом подробнее см. в § 14.2). Поэтому поканет возможности построить для материала предельный круг,расположенный правее предельного круга растяжения.В силу указанных обстоятельств наиболее простым иестественным является решение аппроксимировать предель­ную огибающую касательной к кругам растяжения и сжатия(см. рис. 8.3).

Понятно, что это не исключает возможности вдальнейшем, когда будут найдены новые методы испытания,уточнить форму огибающей и тем самым более полно отра­зить особенности поведения материала в условиях, близких квсестороннему растяжению.Выведем выражение для стэкв, полагая, что огибающаяявляется прямой. На рис. 8.4 эта огибающая проведена по каса­тельной к предельным кругам растяжения и сжатия (точки Dи F\Построим круг Мора для некоторого напряженного состо­яния, заданного наибольшим и наименьшим главными напря­жениямии аз (см.

рис. 8.4). Если все компоненты этогонапряженного состояния увеличить в п раз (где п - коэффици­ент запаса), то круг станет предельным. Напряжения cq и стзпримут значения crj и erf:* = па\,<7356erf = ner3.(8.3)Этот увеличенный (предельный) круг Мора, касается предель­ной огибающей в точке С\ Кроме того, согласно условиюпропорционального увеличения компонент, он будет касать­ся продолжения луча О А в точке В.

Из точки С12проводимгоризонтальную прямую С1 EG и составляем пропорпорцию:DEFG= gig- Н° отРезки DE и FG представляют собой разно­сти радиусов рассматриваемых кругов. Поэтому— ^3.*/т1*___DE=22’Далее,~h °з°т.р22 ’Преобразовывая пропорцию, получаем_°т.р —ф°т.ро’т.с2—320T.C2Ф^3)или, если учесть выражения (8.3),Для эквивалентного растяженияп — От.р/^экв •По условию эквивалентности коэффициенты запаса п вэтих напряженных состояниях равны. ПоэтомуОэкв = al - Ла3,(8.4)где к ~ отношение предела текучести при растяжении к пре­делу текучести при сжатии: к = ат.р/ат.с.

В частном случае,если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковыепределы текучести, к — 1. Тогда формула (8.4) переходит вполученную ранее формулу (8.1).В настоящее время практические расчеты по допускае­мым напряжениям в сложном напряженном состоянии ведут,как правило, на основе формулы (8.4). Вместе с тем, если ма­териал обладает одинаковыми механическими характеристи­ками при растяжении и сжатии, то расчеты можно вести по357формулам гипотезы энергии формоизменения. Числовые ре­зультаты получаются вполне удовлетворительными.Основное ограничение, которое накладывается на приме­нение теории Мора, связано с недостаточной точностью опре­деления предельной огибающей в области всестороннего*ра­стяжения.

Это ограничение, однако, не столь существенно,поскольку напряженные состояния такого рода при решениипрактических задач встречаются редко. Недостаточно точноизвестен также вид предельной огибающей в области глубоко­го всестороннего сжатия. Здесь вследствие принятого упроще­ния также возможны погрешности. Наилучшие результатывыведенная расчетная формула дает для смешанных напря­женных состояний, т.е. при> 0 и аз < 0.

Тогда предель­ный круг Мора располагается в интервале между предельнымикругами растяжения и сжатия.Подход Мора хорош тем, что позволяет в связи с особен­ностями напряженного состояния доходчиво разъяснить отно­сительную условность деления материалов на пластичные ихрупкие.Для одного и того же материала мы всегда можем постро­ить две огибающие предельных кругов Мора. Первая огиба­ющая характеризует переход от упругого состояния матери­ала к пластическому. Поскольку образование пластическихдеформаций мы принимаем независимым от шарового тензо­ра, эта огибающая представляет собой прямую, параллельнуюоси а (рис. 8.5).

Вторая огибающая соответствует разрушениюобразца (кривая 2).Рис. 8.5Для материала пластичного (в общепринятом понима­нии этого термина) прямая 1 в правой части диаграммы (см.358рис. 8.5, а) проходит ниже кривой 2. Это означает, что приобычном испытании образца на растяжение круг Мора 5, помере увеличения растягивающего напряжения а, сначала пе­ресечет прямую 1.

В образце возникнут пластические дефор­мации. Затем круг S коснется кривой 2, Образец разрушится.Теперь рассмотрим взаимное расположение огибающихдля хрупкого материала (см. рис. 8.5, б). Здесь прямая 1 вправой части диаграммы расположена выше кривой 2. Прииспытании образца на растяжение круг Мора 5, не касаясьпрямой 2, соприкасается с кривой 2. Разрушение происхо­дит без заметных остаточных деформаций, как и положено дляхрупких материалов.

