Феодосьев В.И (823545), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Такимобразом, получается, что для определения перемещения в ста­тически неопределимых системах нужно дважды раскрыватьстатическую неопределимость.Возникающие трудности, однако, легко устраняются. По­ложим, дана некоторая статически неопределимая системаи требуется определить перемещение, например, точки А(рис. 6.45, а).Рис. в.45Рассмотрим некоторую основную систему и приложим кней заданные силы и неизвестные силовые факторы Xi, Х2,Хз (рис. 6.45, б).

После того как статическая неопредели­мость раскрыта и неизвестные найдены, рама, показанная нарис. 6.45, 5, ничем не отличается от заданной. В частности,и перемещения всех ее точек будут точно такими же, как иу заданной. Поэтому можно рассматривать силы Xi, Х2, Х3как заданные.

Эпюра моментов от сил Р, Xi,и Х3 пред­ставляет собой эпюру моментов в статически неопределимой295раме. Следовательно, сначала необходимо раскрыть статиче­скую неопределимость и построить суммарную эпюру момен­тов. Вид этой эпюры, понятно, не зависит от выбора основнойсистемы. Далее, освобождаем систему от внешних сил, в томчисле и от сил Xi, X<i и Хз, и прикладываем единичную силук статически определимой раме (рис. 6.45, в).Полученную единичную эпюру перемножаем с суммарнойэпюрой внешних заданных сил. На практике удобнее умно­жить единичную эпюру отдельно на эпюры от заданных сили от силовых факторов Xi, Х^у Х3, а затем полученные ре­зультаты алгебраически сложить.

Таким образом определяет­ся искомое перемещение. Вторично раскрывать статическуюнеопределимость, как видим, не нужно.Пример 6.10. Определить горизонтальное перемещение точки Ав раме, показанной на рис. 6.46, а. Эпюра изгибающих моментов для этойрамы уже была построена ранее (см. пример 6.4). Поэтому, считая, чтопервая часть задачи решена, разрезаем раму в любой точке и к полученнойосновной системе прикладываем в точке А единичную силу (рис. 6.46, б).17 Р13Перемножая эпюры, находим 6Л672 EJ'аРис.

6.46Пример 6.11.Определить, насколько уменьшится диаметрАВ кольцевой рамы (рис. 6.47, а) при нагружении ее силами Р. Стати­ческая неопределимость этой рамы также уже была раскрыта ранее (см.пример 6.5). Изгибающий момент для четверти рамы АС оказался в сле­дующей зависимости от угла <р:М296Рис. 6.47Разрезаем раму в произвольном сечении, а в точках А и В прикла­дываем противоположно направленные единичные силы (рис. 6.47, б).

Всечении с текущим координатным углом <р имеем Mi =Тогда.[ MMiRd*6лв~2 J —EJ_ PR?~ЁЗо6.7. О методе перемещенийМетод перемещений отличается от метода сил тем, чтопри раскрытии статической неопределимости в качестве неиз­вестных принимают не силы, а перемещения.Метод перемещений заслуживает столь же уважительно­го к себе отношения, что и рассмотренный выше метод сил.Нельзя сказать, который из них лучше.

Они в основном рав­ноценны. Преимущества одного перед другим определяютсяособенностями статически неопределимой системы и в какойто мере привычками и традициями.Особенно просто методом пе­ремещений можно раскрыть ста­тическую неопределимость системс малым числом углов. Рассмо­трим пример, очень простой дляметода перемещений и вместе сгем сложный для метода сил.На рис. 6.48 показана систе­ма, состоящая из п стержней,Рис. 6.48297связанных в единый шарнирный узел в точке А.

Система п — 2раза статически неопределима, и определение усилий в стерж­нях методом сил не сулит ничего радостного, особенно, еслистержней много и к тому же они имеют различные длины иразличные жесткости при растяжении. Метод перемещенийпозволяет решать такие задачи неожиданно просто.Обозначим горизонтальное и вертикальное перемещенияузла А через и и v соответственно (см. рис.

