Феодосьев В.И (823545), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Приопределении перемещений и напряжений, однако, указанныеособенности пружин обычно не учитываются и концевые витки из рассмотрения исключаются.Рис. 5.26Определим зависимость изменения высоты пружины растяжения - сжатия от осевой силы Р. В любом поперечномсечении витка пружины растяжения возникает результирующая внутренняя сила Р (рис. 5.26, а) и момент М = РЛ/2.Полная сила в сечении параллельна оси пружины, а плоскостьмомента М совпадает с плоскостью пары сил Р. Нормальное поперечное сечение витка повернуто по отношению к этойплоскости на угол а. Раскладывая момент и силу на составляющие относительно осей, связанных с сечением (рис.
5.26, б),находимDID* = Р ycosa; М = Pysina;МQ = Pcosa;N = Psina.Для того чтобы определить осевое перемещение А, прикладываем к концам пружины единичные силы и находим возникающие при этом внутренние силовые факторы. Последние,251очевидно, определяются выражениями (5.11), уменьшеннымив Р раз:= — сова;М{ = — sin а;Qi = сова;ATi = sin а.Для определения перемещений в цилиндрической пружиненеобходимо, следовательно, написать четыре интеграла Мораиз шести (см. формулу (5.8)).
Однако перемещения, обусловленные нормальной и поперечной силами, как и для всякогостержня, малы, а вследствие малости угла а малым будет иосевое перемещение, связанное с изгибом витков. Поэтомуdzgj7lгде GJK - жесткость витка на кручение. Полагая cos awl, поPD2лучим А = 7775“ h где i ~ полная длина рабочей части витков,4(7равная / w тг Dn. Таким образом,_ PirD3n-г-ц — ■4CJJKПри определении п для пружины растяжения отогнутаячасть витков на ее концах*вовнимание не принимается. Дляпружины сжатия из полного числа витков следует исключитьпримерно по 3/4 витка с каждого торца, поскольку эти виткиподжаты при навивке к соседним и свободно деформироватьсяне могут. Таким образом, предполагается, что 1,5 витка вработе не участвуют.Если пружина навита из круглой проволоки, то JK = Jp == Trd4/32, и тогда формула (5.12) принимает видЛ_ 8РР3пА- G& '(5.13)Поскольку витки пружины растяжения - сжатия работают восновном на кручение, имеемМкPDТтах —2S2“2Й?В случае кругового поперечного сечения_ AfK _ 8РРТт“ “” ird’ ’Переходя к пружинам кручения, заметим, что при их расчете наибольший интерес представляет определение угловогоперемещения одного конца относительно другого.Рис.
5.27В поперечных сечениях витка пружины кручения возникает полный момент М — ЯП (рис. 5.27). Раскладывая его поосям, находим М1 = ЯЛ cos а; Л/к = ЯЛ sin а. После приложения к концам пружины единичных моментов получимМ1 = cos а;A/Ki = sin а.Вследствие малости угла а пренебрегаем перемещением, связанным с кручением витков, a cos а полагаем равным единице.ТогдаM9M[dz _ ЯЛ/EJX“ EJX ’илиЯЛтг£)пV=~EjrНаибольшее напряжение изгибаamax= wx'253Задачи, возникающие при расчете витых пружин, далеконе исчерпываются изложенным.
В случае, когда диаметр проволоки d соизмерим с диаметром витка D, возникает необходимость введения поправок на большую кривизну. В некоторыхслучаях бывает необходимо определить так называемые вторичные перемещения, например изменения диаметра или числа витков пружины растяжения.
В ряде случаев представляетинтерес создание пружин с нелинейной зависимостью осадки Аот силы Р. Это достигается тем, что часть витков в результате осадки пружины последовательно выключается из работы.Встречаются задачи, связанные с расчетом нецилиндрическихпружин, и многие другие. Все они, однако, выходят за рамкикурса сопротивления материалов и здесь не рассматриваются.5.6. Теорема взаимности работТеорема взаимности работ, подобно теореме Кастилиано,относится к числу общих теорем сопротивления материалов.Она прямо вытекает из принципа независимости действия сили применима ко всем системам, для которых соблюдается этотпринцип.Рис.
5.28Рассмотрим упругое тело, к которому приложены сила Piв точке А и сила Р2 в точке В (рис. 5.28). Полагая, что к системе может быть применен принцип независимости действиясил, определим работу, которую совершат силы Pi и Р% припрямом и обратном порядке приложения.Прикладываем сначала в точке А силу Pi. Эта сила совершит работу - Pi^i, где- перемещение точки А по направлению силы Pi, вызванное этой силой. Далее, в точке В254прикладываем силу Р%. Эта сила совершит работу, котораябудет иметь аналогичное выражениеОдновременносовершит работу и сила Pi, поскольку при приложении силыРа произойдет и пермещение точки Л.
Работа силы Pi будетР1^ла» где- перемещение точки А по направлению силы Piпод действием силы Ра приложенной в точке В.В итоге получим сумму работ при прямом порядке приложения сил:2 12 л1Теперь приложим сначала силу Ра, а затем Pi. Тогда,очевидно, выражение работы будет следующим:2 *' 2 1'Приравнивая работы, находимРбда =(5.14)Полученный результат может быть сформулирован следующим образом: работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работевторой силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы.В этом и заключается теорема взаимности работ.Эта теорема приобретает большую общность, еслиучесть, что здесь, как и при выводе теоремы Кастилиано, подР1 и Ра можно понимать не просто силы, а обобщенные силы,а под 6А2 и 6в1 ~ обобщенные перемещения.Иногда в теорему взаимности работ вкладывают более узкое содержание, трактуя ее как теорему взаимности перемещений.
