Феодосьев В.И (823545), страница 26
Текст из файла (страница 26)
4.38, г).191Для корытного профиля (рис. 4.39) в точке А имеемЪМА = 2 у rids.ОСогласно выражению (4.15), после интегрирования получимМА = Q362h + 6b‘Отсюда следует, что центр изгиба находится на расстоянии362------ - от средней линии стенки (см. рис. 4.39, в).h + 6оРис. 4.39Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгибасовпадает, очевидно, с центром тяжести.В некоторых простейших случаях положение центра изгиба может быть указано без проведения каких бы то ни было вычислений. Например, у таврового и углового профилей(рис. 4.40) центр изгиба находится в точке пересечения среднихЦентр изгибаРис.
4.40192линий стенки и полки. Момент касательных сил относительноэтой точки всегда равен нулю.Итак, если момент касательных сил в сечении относительно центра изгиба равен нулю, то и момент внешних силотносительно центра изгиба должен быть равен нулю, иначе в стержне будут возникать деформации, свойственные нетолько поперечному изгибу, но и кручению. В дальнейшем целесообразно, очевидно, при определении внутренних силовыхфакторов приводить касательные силы в сечении не к центрутяжести, а к центру изгиба и под крутящим моментом понимать соответственно внутренний момент относительно центраизгиба.
Так, рассматривая, например, стержень, показанныйна рис. 4.41, можно сказать, что поскольку линия действия силы проходит через ось z* (ось центров изгиба), то крутящиймомент в сечении равен нулю и стержень закручиваться небудет.Рис. 4.41Рис. 4.42Но, например, тот же самый стержень, защемленный одним концом и находящийся под действием собственного веса(рис. 4.42), будет закручиваться. Крутящий момент в заделкеравенМк =1 В.
И ФсодосьевQ - 2R = ql • 2R.193Рис. 4.43Дополнительные касательные напряжения кручения распределяются в сечении по законам для открытого профиля.При этомЗЛ/К3qlTmaX = 72? =(см. формулу (2.28) § 2.5). Аналогичная картина имеет место и при изгибе тонкостенного стержня любого профиля, еслитолько равнодействующая внешних сил не проходит в сечениичерез центр изгиба (рис. 4.43).4.6. Дифференциальные уравнения равновесиястержня.
Перемещения при изгибеФорму изогнутой оси стержня или, как говорят, форму упругой линии можно определить при помощи выражения(4.5). В неподвижной системе координат yOz (рис. 4.44)11 —-.-1 = ------уЦр(1 + у/2)3/2(4.16)Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений.Тогда тангенс угла 6 между касательной к упругой линии иосью z (см. рис. 4.44) весьма мал.
Поэтому квадратом величины у по сравнению с единицей можно пренебречь и принятьоткуда(4.17)194Рис. 4.44Сопоставляя выражение (4.17) с формулами (4.1), получаем очевидную цепочку дифференциальных соотношений:о = У \ м = EJ,/; Q = (ЕЛ/)'; qv = (EJxy")".(4.18)Для стержня с постоянным сечением имеемв = у'-,М = EJxy"‘,Q = EJxy"'-,qy = EJxyw.(4.19)Соотношения (4.18) можно представить как систему из четырех линейных уравнений первого порядкаdQ77 “/ чЛ~ 0;de _ мdz EJx(z)duvdz - 6 = °,где Uy - отклонение точек осевой линии стержня от ее положения в недеформированном состоянии.
При изгибе прямолинейных стержней= у, но при изгибе криволинейных стержнейЦу 0 у. Угол поворота сечения в = duy/dz. Первые два уравнения являются частным случаем уравнений (В9) и (В11).11 Первые два уравнения (4.18) отличаются от (В9) и (В11) знакамиперед qy и Q.Как правило, в сопротивлении материалов направлениесилы Q, показанное на рис. 4.9, считается положительным, тогда как вмеханике, использующей при выводе уравнений равновесия методы механики сплошной среды, такое направление считается отрицательным.7*195Систему уравнений (4.20) можно представить в более компактной форме записи:~ + A(^)Z = b,(4.21)dzгде Z = (Q, М, 6, иу)т - вектор, характеризующий напряженно-деформированное состояние стержня; b = (fy,0,0,0)T.Матрица A(z) равна’ 0-1А^=0000000О'00 ‘0-10Решение системы уравнений (4.20) или уравнения (4.21)содержит четыре произвольные постоянные, определяемые изграничных условий.
Например, для стержня, показанного нарис. 4.44 имеем: 1) z = 0, Uy = в = 0, 2) z = /, М = 0,Q — ~р. Для стержня с переменным сечением и переменнойпо z распределенной нагрузкой g(z) определить напряженнодеформированное состояние (т.е. найти перерезывающую силу Q(z), изгибающий момент A/(z), угол fl(z) и перемещениеUy(z)) проще всего численными методами решения систем дифференциальных уравнений [9].Рассмотрим один из методов численного решения линейных дифференциальных уравнений - метод начальных параметров.
