Феодосьев В.И (823545), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Остаетсяпроверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех силотносительно осей х, у и z. При составлении уравнений равновесия легко обнаружить, что момент каждой силы уравновешивается моментом противоположной силы, расположенной наневидимой грани. Исключение составляют касательные силы.Например, для оси х условие равенства нулю суммы моментовсоблюдается в том случае, если момент силы Ty2dxdz равенмоменту силы т2у dx dy, т.е.Ту2 dx dz • dy = т2у dx dy • dz.Аналогично могут быть написаны еще два уравнения равновесия. Тогда получаемTyz — Т2у]Т2Х — Txz\TXy = TyX-(7-1)Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру,либо от ребра. Это и есть закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде (см.
также § 1.5). Онсправедлив для всех точек нагруженного тела независимо от302вида приложенных нагрузок и свойств материала. Следствием из условия парности касательных напряжений является то,что на гранях выделенного элемента (см. рис. 7.2) имеем недевять, а только шесть независимых компонент напряжений,поскольку касательные напряжения попарно равны.Анализ напряженного состояния в точке начинают всегдас определения напряжений на гранях выделенного в окрестности точки элемента. Через точку проводят три взаимноперпендикулярные плоскости, ориентацию которых выбираютпроизвольно, но так, чтобы напряжения в площадках моглибы быть определены наиболее простым путем.Пример 7.1. Выявить напряженное состояние в точках Ан Врастянутого и одновременно закрученного стержня (рис.
7.3, а).Рис. 7.3В окрестности заданных точек секущими плоскостями выделяем элементарный объем. Ориентацию плоскостей выбираем таким образом, чтобы напряжения можно было определить наиболее простым способом. Вданном случае естественной является ориентация плоскостей вдоль и поперек оси стержня. На рис. 7.3, а секущие плоскости в окрестности точекА и В показаны штриховыми линиями. Вынесем выделенные элементыза пределы нагруженного тела и представим их в увеличенном масштабес сохранением ориентации плоскостей (рис.
7.3, б и в).В результате действия силы Р в поперечных сечениях стержня возникает нормальное напряжение <т = P/а2. Векторы соответствующих напряжений вычерчиваем на гранях элементов. В результате действия момента Я71 в поперечных и продольных сечениях возникают касательные напряжения. В точке А напряжение rmax = 97t/(O, 208а3), в точке В напряжение г — 0. Векторы rmax также вычерчиваем на гранях элемента. В итогеимеем: в точке А <гх = Оу = 0, <rx = P/а2,= 0, тхх = Ш1/(0,208а3),Try = 0; в точке В <гх = <гу = 0,= Р/а\ тух = тхх = тху = 0.3037.2. Определение напряженийв произвольно ориентированной площадкеЕсли дано шесть компонент напряженного состояния:ау.Тут, т2Х и тХу в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке,проходящей через данную точку.Из напряженного тела (см.
рис. 7.1) еще раз выделим вокрестности точки А элементарный объем, но уже не в видепараллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рис. 7.4). Три грани выделенного элемента лежатв координатных плоскостях системы Oxyz. Четвертая граньобразована произвольной секущей плоскостью. Ее ориентациюв пространстве будем определять направляющими косинусами/, тп, п нормали и к секущей плоскости.Рис.
7.4Элементарный четырехгранник обладает теми же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. Приуменьшении размеров он стягивается в точку А, и в пределевсе его грани проходят через эту точку. Поэтому напряженияна гранях элемента рассматриваем как напряжения в исследуемой точке на соответствующим образом ориентированныхплощадках.304На рис. 7.4 штрихами показаны составляющие напряжений на невидимых гранях. Вектор полного напряжения на площадке BCD спроецируем на оси ж, у и л. Обозначим эти проекции через X, У и Z соответственно.
Если эти три величинынайдены, то по ним, очевидно, могут быть найдены нормальная и касательные составляющие на произвольной площадке.Площадь треугольника BCD обозначим через F, площадитреугольников OCDy OBD и О ВС - соответственно через Fx,Fy, Fz. Очевидно,Fx = Fl\Fy = Fm\Fz = Fn,(7.2)где /, m и n - направляющие косинусы нормали v.Проецируя все силы, действующие на элемент, последовательно на оси х, у и z, получимXF = &xFx + ryxFy + tzxFz\УF = TXyFx + &yFy -f* ^zyFz\ZF — tXzFx + TyzFy + gzFz,или в соответствии с соотношениями (7.2)X = (?xl + Тух771 -f- Tzxn;У = Txyl + (Тут + Tzyn\Z — rXil “f* TyZm -f- (T zn.(7.3)Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами /, т и п, проекции X, Уи Z можно выразить через шесть исходных компонентrzxи тХу.
Иными словами, напряженное состояние в точке определяется шестью компонентами.При помощи формул (7.3) легко определить вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку(рис. 7.5).305Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное чем те, которыми мы оперировали до сихпор.Нам известно понятие числа и понятие вектора как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояниеопределяется уже не тремя, а шестью числами и представляетсобой тензор. Тензору в отличие от вектора не может бытьдано простое геометрическое толкование, и его обычно задаютматрицей (таблицей), написанной, например, в виде/500 200 100 \200 -50 43 ,\10043 720/где каждое число представляет собой значение аж, ТуХ и т.д. всоответствии с расположением коэффициентов в трех уравнениях (7.3), т.е.