Если Pi = Ра, выражение (5.14) принимает видбд2 = 6д1.(5.15)Перемещение точки А под действием силы, приложеннойв точке В, равно перемещению точки В под действием такойже силы, приложенной в точке А.Сказанное может быть проиллюстрировано на примеребалки, нагруженной силой Р поочередно в точках А и В255Рис. 5.29(рис. 5.29). Согласно теореме взаимности перемещений, отмеченные на рисунке отрезки 6ЛЗ и $bi равны.Теоремы взаимности работ и перемещений оказываютсявесьма полезными, так как позволяют в ряде случаев сильноупростить решение многих задач сопротивления материалов.Это мы увидим, в частности, в следующей главе, где будутрассмотрены общие вопросы раскрытия статической неопределимости систем.В некоторых случаях теорема взаимности работ дает возможность весьма просто решать в общем виде такие задачи,которые другими методами могут быть решены только с большим трудом.Пример 5.11.
Определить изменение объема упругого тела произвольной формы, нагруженного двумя равными, противоположно направленными силами Р (рис. 5.30). Расстояния между точками приложениясил равно Я. Упругие константы материала заданы.Понятно, что найти решение задачи в столь общей постановке представляется весьма затруднительным.
Однако на помощь приходит теорема взаимности работ. Одновременно с заданной нагрузкой будем рассматривать случай нагружения тела равномерно распределенным давлениемр, действующим по поверхности. Тогда имеем две обобщенные силы: систему двух сил Р, с одной стороны, и давление р, с другой.Согласно теореме взаимности работ, можно сказать, чтоРДНр = рДУр,(5.16)где &Нр - взаимное смещение точек приложения сил под действием давления р, а ДРр - искомое изменение объема тела под действием сил Р.При нагружении тела равномерно распределенным давлением в любой площадке тела возникает напряжение «г, равное давлению р. Для элементарного объема, показанного на рис. 5.31, относительное сжатие в лю256Рис.
5.30Рис. 5.31бом направлении, согласно закону Гука, будет следующим:а°аР Z.Л ЧТочки приложения сил Р (см. рис. 5.30) сблизятся под действием давленияр наДЯр = £(1-2д) Н.Тогда, подставляя &НР в выражение (5.16), находимДЦ,РИ(1 - 2д).Пример 5.12. Замкнутая нерастяжимая рама, имеющая формукруга, нагружена в своей плоскости произвольной системой сил (рис. 5.32).Показать, что площадь, ограниченная рамой, при ее изгибе не меняется.Рис. 5.33Изменение площади рассматриваем как обобщенное перемещение.Соответствующая этому перемещению обобщенная сила представляет собой распределенную нагрузку с постоянной интенсивностью q. Поэтомунаряду с заданным случаем нагружения рассмотрим нагружение той жерамы равномерно распределенной нагрузкой д (рис. 5.33).
Тогда, согласнотеореме взаимности работ, ИМёёМ9дг; = £Pi«i9,9 В. И. Феодосьев(5.17)257где AFp - искомое изменение площади под действием произвольной системы сил; 52~ сумма работ этих сил на перемещениях! вызванныхраспределенными силами д.Под действием сил q перемещения в кольце возникать не будут, поскольку кольцо нерастяжимое, и поэтому= 0. Следовательно, праваячасть уравнения (5.17) обращается в нуль, и AFp = 0, что и требовалосьдоказать.Понятно, что полученный результат является правильным толькодля малых перемещений, пока к системе может быть применен принципнезависимости действия сил.Глава вРАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙНЕОПРЕДЕЛИМОСТИ СТЕРЖНЕВЫХСИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ6.1.
Связи, накладываемые на систему.Степень статической неопределимостиВыше (в гл. 1 и 2) были частично затронуты вопросы,связанные с понятием статической неопределимости. Для решения большинства встречающихся на практике задач описанные приемы оказываются, однако, далеко не достаточными. Поэтому необходимо остановиться на более общих методахраскрытия статической неопределимости стержневых систем.Под стержневой системой в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму стержня.
Если элементы конструкции работаютв основном на растяжение илисжатие, то стержневая системаназывается фермой (рис. 6.1).Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники.Для фермы характерно приложеРис. 6.1ние внешних сил в узлах.и9*269Если элементы стержневой системы работают в основномна изгиб или кручение, то система называется рамой (рис. 6.2).Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы. У плоской рамыили фермы оси всех составляющих элементов расположены водной плоскости, которая одновременно является главной плоскостью сечений. В этой же плоскости действуют все внешниесилы, включая и реакции опор (см. рис. 6.2, а).Наряду с плоскими имеются так называемые плоскопространственные системы. Для такого рода систем оси составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются, как и для плоских систем, в одной плоскости.
Внешниеже силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости (см. рис. 6.2, б). Стержневые системы,не относящиеся к двум указанным классам, называются пространственными (см. рис. 6.2, б).Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой все реакцииопор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и внутренние силовые факторыв любом поперечном сечении. Под статически неопределимой системой имеется в виду такая, для которой определение260внешних реакций и всех внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравненийравновесия.Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравненийстатики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени, или числа статической неопределимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