Изложенный ниже метод справедлив не только длястержня, нагруженного по всей длине распределенной нагрузкой, но и для общего случая нагружения, когда распределеннаянагрузка приложена к части стержня и, кроме того, действуютсосредоточенные силы и моменты (см. рис. В.II)11 Эти сложные задачи статики стержней рассмотрены в монографииВ.А. Светлицкого “Механика стержней” (- М.: Высш, шк., 1987. Т1.).196В курсе высшей математики, в разделе, посвященном системах линейных дифференциальных уравнений с переменными и постоянными коэффициентами, показано, что общее решение неоднородного уравнения (4.21) имеем видZ(z) = К(г)С + ZK(z),где K(z) - фундаментальная матрица решений однородногоуравнения (4.18), С - вектор произвольных постоянных, ZH частное решение неоднородного уравнения (4.21).
МатрицуK(z) можно получить из однородного уравненияdZ°+ AZ°dzрешая его четыре раза при следующих начальных условиях:IINо -^«11ОСОс?'0'01.0.'0'00.1.4Каждое из решений z^(z) (j — 1,..., 4), удовлетворяющее этимначальным условиям, есть столбец матрицы K(z), поэтомуматрица K(z) при z = 0 является единичной. Частное решениенеоднородного уравнения (4.21) получаем, решая это уравнение при нулевых начальных условиях. Компоненты вектораC(ci, C2, сз, С4) находим из краевых условий (условий закрепления концов стержня). Найти все cj из краевых условий приz = 0 нельзя.
В этом основная особенность задач статики (идинамики) упругих систем. В теоретической механике (в разделе динамика) все начальные условия задают в начальныймомент времени (задача Коши). Поэтому эти задачи частоназывают одноточечными краевыми, а задачи статики и динамики упругих систем - двухточечными краевыми.Например, для случая, показанного на рис.
4.44, имеем приz = 0(ZH(0) = 0)Г <2(0)1М(0)о■1ооо10оо1..ооо.оО'оо1.‘СГс2сз-с4-197т.е. сз = С4 = 0. Оставшиеся две произвольные постоянные cjи С2 находим из краевых условий при z = IГ <9(01л/(/)WL«,coJ*1з(0«20*н2(0*42(0 *43(0 MOJ . 0 .Так как при z — I должны выполняться два условия:Q(/) = — Р, М(1) = 0, то получаем систему из двух уравнений для определения q и cj:41(0*1о = *21 С1 + *22 с2 + гн2-Определив ci, С2, сз и С4, находим решение уравнения (4.21),или системы (4.20).
При использовании для исследованиястатического напряженно-деформированного состояния прямолинейного стержня системы из четырех уравнений первогопорядка отпадает необходимость делить задачи на статическиопределимые и статически неопределимые, что приходится делать при решении уравнений второго порядка.Понятно, что написанные выше соотношения (4.18) и(4.20) являются точными в той мере, в какой перемещенияможно считать малыми. Подавляющее большинство задач,связанных с расчетами прямолинейных стержней на прочностьи жесткость при изгибе, решают в указанном предположении,причем с весьма высокой степенью точности, поскольку величина у/2, отброшенная в выражении (4.16), действительно мала.В некоторых случаях возникает необходимость решить задачу при больших упругих перемещениях.
Такого рода задачивстречаются в основном при исследовании специальных пружин приборов.Если система способна при больших перемещениях сохранять упругие свойства, то она называется гибкой, независимоот того, идет ли речь об изгибе, кручении или растяжении.При изгибе предельные упругие перемещения определяются не198только свойствами материала, но в равной мере отношением длины балки к размеру поперечного сечения в плоскостиизгиба.Наибольшее относительное удлинение при изгибе, согласно формуле (4.2), равно_ 2/тах£щах — ——,Ра напряжение __ р Утах^тах —•РЗначительные перемещения стержень сможет получить приусловии большого изменения кривизны 1/р. Но при напряжениях, не превышающих предел упругости, это возможно только при достаточно малом утах? т.е.
при малой высоте сечения.Гибкий стержень имеет поэтому обычно форму тонкой ленты или тонкой проволоки и часто называется тонким гибкимстержнем.Дифференциальное уравнение упругой линии гибкогостержня имеет видМ _у11EJX(1 + у'2)3/2Отличие этого уравнения от уравнения (4.17) заключается не только в том, что здесь сохраняется нелинейный член?/2 в знаменателе. Для гибкого стержня в выражении для Мнужно обязательно учитывать перемещения, возникающие встержне. Указанную особенность гибких стержней наглядноиллюстрирует пример консоли (см.
рис. 4.44). Видно, что с ростом прогибов вертикальная сила Р получает горизонтальноесмещение. В результате этого изгибающий момент в каждойточке стержня изменяется на некоторую величину, зависящуюкак от местного горизонтального смещения, так и от горизонтального смещения точки приложения силы Р.Общие методы изучения больших перемещений при изгибе объединяет так называемая теория гибких стержней, которая выходит за рамки сопротивления материалов и в настоящем курсе не рассматривается.Приведем некоторые примеры определения формы упругой линии изогнутого стержня при малых перемещениях.199Пример 4.9.Составить уравнение упругой линии консоли,нагруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 4.45).УРис. 4.45Поместим начало координат я, у в заделке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
