Феодосьев В.И (823545), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Еслиусловие (7.7) выполнено, одно из трех уравнений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которыесовместно с условием (7.6) образуют новую систему, достаточную для нахождения /, т и п, определяющих положениеглавных площадок. Эту часть задачи мы оставим, однако, безрассмотрения и перейдем к определению главных напряжений5 из уравнения (7.7).Раскрыв определитель и расположив его члены по степеням 5, получим следующее кубическое уравнение:S3 - S2J1 + 5J2 - к = о,(7.8)в котором</1 = аж 4-ау4“4- &2\WxТухrzxТ2уТхутухзю4*°Z&Х&УTyz^zx(7-9)Можно показать, что все три корня уравнения (7.8) являются вещественными. Они дают три значения главных напряжений СГ1, СГ2 И СГ3.Понятно, что главные напряжения, т.е.
корни уравнения(7.8), определяются характером напряженного состояния и независят от того, какая система осей была принята в качествеисходной. Следовательно, при повороте системы осей Oxyzкоэффициенты Ji, J2 и J3 уравнения (7.8) должны оставатьсянеизменными. Они называются инвариантами напряженногосостояния.В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения. Например, если J3 = 0, то один из корнейуравнения (7.8) также равен нулю. В этом случае говорят, чтонапряженное состояние является двухосным^ или плоским. Вчастности, уже знакомое нам напряженное состояние чистогосдвига представляет собой двухосное напряженное состояние,ДЛЯ которого <71 = —<73 И <72 = 0.Если одновременно равны нулю второй и третий инварианты, т.е. J2 = J3 = 0, то уравнение (7.8) имеет два нулевыхкорня и только одно из главных напряжений отлично от нуля.Напряженное состояние в этом случае называется одноосным.С ним мы уже встречались при изучении вопросов растяжения,сжатия и чистого изгиба.Рассмотрим некоторые примеры определения главных напряжений.Пример 7.2.
Определить главные напряжения в случае, если всекомпоненты напряженного состояния равны между собой (рис. 7.10, а).Рис. 7.10311Согласно выражениям (7.8) и (7.9), имеем: Ji = За, Jj = J3 = 0; ai — 3<т, аз = аз — 0.Следовательно, заданное напряженное состояние представляет собой одноосное растяжение.Полученному результату можно датьпростое объяснение, если учесть, что элементможет быть выделен из растянутого стержнялюбым образом. Очевидно, если три секущиеплощадки равнонаклонены к оси растянутогостержня, в гранях элемента как раз и возникают равные составляющие напряженного состояния (рис.
7.11).Поскольку при изменении ориентации секущих площадок напряженное состояние неменяется, полученное решение может бытьпредставлено в виде символического равенства(см. рис. 7.10).Пример 7.3. Определить главные напряжения в случае напряженного состояния (рис. 7.12, а)Рис. 7.12Согласно выражениям (7.9), получаем Л — 0, Jj — —Зг2, J3 = 2т3.Тогда S3 — 3t2S — 2г3 = 0.
Подбором определяем один нз корней. Этобудет S = — г. Разделив левую часть уравнения на S + г, сводим уравнение к квадратному и определяем остальные два корня. В итоге получаемai = 2г; аз = аз — г. Следовательно, напряженное состояние являетсятрехосным (рис.
7.12, б).Итак, исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взаимно перпендикулярных площадок,312обладающих тем замечательным свойством, что касательныенапряжения в них равны нулю, и назвали эти площадки главными. Но существуют и другие площадки, также обладающиеважными и интересными особенностями, знакомство с которыми понадобится нам в дальнейшем.Положим, что оси х, у и z - главные и— tri,= <^2,&z = о"з (рис. 7.13). Тогда выражения (7.3) примут видX —Y = сг2?п;Z = бтзп.Найдем касательное напряжение ту в этой площадке:= Р2 - *2,(7-10)где р - полное, а ау - нормальное напряжения в той же площадке.
Очевидно, чтоv2 4-. v!2/2.22.22р2 — XY 2 4-Z—4- бт^тп 4- а$п ;ау = XI + Ym4-Zn =4- <72 w* 2 + ^з^2-Подставляя р2 и ау в выражение (7.10) и учитывая, что /2 44-пг2 4- п2 = 1, получим„ ^2/2^2,т_2у _— / — (Т2)I m +4-(cri - <тэ)2/2п2 4- (^2 - сг3)2т2п2.(7.11)Как видим, т2 - величина существенно положительная ина главных площадках, как и положено, обращается в нуль.313Действительно, если нормаль и совпадает с одной из главныхосей, то один из направляющих косинусов принимает значение,равное единице, а два других равны нулю, и тогда т2 = 0.Для дальнейшего нам потребуются выражения для напряжений в так называемых октаэдрических площадках, т.е.