Предел текучести при этом, естествен­но, не определяют. Но это еще не значит, что он не суще­ствует. Представим себе, что мы испытываем тот же образецна растяжение в условиях высокого гидростатического давле­ния. Тогда круг S, как единое целое, сместится в левую частьдиаграммы и при увеличении растягивающей силы коснетсясначала прямой 2, но не кривой 2. Мы получаем и пласти­ческие деформации для материала, считающегося хрупким, инаходим даже его предел текучести.Все признаки хрупкого разрушения можно получить и упластичного материала, если его испытывать в условиях на­ложенного всестороннего растяжения.Главное достоинство теории Мора заключается в принци­пе подхода к рассматриваемому вопросу. К сожалению, на этодалеко не всегда обращают внимание, и часто теорию Мораставят в один ряд с общеизвестными гипотезами, а то обсто­ятельство, что в частных случаях расчетная формула Морасовпадает с расчетной формулой гипотезы касательных напря­жении, усиливает впечатление о равноценности этих подходов.Между тем феноменологический подход Мора, т.е.

подход,основанный на логическом описании явления, является наибо­лее естественным и правильным. При обнаружении погрешно­стей или несоответствий этот подход сохраняет за нами воз­можность внести в теорию дополнительные уточнения. Так,если в дальнейшем удастся провести испытания образцов вобласти положительных cq и стз, можно будет аппроксимиро­вать предельную огибающую Мора уже не прямой, а некоторой369кривой. В расчетную формулу в этом случае войдут не толь­ко характеристики материала на растяжение и сжатие, но инекоторые новые показатели, найденные в результате допол­нительных испытаний.Особое значение приобретает феноменологический подходв связи с широким применением в технике новых материалов.Такие материалы, как стеклопластики, стеклоткани и вообщематериалы, имеющие волокнистую структуру, часто работа­ют в условиях сложного напряженного состояния.

При ана­лизе подобных конструкций уже не приходится рассчитыватьна апробированные теории. Надо создавать новую теорию, аэто не всегда легко. Поэтому более целесообразным являетсяфеноменологический подход.Сказанное о предпочтительности феноменологическогоподхода к вопросам предельного состояния не зачеркиваетпрактического значения некоторых гипотез.

Так, гипотезамаксимальных касательных напряжений и гипотеза энергииформоизменения, прочно вошли в расчетную практику и обес­печивают большие удобства при решении конкретных задач,а гипотеза энергии формоизменения приобрела особое значе­ние в связи с созданием и развитием теории пластичности(см. § 11.2).Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение тео­рии предельных состояний.Пример 8.1. Определить, какое из трех показанных на рис. 8.6напряженных состояний является более опасным.

Числовые значения на­пряжений заданы в МПа. Материал на растяжение и на сжатие работаетРис. 8.6Подсчитываем эквивалентное напряжение по формуле (8.4) для слу­чаев а, б н в:360а) <т,,. = 80 - 10 = 70 МПа; 6) <r„. = 60 - (-10) = 70 МПа; в)== 75 - 0 = 75 МПа.Наиболее опасным является состояние в.

Состояния ан бравноопасны.Пример 8.2. Прибор для исследования морских глубин опускаютпод воду на глубину Н (рис. 8.7). Вес прибора в воде равен Р. Плотностьводы 7, а материала троса 7Т. Определить эквивалентные напряжения вверхнем и нижнем сечениях троса, если k = 1.Рис. 8.7В нижнем сечении имеет место трехосное напряженное состояние.Растягивающее напряжение создается весом прибора, сжимающее - дав­лением жидкости на глубине Н:<71 = С;<Г2 = <7з =-уН;Р<7экв — “Х + 7".ГВ верхнем сечении имеет место только осевое растяжение, создава­емое весом прибора Р и весом троса в воде Рт = (7Т — y)FH. Такимобразом, в верхнем сечении_ Р + Рт _ РОэкв —р— ~р + (?т ~ 7) Я.Если плотность троса более чем в два раза превышает плотностьводы, то наиболее опасным будет верхнее сечение троса.

Это сечение не­обходимо также проверить на прочность в случае, когда прибор висит натросе в воздухе перед опусканием в воду.Пример 8.3. Через систему шестерен передается момент ЯП(рис. 8.8). В пределах вычерченного узла этот момент уравновешивает­ся моментом 331/i на нижней шестерне, где t - передаточное число от361первого вала ко второму. Подобрать диаметр первого вала, если дано:ЯП = 2500 Н'М, R = 8 см, а = 80 см, 6=10 см.

Материал на растяжениеи сжатие работает одинаково: ат.р = <гт.с = 300 МПа. Требуется обеспе­чить двукратный запас прочности (п = 2).Рис. 8.8Из условия равенства нулю суммы моментов относительна оси ва­ла находим тангенциальную силу на шестерне (рис. 8.8, б): Р = ЯП/Л.Между шестернями возникает не только тангенциальная, но и радиальнаясила Рл.

Характеристики

Список файлов книги