Феодосьев В.И (823545), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вид эпюры изгибающих моментов меняется в зависимости от длины I.При малой длине эпюра имеет вид кривой, показанной на рис. 4.49.Для более длинной балки эпюра изгибающего момента меняет знак и принимает вид кривых, показанных на рис. 4.50.МтахРис. 4.502064.8. Косой изгибПод косым изгибом, как нам уже известно, понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает с главной осью сечения.
Косой изгиб удобнеевсего рассматривать как одновременный изгиб в двух главных плоскостях zOx и zOy (рис. 4.51). Для этого изгибающийРис. 4.51момент М раскладывается на составляющие моменты относительно осей х и у\Мх = М sin а;Му = М cos а.Нормальное напряжение в точке, имеющей координаты хи j/, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами Мх и Му, т.е.„ =илиJzJy(4.27)(У .X\— sin а + — cos а ).JxJyJСледовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор а, то концы векторов, как и при простом изгибе,образуют плоскость.
Уравнение нейтральной линии в сечениинайдем, полагая о = 0:У= -ж y-ctgo.(4.28)Jy207Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента.Действительно, угловой коэффициент к^ следа плоскости момента (см. рис. 4.51, б) представляет собой тангенс угла а:Ai = tga.Угловой же коэффициент нейтральной линии (см. формулу(4.28)) равенk2 = --^ctga.Так как в общем случае JxJy, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, несоблюдается, поскольку к} — 1/А:2- Стержень, образно выражаясь, “предпочитает” изгибаться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость наизгиб будет меньше.
Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна плоскости момента, а несколько повернута в сторонуоси минимального момента инерции (см. рис. 4.51, б).Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейна, то максимальное напряжение возникает в точке, наиболееудаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки будут si, ух- Тогда, согласно выражению (4.27), получаемМху1МуЦ^тах —7-------1------ j---Jy(4.29)Когда сечение имеет простую форму (круг, прямоугольник), наиболее опасная точка может быть определена сразу. Вслучае сложной формы сечения удобно прибегать к графическому методу.
Для этого сечение вычерчивают в масштабе ипроводят главные оси х и у. Затем, согласно формуле (4.28),получаем уравнение и, строим нейтральную линию. При помощи линейки и угольника (рис. 4.52) определяют точку, наиболее удаленную от нейтральной линии, а ее координаты zi,У1 определяют непосредственно с чертежа.208Рис.
4.53Пример 4.12. Балка равнобокого уголкового профиля (рис. 4.53),защемленная одним концом, находится под действием собственного веса.Требуется определить наибольшее напряжение в заделке. Длина балкиI — 3 м, профиль № 10, толщина стенок профиля 6 = 10 мм.По таблицам стандартных профилей (см. приложение) определяеммассу балки на единицу длины - 15,1 кг/м. Отсюда q = 1,48 Н/см. Поформуле Л/ = qt2/2 находим наибольший изгибающий момент:М = 66600 Н-см. Плоскость этого момента параллельна стороне уголкаи составляет с главными осями угол cl — 45°. Вычерчиваем в масштабепоперечное сечение (рис. 4.54) и проводим главные центральные оси х и у.Рис.
4.54Из таблиц сортамента находим J® = Jmax = 284 см4, Jy == Jmin = 74,1см4. Согласно формуле (4.27), получаем уравнение209нейтральной линии284J(?o„„оУ = -X —— ctg 45 = “3,83х.74,1Проводим эту прямую, и определяем наиболее удаленную от иееточку А (см. рис. 4.54). Координаты этой точки будут zi = —3,6 см,у/2ух — —6,4 см; Мх — Му = М---- = 47090 Н-см. По формуле (4.29) определяем47090-6,4 47090-3,6 _ „ , мтт~— —33, 5 .МПа.28474,1Пример 4.13. Двухопорная балка (рис.
4.55, а) нагружена силами Р и 2Р. Определить наибольшее напряжение, если сечение балки прямоугольник со сторонами Ъ и 2Ъ (рис. 4.55, 6).2РРис. 4.55В данном случае внешние силы приложены по главным осям сеченияи удобнее всего рассмотреть раздельно эпюры изгибающих моментов отодной и от другой силы. Наиболее опасными будут точки, расположенныена ребре АВ, где суммируются наибольшие сжимающие напряжения, илина ребре CD, где суммируются наибольшие растягивающие напряжения.Рассмотрим средний участок.