вплощадках, равнонаклоненных к главным. Для таких площадок /2 = тп2 = п2 = 1/3, и тогда мы получимТ<жт = |\/(<71 - <72 )2 + (<71 - <7з)2 + (ст2 - <7з)2 ;(7.12)<7<>КТ = Z (<71 + <72 + <7з).О(7.13)Таким образом, нормальное октаэдрическое напряжениеравно среднему арифметическому трех главных напряжений.Особый интерес представляют площадки, в которых возникают наибольшие касательные напряжения.
Положениеэтих площадок можно определить, отыскивая экстремум выражения (7.11) при условии, что /2 4- тпг + n2 = 1. Но этихвыкладок мы делать не будем, ибо о результате можно догадаться сразу. Заметим, что6Т1 - бТЗ = (^1 -+ (^2 - ^з)и, поскольку квадрат суммы не меньше суммы квадратов,Значит, при равенстве /2 = т2 = п2 второе слагаемоев выражении (7.11) будет не меньше суммы двух остальных.Если мы хотим, чтобы величина т2 достигла наибольшего значения, то, подбирая /2, т2 и п2, мы должны, очевидно, максимально увеличить произведение 12п2 за счет тп2. Но это будетдостигнуто при тп2 = 0, и тогда произведение величин I2 и п2при условии, что их сумма равна единице, будет наибольшим,если I2 = п2 = 1/2.
Таким образом,kmaxl = |(1*-<73).(7.14)Так как тп = 0, а I = п = v^/2, то максимальное касательное напряжение возникает в площадках, равнонаклоненных к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных напряжений.3147.4. Круговая диаграмма напряженногосостоянияКак мы увидим в дальнейшем, определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом приведении расчетов на прочность в сложном напряженном состоянии. Поэтому вычислять значения главных напряжений приходится довольно часто.Однако это не значит, что всегда необходимо решать кубическое уравнение (7.8). Дело в том, что в абсолютном большинстве встречающихся на практике случаев положение однойиз главных площадок в исследуемой точке может быть указано заранее.
Тогда две другие главные площадки можно определить в семействе площадок, перпендикулярных первой, чтозначительно упрощает задачу.Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, показанной на рис. 7.13. Эта призма образована путем сеченияэлементарного параллелепипеда наклонной площадкой, которая, независимо от угла наклона а, остается параллельной одной из главных осей. В данном случае такой осью являетсяглавная ось у.Проецируя все силы, действующие на отсеченную призму, на оси, параллельные1 векторам а и т (см.
рис. 7.13, б),получимdza dy------ = (Ti dy dz cos a + a^dy dz tg a sin a;cos ai dzj j •j jr dy------ — <71 dy dz sin a — 6T3 ay dz tg a cos a,cos aилиa=cos2 a + <тз sin2 a;r = (<ti - (T3) sin a cos a.Эти выражения можно переписать в видеГТ1 4- 6Т3- 6Т3(у ~ ----------- 1----------- cos 2a;01 - <73 .пт =---------- sm2a./7 1(7.15)Таким образом определяют напряжения в семействе площадок, параллельных одной из главных осей. Выражениям315(7.15) можно дать простое геометрическое толкование. Пере^1+^3несем полусумму главных напряженииw -------- в левую частьпервого уравнения. Далее, возводя в квадрат левые и правыечасти уравнений) исключаем угол а.
Получим\2+ ^3 А ,а------ ~— + т(2J2=/Ml “\2\— ----- .\ 2JВ системе координатт это есть уравнение окружно+ ^2сти, центр которой находится на оси а на расстоянии ------от начала координат. Радиус окружности равен полу разности главных напряжений. Иначе говоря, окружность построена на отрезке- сгз как на диаметре (рис. 7.14). Полученный круг называется кругом Мора, или круговой диаграммойнапряженного состояния. Что касается уравнений (7.15), тоих можно рассматривать как уравнение окружности, написанное в параметрическом виде.
Роль параметра играет угол а,устанавливающий соответствие между точкой окружности исекущей площадкой. Каждой секущей площадке соответствует определенная точка на круге Мора. В частности, если угола — 0, секущая площадка совпадает с главной площадкой наибольшего напряжения(точка В на рис. 7.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