6.48). Удлине­ние t-го стержня определяется суммой проекций и и и на осьстержня, т.е.Д/, = и sin у», + v cos у», .Выражение для растягивающей силы имеет видEFNi = ——- (и sin <pi + v cos у),).(6-4)Напишем два уравнения равновесия для отсеченного уз­ла А:71 — 171 — 1sin y>i = 0.Ъcos w = Лi=0i=0Исключая силы Ni и переходя к перемещениям, получаем двауравнения для вычисления и и v:П~1 р р.■** tи уt=0—— sin y>i cos <pi + v у»=o171—1 p л.2—— sin ipi + v УZ|2—— cos y>i = P;i=01П~ 1 p p,V-L/fiиу71—1 —| rt\Г/ & 1•Lifi._—— sin y>i cos y>i = 0.i=oПосле того как перемещения найдены, не представляеттруда с помощью выражения (6.4) определить усилие в любомстержне.Методом перемещений столь же просто можно рас­крыть статическую неопределимость системы, показанной нарис. 6.49, при любом числе поддерживающих стержней.

Реше­ние очевидно. Надо ввести вертикальное и угловое перемеще­ния жесткого стержня, выразить через них удлинения и силы,а затем написать в перемещениях два уравнения равновесия.298Рис. 6.49В то же время, если вернуться к примеру стержневой си­стемы, рассмотренной ранее (см. пример 6.2), то обнаружится,что решение методом сил оказывается более предпочтитель­ным.При большом числе узлов и конструктивных элементовметоды равноценны и, как один, так и другой, могут бытьположены в основу создания машинных алгоритмов так назы­ваемого метода конечных элементов для анализа сложнейшихсистем стержневого и оболочечного типов.Глава 7ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГОИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ7.1.

Напряженное состояние в точкеУже на примерах растяжения и сдвига мы имели возмож­ность убедиться в том, что напряжения в площадке, прохо­дящей через заданную точку напряженного тела, зависят отее ориентации. С поворотом площадки меняются в определен­ной зависимости и напряжения. Совокупность напряжений,возникающих во множестве площадок, проходящих через рас­сматриваемую точку, называется напряженным состоянием вточке. Напряженное состояние поддается анализу не тольков частных случаях растяжения и сдвига, но и в общем слу­чае нагружения тела. В настоящей главе этот вопрос и будетрассмотрен.

Заметим, что исследование законов изменения на­пряжений в точке не является чисто отвлеченным. Оно необ­ходимо для последующего решения более сложных задач и впервую очередь для расчетов на прочность в общих случаяхнагружения.Положим, имеется некоторое тело (не обязательно упру­гое), нагруженное произвольной системой сил (рис. 7.1). При300переходе от точки к точке напряженное состояние меняется до­статочно медленно и всегда имеется возможность выбрать вокрестности произвольно взятой точки А (см.

рис. 7.1) такуюдостаточно малую область, для которой напряженное состоя­ние можно было бы рассматривать как однородное. Понятно,что такой подход возможен только в пределах принятой ранеегипотезы сплошной среды, допускающей переход к предельномалым объемам.Рис. 7.1Рис. 7.2Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в точкеА, представим себе, что через нее проведены три секущие пло­щадки и установлены возникающие в них напряжения. Затемв окрестности исследуемой точки шестью сечениями выделимэлементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда(рис. 7.2). Если размеры параллелепипеда уменьшать, он бу­дет стягиваться в эту точку.

В пределе все грани параллелепи­педа пройдут через точку А, и напряжения в соответствующихсекущих плоскостях можно рассматривать как напряжения висследуемой точке.Полное напряжение, возникающее на секущей площадке,может быть разложено на три составляющие: одну по нор­мали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное на­пряжение будем обозначать по-прежнему буквой и с индексом,соответствующим осям ж, у и z (см. рис. 7.2). Касательноенапряжение обозначим буквой т с двумя индексами: первыйсоответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй 301оси, вдоль которой направлен вектор т. Ориентация самихосей является произвольной.Нормальные растягивающие напряжения а будем считатьположительными, сжимающие - отрицательными. Что каса­ется знака напряжений т, то здесь обусловливать его не будем,поскольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак т ро­ли не играет.Напряжения, возникающие на трех гранях элемента (натрех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих че­рез точку) показаны на рис.

7.2. На невидимых гранях элемен­та возникают соответственно такие же напряжения, но проти­воположно направленные.Система сил, приложенных к элементу, должна удовле­творять условиям равновесия. Поскольку на противополож­ных гранях возникают противоположные по направлению си­лы, то первые три условия равновесия удовлетворяются тожде­ственно, и суммы проекций всех сил на оси х, у и z равны нулюнезависимо от значений возникающих напряжений.

Характеристики

Список файлов книги