Феодосьев В.И (823545), страница 36
Текст из файла (страница 36)
6.1.Пример 6.3. Построить эпюру изгибающих моментов для рамы (рис. 6.19, а). Точки А и В рамы связаны между собой податливымстержнем с жесткостью на растяжение EqFq.276Система один раз статически неопределима. Разрезая стержень АВв верхней точке, получаем основную систему (рис. 6.19, б). Строим, далее, эпюры моментов от заданной силы Р и от единичной силы (рис. 6.19,вк а). Кроме того, на участке АВ, где необходимо учесть растяжение, строим эпюру нормальной силы 7V.
Вычисляем коэффициенты каноническогоуравнения6ц Xi + 61р = О,проводя перемножение не только эпюр изгибающих моментов, но и растягивающей силы:5/3/3EJ + E0F0'5Р/36£J‘Определяем Xi:_6ip _ Р_____ 1______6ц2 13EJSEqFqPКак видим, усилие в стержне зависит от отношения жесткости рамына изгиб к жесткости стержня АВ на растяжение. Если жесткость стержня АВ очень велика, то= Р/2, и стержень воспринимает половинусилы Р.
Если стержень АВ очень податлив, то Xi —► 0, и вся сила Рвоспринимается рамой.Рис. 6.20На рис. 6.20 представлена эпюра изгибающих моментов в раме и форма ее изогнутой оси.6.4. Использование свойств симметриипри раскрытии статической неопределимостиПоложим, имеется некоторая симметричная рама(рис. 6.21, а). Ее правую часть можно рассматривать какзеркальное отображение левой части относительно плоскости277симметрии. При расчете таких рам оказывается возможнымупростить решение задачи и снизить число искомых силовыхфакторов.Рис. 6.21Рассмотрим случаи нагружения рамы симметричной и кососимметричной нагрузками.
Под симметричной нагрузкой будем понимать такую, при которой все внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к ее левой части (рис. 6.21, б). Подкососимметричной, или антисимметричной, нагрузкой будемпонимать такую, при которой силы, приложенные к правой половине рамы, также являются зеркальным отображением сил,приложенных к ее левой половине, но противоположны им познаку (рис.
6.21, в).Аналогично классифицируем и внутренние силовые факторы. Рассмотрим для этого некоторое произвольное сечениерамы, в котором возникает шесть силовых факторов. В правойи левой плоскостях произведенного сечения (рис. 6.22) силы имоменты равны. Посмотрим, какие из шести силовых факторов образуют зеркальное отображение относительно плоскостиМхРис. 6.22278сечения. Такими оказываются три: два изгибающих моментаи нормальная сила. Будем их называть симметричными внутренними факторами. Крутящий момент и обе поперечныесилы в принятой терминологии должны быть названы кососимметричными факторами.
Каждый из них противоположенпо знаку зеркальному отображению взаимного фактора. Нетрудно теперь доказать следующие положения.У симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные силовые факторы, а при кососимметричной внешнейнагрузке - симметричные силовые факторы.Рис.
В.23Обратимся к симметричной раме, например к показаннойна рис. 6.21, и выберем основную систему, разрезая раму поплоскости симметрии (рис. 6.23). Обозначим через Xi и Х2кососимметричные, а через Х3, Х4, Х5, Xq - симметричныесиловые факторы и выпишем систему канонических уравнений. В данном случае их будет шесть:6цХ1621X1631X1641X1651X1«61X1+ £12X2+ 622X2+ 632X2+ 642X2+ 652X2+ 652X2+ £13X3+ 623X3+ 633X3+ 643X3+ 653X3+ 653X3+ £14X4+ 624X4+ 634X4+ 644X4+ 654X4+ 654X4+ 615X5+ 625X5+ 635X5+ 645X5+ 655X5+ 655X5+ 616Хб+ 625X5+ 635X5+ 645X5+ 655X5+ 6ббХб======—6ц>;~б2р;—6зР;—647»;— бзр;-6бр.Заметим теперь, что в этих уравнениях многие из коэффициентов обращаются в нуль.