ах = 500, тху = 200 и т.д.Если взамен исходной системы Oxyz выбрать новую систему, компоненты тензора изменятся, т.е. значения аж,...будут иными, однако сам тензор напряженного состояния останется тем же. Сказанное можно легко пояснить на примеревектора, показанного на рис. 7.6.Рис. 7.6Вектор может быть определен матрицей, членами которойявляются координаты конца вектора:(400 300 0).Если перейти к системе 0х\у\2\ (см.го же вектора получим(500 0 0).306рис.
7.6), то для тоКомпоненты вектора, как видим, изменились, но сам векторостался неизменным.Остановимся более подробно на некоторых свойствах напряженного состояния в связи с преобразованием системы координат.7.3. Главные оси и главные напряженияВыразим через X, Y и Z нормальное напряжение ау внаклонной площадке. Очевидно, ау = XI + Ym + Zny или,согласно выражениям (7.3),ау = сгх/2 + аут2 + сгхп2 + 2т^гтп + 2rzxnl + 2тху1т.(7.4)Рассмотрим множество секущих площадок, проходящихчерез исследуемую точку. По нормали к каждой площадкеотложим отрезок т = /(стр) (рис. 7.7). Координаты конца этоговектора будут следующими:х = г/,у = rm,z — тп.Рис. 7.7Исключая из выражения ау направляющие косинусы /, тпи п, получим геометрическое место точек концов вектора:&ут2 = ахх2 + ауу2 + azz2 + 2ryzyz + 2rzxzx + 2тхуху.Теперь решим, в какой зависимости от ау откладыватьабсолютную величину отрезка г.
Обычно такой вопрос решают из условий наглядности геометрического образа. В данном307же случае, не стремясь к наглядности, а исключительно в целях простоты полученного выражения примем формально, чтогде к - произвольная постоянная, отражающая масштаб построения.
Тогдак = сгхж2 + ауу2 + azz2 + 2ryzyz + 2rzxzx + 2тхуху.Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитическойгеометрии известно, что путем поворота системы координатэто уравнение может быть преобразовано таким образом, чтов нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначеговоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарныхпроизведений.
В данном случае это означает, что в каждойточке напряженного тела существует такая система Oxyz,в которой касательные напряжения ryZl rzx и тху равны нулю.Такие оси называются главными осями. Соответствующие имвзаимно перпендикулярные площадки называются главнымиплощадками, анормальные напряжения на них - главными напряжениями.
В порядке возрастания эти напряжения обозначают через <тз, оз И(71.Если в окрестности исследуемой точки элементарный объем выделен главными площадками, то система сил, возникающих на гранях элемента, упрощается (рис. 7.8). Существенноупрощаются также выражения (7.3), они принимают видX = oil]Y — trim',Z — азп.Так как,2 .Г+ т 2.2+п1= 1,Этому соотношению можно дать не только простое, но наэтот раз и наглядное толкование. Величины X, У, Z можно рассматривать как координаты конца вектора полного напряжения р, возникающего на произвольно ориентированной308Рис. 7.9площадке.
Геометрическое место концов вектора полногонапряжения образует эллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения0% и(рис. 7.9). Полученныйэллипсоид носит название эллипсоида напряжений.Из этого геометрического образа вытекает следствие, чтонаибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим из возможных полных напряжений на множестве площадок, проходящих через исследуемую точку. Наименьшее же из главных напряжений будет наименьшим средимножества возможных полных напряжений.В случае равенства двух главных напряжений эллипсоидпринимает форму тела вращения.
Тогда каждая плоскость,проходящая через ось вращения, становится главной. В случае, когда равны не два, а все три главных напряжения, эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке всеплоскости являются главными.Перейдем теперь к определению главных напряжений позаданным шести компонентам напряженного состояния в произвольной системе Oxyz. Возвращаясь к рис. 7.5 и соотношениям (7.3), положим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали v.
Обозначим его через 5:X = SI,Y = Sm,Z = Sn.Соотношения (7.3) примут теперь видSI = ах1 + гухт + rzxn\Sm = тху1 + аут + тхуп\Sn = rxzl + ryzm + azn,309или0;гху1 + (ау - S)m + т2уп = 0;тжж/ 4“ ТузТп 4"— S) п = 0.(аж - S) I +тухт + т2хп =(7.5)Их можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных /, m и п, определяющих ориентацию главнойплощадки в исходной системе Oxyz. Полученная система является однородной. Вместе с тем она должна давать для /, m и пненулевое решение, так как направляющие косинусы не могутбыть все одновременно равны нулю, поскольку/2 + т2 + п2 = 1.(7.6)Для того чтобы система однородных уравнений (7.5) имела решение, отличное от нулевого, необходимо, чтобы определительэтой системы был равен нулю:тухOy-S(7-7)Ту2Достигается это надлежащим выбором величины S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
