Феодосьев В.И (823545), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Действительно, коэффициент за­паса при растяжении (состояние В на рис. 8.1) определяется,как обычно, следующим образом:^т.рп = —-.0ЭКВТакую же величину коэффициент запаса имеет и для случаясложного напряженного состояния А. Весь вопрос заключает­ся только в том, как выразить сгэкв через cri, сг2 и стз. Дляэтого рассмотрим некоторые уже сложившиеся и зарекомендо­вавшие себя гипотезы пластичности, или критерии появленияпластических деформаций.3498.2. Гипотезы (критерии) появленияпластических деформацийИтак, основной вопрос при формулировке критерия пла­стичности заключается в том, какая из компонент напряженно­го состояния (или какая их комбинация) в общем случае опре­деляет переход материала к пластическому состоянию.Из множества предлагавшихся в свое время гипотез пла­стичности лишь две сохранили к настоящему времени своезначение.Первая гипотеза связана с именами Треска и Сен-Венана.Она основана на достаточно очевидной предпосылке: пласти­ческая деформация в металлах возникает в результате необра­тимых сдвигов в кристаллической решетке.

Понятно, чтопереход к пластическому состоянию не происходит внезапно.Сначала пластическая деформация возникает в отдельных, не­благоприятно ориентированных зернах. Возрастание нагруз­ки вовлекает в пластическую деформацию новые микрообла­сти, и, когда пластической деформацией охватывается пода­вляющее множество зерен, мы можем говорить о том, чтопроизошел переход к пластическому состоянию. Естественнопредположить, что мерой этого перехода является наибольшеекасательное напряжение в объеме, охватывающем достаточнобольшое число произвольно ориентированных зерен, т.е.

то са­мое касательное напряжение, которое мы определяли на основепредпосылки сплошной изотропной среды.Максимальное касательное напряжение возникает на пло­щадках, равнонаклоненных к площадкам наибольшего и наи­меньшего главных напряжений, и равно полуразности этих на­пряжений (см. выражение (7.14)):rmax = ~“ ^2)'Таким образом, если ттах достигло некоторого предельно­го значения, свойственного данному материалу, то независимоот вида напряженного состояния происходит переход к пла­стическому состоянию материала.360Экспериментальная проверка этой гипотезы показала, чтодля пластичных материалов она приводит, в общем, к удо­влетворительным результатам.

Переход от упругого состоя­ния к пластическому действительно с достаточной точностьюопределяется разностью между наибольшим и наименьшим изглавных напряжений и слабо зависит от промежуточного глав­ного напряжения 02 - Наложение всестороннего давления налюбое напряженное состояние не меняет ттах и, следователь­но, не оказывает влияния на возникновение пластических де­формации. В частности, при всестороннем гидростатическомдавлении ттах обращается в нуль. Это означает, что в такихусловиях в материале пластические деформации не возника­ют вовсе. Все опыты, проводившиеся при доступных для тех­ники давлениях, подтверждают это. Сказанное нисколько непротиворечит описанному ранее поведению чугуна в условияхвысокого давления.

Наложение всестороннего давления вли­яет не на условия пластичности, а на условия разрушения.Граница разрушения отодвигается, и материал приобретаетспособность пластически деформироваться без разрушения. Иэто характерно вообще для всех конструкционных материалов.Если представить себе существование цивилизации на самыхбольших глубинах океана, то для этих воображаемых разум­ных существ понятия хрупкости и пластичности материаловбыли бы отличны от наших.Придерживаясь сформулированного критерия пластично­сти, мы можем принять, что два напряженных состояния рав­ноопасны в том случае, если имеет место равенство наиболь­ших касательных напряжений.

Для напряженных состояний Аи В (см. рис. 8.1) имеемоткуда^экв =- <73-(8-1)Это и есть то расчетное напряжение, которое по крите­рию максимальных касательных напряжений должно быть со­поставлено с пределом текучести при растяжении.351Казалось бы, что простота расчетных зависимостей, фи­зическая наглядность критерия и, наконец, соответствие с экс­периментом должны были бы обеспечить гипотезе максималь­ных касательных напряжений полную монополию если не втеоретическом аспекте, то по крайней мере при решении прак­тических задач.

Этого, однако, не произошло, и в своеобразноместественном отборе, который происходил среди многих гипо­тез, предлагавшихся в конце прошлого и начале настоящеговека, выжила и заняла место наравне с теорией Треска - СенВенана также и гипотеза Хубера - Мизеса. Она была сформу­лирована Хубером в 1904 г.