Это будут все коэффициенты, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой 279кососимметричному фактору. Например, обращается в нулькоэффициент «и. Индекс 1 принадлежит кососимметричномуфактору (Xi и %2 " кососимметричные факторы), а индекс3 - симметричному фактору (Х3, Х4, Х5 и Xq - симметричные факторы). Обращаются также в нуль «14, «15, «16, «23>«24 И Т.Д.Происходит это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок. Точно так же не возникает симметричных перемещений под действием кососимметричных факторов.
Сказанное становится еще более очевидным,если учесть, что в рассматриваемой системе эпюра изгибающих моментов от кососимметричных факторов будет кососимметричной (рис. 6.24, а), а от симметричных факторов - симметричной (рис. 6.24, б). При перемножении таких эпюр, естественно, получим нуль, в то время как перемножение кососимметричной эпюры на кососимметричную и симметричной насимметричную дает результат, отличный от нуля.аВРис. в.24Итак, вычеркивая из системы уравнений коэффициенты,обращающиеся в нуль, получаем+ ^12^2 =-^1р;^21-^1 + ^22-^2 = ~&2р\* *333+ ^34-^4 + ^35-^5 + *636= ~ *ЗР>* *343+ 044X4 + *45X5+ *45X5= —*4/>;* *353+*454+*555+ *656= ~*5р5* *363+*464+*565+*666— —&6Р-Как видим, система уравнении распалась на две независимые.280Теперь положим, что внешняя нагрузка является симметричной.
Из высказанных выше соображений следует, что= ^2р = 0. Первая система уравнений становится однородной. Тогда Xi = 0, X? = 0.Следовательно, при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы в плоскости симметрии обращаютсяв нуль.При кососимметричной нагрузке &зР = &4Р = 6$Р = 6^Р == 0. Тогда Хз = 0, Х4 — 0, Ag = 0, Хв = 0. В этом случае в плоскости симметрии обращаются в нуль симметричныесиловые факторы.Все сказанное, понятно, сохраняет силу не только дляплоских, но и для пространственных рам при любой степенистатической неопределимости.Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, необладает ни прямой, ни косой симметрией, всегда имеется возможность разложить ее на кососимметричную и симметричную, как это показано, например, на рис. 6.25.
Задача, такимобразом, распадается на две. Рассматривают отдельно симметричную раму с кососимметричной нагрузкой и раму с симметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в рамеопределяют в дальнейшем наложением полученных решений.Рис. в.25В случае, если рама геометрически кососимметрична(рис. 6.26), можно также путем сопоставления эпюр для двухполовин рамы получить упрощения в системе каноническихуравнений.
Нетрудно, например, таким способом установить,281что для рамы, показанной на рис. 6.26, при выбранной основной системе 613 = 0, 623 = О, 6^Р — 0, &2р — 0- Тогда уравненияпринимают вид+ $12X2 = 0;621X1 + 622X2 = 0; 633X3 + бзр = 0.Следовательно, в сечении А возникает только изгибающий момент, а нормальная и поперечная силы обращаются в нуль.Пример 6.4. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.27, а.Рис.
6.27Рама симметричная и нагружена кососимметрично расположенными силами. Разрезаем ее по оси симметрии и в произведенном сечении прикладываем силы Xi (рис. 6.27, б). Строим эпюры моментов(рис. 6.27, в, г). Симметричные силовые факторы, как мы уже знаем, равны здесь нулю.Взамен трех уравнений получаем одно: 6цХ1 4- 61Р = 0, где7Z3PZ335п = 77TF7'= — • г j * откуда Xi = - Р. Эпюра изгибающих мо12z>j4£у7ментов и форма изогнутой оси рамы представлены на рис.
6.28.Пример 6.5.Определить наибольший изгибающий момент вкольцевой раме, нагруженной двумя силами Р (рис. 6.29).282Рис. 6.29Рис. 6.28Рама три раза статически неопределима, но условия симметрии позволяют сократить число неизвестных до одного. Разрежем раму по вертикальному диаметру АВ (рис. 6.30, а), т.е. по оси симметрии.