На расстоянии z от левой опоры2РР(рис. 4.55, в) имеем Мх =(3/ — я); Му — — я. Для точки ребра CD«3О_ 2Р 31 - гат“ " Т2103 WyТак как Wx = Ь(2Ь)2/6 и Wv = 2ЬЬ2/6, то для среднего участка <rm*xоказывается не зависящим от я и равным ЗР//63. На первом и третьемучастках напряжения будут меньшнмн.4.9. Внецентренное растяжение - сжатиеПри внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и остается ей параллельной (рис.
4.56).Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты zq и у$(см. рис. 4.56). Тогда относительно главных осей равнодействующаясила Р дает моментыМх - РуоиМу = Лео-Таким образом, внецентренноерастяжение - сжатие оказываетсяродственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, привнецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникаютне только изгибающие моменты, нои нормальная сила N — Р.В произвольной точке В с координатами х, у нормальное напряжение а определяется следующим выражением:„Р , РуйУ , P^qx° = г + -~г~ + —т~ГJx(4-3°)JyРис.
4.56Пространственная эпюра напряжений образует плоскость.Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивал а нулю:1!Щ + ^=0{431)ГJXJy211Наибольшие напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке с координатами zi, j/i, наиболее удаленной от нейтральной линии:^ГПЛХ_ р ( 1 , У0У1 , SQS1I r~i I7I7\ГJzJyПри внецентренном растяжении - сжатии в отличие откосого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных zq и j/о по крайней мере одна из координат я, у, входящих в уравнение (4.31), должна быть отрицательной.
Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральнаялиния проходит с противоположной стороны центра тяжести через квадранты 2, 3 и 4(рис. 4.57).Расстояние от начала координат до некоторой прямой,уравнение которойау + Ьх + с — 0,как известно из курса аналитической геометрии, равносОС =В данном случае (см. рис. 4.57)ОС =1/F =.у/Уо/Jz + ^о/Jy(4.32)Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.212В пределе при zq = уц = 0, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности.Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно. По мере того как точка приложения силы удаляетсяот центра тяжести, отрезок ОС уменьшается и нейтральнаялиния, следовательно, приближается к центру тяжести.Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами.
В первом случае всечении возникают и растягивающие, и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечениябудут одного знака.Затронутый вопрос имеет значение, например, для расчета сжатых кирпичных колонн. Кирпичная кладка плохо сопротивляется растяжению. Поэтому желательно, чтобы напряжения при внецентренном сжатии были для всего сечениясжимающими и чтобы нейтральная линия проходила за пределами сечения. Для этого нужно внешнюю силу прикладыватьдостаточно близко к центру тяжести.В окрестности центра тяжести существует область, называемая ядром сечения.
Если след силы Р находится внутриядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения,нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими. Когдаточка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядросечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения.
Точка приложения силы вычертитпри этом контуры ядра.Рассмотрим примеры.Пример 4.14. Установить, который из стержней, показанных парис. 4.58, способен выдержать большую нагрузку без признаков пластических деформаций.В случае а сила Р для ослабленного сечения является нецентральной. Ее плечо относительно оси у равно а/4. Следовательно, наибольшеерастягивающее напряжениеРЬРа/4 __ 4<Гга“ ~ аЗа/2 + а(За/2)2 " 3Р213В случае б сила Р является центральной и= Р/а?.Таким образом, в стержне, имеющем вырезы с двух сторон, напряжение будет меньше.Пример 4.15. Определить размеры ядра сечения для стержня,имеющего круглое сечение радиусом R (рис.
4.59).По условиям симметрии ядро сечения также должно иметь формукруга. Пусть точка приложения силы находится на оси yt а нейтральнаялиния касается контура сечения (см. рис. 4.59). Тогда ОС = Я, уо = г,то = 0.Учитывая, что F = хЯ2, a Jx = хЯ4/4, получим из формулы (4.31)радиус ядра у0 = г = Rf±.Пример 4.16. Определить ядро сечения для стержня, имеющегосечение в виде прямоугольника со сторонами 6 и Л (рис.
4.60).Сначала по формуле (4.32) определяем ординату j/o точки А пересечения контура ядра сечения с осью у. Когда след нормальной силынаходится в точке А, нейтральная линия совпадает с нижним основанием прямоугольника, при этом ОС = Л/2, zq = 0, F — bh} Jx = ЬЛ3/12.Формула (4.32) дает уо = Л/6.Когда равнодействующая сил переместится в точку В, расположенную на расстоянии Ь/6 от центра тяжести, нейтральная линия совпадет с214правой стороной прямоугольника, Симметрично точкам Л и В располагаются точки А* и В* (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