в виде исправленного вариантакритерия Бельтрами, согласно которому переход к пластиче­скому состоянию связан с уровнем накопленной в единице объ­ема потенциальной энергии деформации. Но принять в каче­стве критерия пластичности всю энергию деформации нельзя.Это противоречило бы экспериментально установленному фак­ту, что при всестороннем давлении пластические деформациине возникают, в то время как потенциальная энергия неогра­ниченно возрастает. В связи с этим Хубером было предложеноисключить из рассмотрения энергию объема, а в качестве кри­терия перехода из упругого состояния в пластическое принятьэнергию формоизменения (7.28).Для простого растяжения это выражение приобретает видтт— 1^Оф —9/т^Из условия равноопасности определяем аэкв.

Для этогоприравниваем два последних выражения и получаемНо энергия формоизменения, как мы уже знаем, пропорцио­нальна квадрату октаэдрического касательного напряжения(см. § 7.7). Поэтому то же самое выражение (8.2) для стэквможно получить, если в качестве критерия пластичности при­нять не энергию формоизменения, а касательное напряжение воктаэдрических площадках.

Действительно,гокт = 7 [(<П У352+ (<П - стз)2 + (оч-з) 2]*Для простого растяжения2 _ 2 2'окт “ g *°эквПриравнивая выражения Tqkt, приходим к уравнению (8.2).Почему же гипотеза Хубера - Мизеса, приводящая к болеесложному для аэкв выражению (8.2), чем теория максимальныхкасательных напряжений, оказалась конкурентоспособной?Оказывается, дело не только в том, что, по мнению мно­гих авторитетов, она для основных конструкционных металловболее точно отражает условия перехода в пластическое состо­яние.

В процентном отношении разница между выражениями(8.1) и (8.2) не столь уж и заметна. Она достигает максимумапри чистом сдвиге, когда <т3 = —cq, а аг = 0, и составляет при­мерно 13 %. Более важным является другое обстоятельство.Когда конструкцию рассчитывают на прочность, мы, обраща­ясь к теории максимальных касательных напряжении, т.е.

квыражению (8.1), должны обязательно продумать, которым изтрех главных напряжений присвоить индексы 1, 2 и 3. Иногдаэто бывает не очень удобно, особенно если конструкция нахо­дится под воздействием системы сил, меняющихся по различ­ным законам в зависимости от условий работы. Тогда слож­ность перебора различных случаев в соотношении нагрузоксводит на нет те преимущества, которые дает нам простотавыражения (8.1). Если же обратиться к теории Хубера-Ми­зеса, то обнаруживается, что перестановка местами индексов1, 2 и 3 в выражении (8.2) не сказывается на сгэкв, и это осво­бождает нас от необходимости думать о том, какое из главныхнапряжений является наибольшим, а какое - наименьшим.Любопытно, что именно это обстоятельство заставилоМизеса, не знакомого с работой Хубера, в 1913 г.

в целях упро­щения предпринять поиск аналитического выражения, близко­го к тому, что дает теория максимальных касательных напря­жений, но не зависящего от перестановки индексов, что в даль­нейшем позволило с большим успехом использовать это выра­жение при построении основ теории пластичности (см.

гл. 11).12 В. И. Феодос ье в353Итак, мы рассмотрели два основных критерия пластич­ности, базирующихся на правдоподобных гипотезах и согла­сующихся с опытом. Но к рассматриваемому вопросу мож­но подойти и с несколько иных позиций - с позиций упрощен­ной систематизации экспериментальных данных. Этот подходвпервые был сформулирован Мором и в настоящее время носитназвание теории Мора.8.3.

Теория Мора и ее применениеДопустим, что мы располагаем испытательной машиной,на которой образцу можно задавать любые напряженные со­стояния с пропорциональным изменением всех компонент.Выберем некоторое напряженное состояние и будем одно­временно увеличивать все компоненты. Рано или поздно этонапряженное состояние станет предельным. Образец либо раз­рушится, либо в нем появятся пластические деформации. Вы­чертим для предельного состояния на плоскости аОт наиболь­ший из трех кругов Мора (кругрис.

8.2). Будем в даль­нейшем считать, что предельное состояние не зависит от сг2.Далее, на образце того же материала проводим испытание придругом напряженном состоянии. Снова путем пропорциональ­ного увеличения компонент добиваемся того, что напряженноесостояние станет предельным. На диаграмме (см. рис. 8.2)вычерчиваем соответствующий круг (круг 2).Рис. 8.2Поступая таким образом и дальше, получим семействокругов Мора для предельных напряженных состояний.354Вычерчиваем их общую огибающую. Примем, что эта огиба­ющая является единственной^ независимо от промежуточныхглавных напряжений <73. Это положение является основнымдопущением в излагаемой теории.Форма огибающей предельных кругов Мора зависит отсвойств материала и является его механической характеристи­кой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. Еслиогибающая предельных кругов для материала дана, можно прилюбом заданном напряженном состоянии определить коэффи­циент запаса.

Характеристики

Список файлов книги