В сечениях А и В поперечные силы равны нулю. Рама одновременно симметричнаотносительно линии действия сил. Поэтому Na = NB = yi МА = Мв.Обозначим момент через Х\.В итоге получаем эквивалентную систему,рис. 6.30, б.представленную наРис. 6.30В сечении с угловой координатоймомент от заданных сил Р будетPRMчМд = — (1 -соа^). Момент единичного силового фактора равен Mi == -1.Определяем коэффициенты канонического уравненияir/2f М2 R dtp __ irR '_6111г/2J0EJ~ 2ЁГ$[ MpMiRdtp ___1P~ JEJPR2 / x~~2EJ\1J'0Тогда283Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сумме моментаот заданных сил и момента Mi, увеличенного в Xi раз.В итогеМ = Мр — Xi = PR ( — — 1 cos\ 1Г£'✓Л7Согласно этому выражению, нарассматриваемой четверти окружности может быть построена эпюра изгибающего момента, которую затемпо условиям симметрии можно распространить и на другие участкиокружности (рис.
6.31). Наибольшийизгибающий момент возникает в точках приложения сил Р и равен PRI.*Рис. 6.31Пример 6.6. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру моментов для рамы, показанной на рис. 6.32, а.!№!!!»»№!!№!аРяс. 6.32Рама геометрически кососимметрична. Разрезаем ее в центре симметрии и прикладываем в сечении три неизвестных силовых фактора(рис. 6.32, б). Строим все четыре эпюры моментов (одну - от заданныхсил и три - от единичных силовых факторов). Сопоставляя эти эпюры(рис. 6.33), убеждаемся, что 6qp = 6$р = 6ц = 6ц = 0.
Следовательно,система трех канонических уравнений принимает вид6цХ1 = —6ipj622X2 4- 623-Хз = 0;632X2 4- 633X3 «= 0,откуда Х2 = Хз = 0.Далее, перемножая эпюры, находимX _ 8i.611 "ЁГ284а _ 2<в1₽“зЁТх _я/2/12Рис. в.33Рис. в.34Суммарная эпюра изгибающих моментов показана на рис. 6.34.Рассмотрим еще один пример, не относящийся к свойствам симметрии, но наглядно иллюстрирующий значениеправильно выбранной основной системы при раскрытии статической неопределимости.Пример 6.7. Раскрыть статическую неопределимость стержняпостоянного сечения, расположенного на десяти равноотстоящих одна отдругой опорах (рис. 6.35, а).В данном случае (и не только в данном, но и вообще для многопро,летного стержня) удобно образовать основную систему, врезая на опорах285X Л/X, %аX* XjXsXsX,Рис.
в.35шарниры и вводя в качестве неизвестных так называемые опорные моменты (рис. 6.35, d). Таких моментов будет восемь.Построим эпюры от заданного и от единичных моментов (рис. 6.35,e-J). Эпюры от единичных моментов представляют собой треугольники,расположенные лишь на смежных с опорой пролетах, а эпюра от внешнихсил изображается треугольником на первом пролете.Составим систему из восьми уравнений. В первом уравнении отличными от нуля будут следующие коэффициенты:_2/1 “ ЗЕГI19 ” 6ЕГ£Ml1Р ~ 6EJ'Во втором уравнении также обратятся в нуль все коэффициенты, крометрех:*316Е J ’баз =21ЗЕГбаз —-----6£Jи т.д. В итоге после сокращений система уравнений примет вид4X1 + Хз +0...Xi 4" 4 Хз 4" Хз 4" 0 4" ■ ■ ■О +Хз 4-4Хз 4- Х4 4- 0 + ...О 4" Хз 4" 4Х< 4" Ха 4" 0 4"= -м,= О,= о,= о,О +Xi+4Xt= 0.288Мы получили систему уравнений трехдиагональной структуры.Термин не требует разъяснений, и говорит сам эа себя.
Вообще, диагональные матрицы (таблицы) коэффициентов при раскрытии статическойнеопределимости получаются для систем, имеющих однотипные, повторяющиеся элементы. Такими элементами в данном случае являются пролеты многоопорного стержня. В более сложных задачах системы уравнениймогут получиться не только трех-, но и пяти-, семи- или девятидиагональными. Эти системы обладают относительной простотой и особенноудобны (при большом числе неизвестных) для машинного счета. Именнопоэтому в последние годы получили развитие приемы расчета, основанныена предварительном разбиении сложных конструкций (типа оболочек с ребрами) на множество однотипных элементов, наделенных определеннымисвойствами. Условия совместной деформации элементов записывают с таким расчетом, чтобы матрица обладала диагональными свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
