Феодосьев В.И (823545), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Фактически это есть доказательство того, чтовсе сечения однородного стержня при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются.Это утверждение, будучи точным для чистого изгиба, вобщем случае является приближенным и именуется гипотезойплоских сечений.Рис. 4.12Образование деформаций при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота плоских поперечных сечений одно относительно другого (рис. 4.12). Рассмотрим двасмежных сечения, расположенных между собой на расстоянииdz (рис. 4.13). Примем левое сечение условно за неподвижное.Тогда в результате поворота правого сечения на угол dd верхние слои удлинятся, а нижние - укоротятся.
Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем егонейтральным слоем и отметим CD. В результате поворотасечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим:1 _ d6_рdzПроизвольно взятый отрезок АВ = dz (см. рис. 4.13) получит приращение длины А1 В1 - АВ. Так как сечения остаютсяплоскими,А1 В1 - АВ = (р + y)dO - pdG = у dO^168РастяжениеРис. 4.13где у - расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтральной CD.
Положение этого отрезка пока неизвестно.Относительное удлинение АВ равно_ У de _ уdzр(4-2)(т = Ее = Е-.(4.3)Согласно закону Гука,РТаким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Геометрическоеместо точек в сечении, удовлетворяющее условию а = 0, называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия,очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутогостержня.Свяжем теперь напряжение а с внутренними силовымифакторами, возникающими в поперечном сечении стержня причистом изгибе.Сумма элементарных СИЛ ffdE (рис. 4.14) дает нормальную силу N в сечении.
Но при чистом изгибе N = 0. Поэтому169Рис. 4.14N = У adF = 0, или, согласно выражению (4.3), — J ydF =? FF= 0,откудаJ ydF = 0.FЭтот интеграл представляет собой знакомый нам из предыдущей главы статический момент сечения относительнонейтральной линии. Так как статический момент равен нулю,нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.Таким образом, координата у в выражениях (4.2) и (4.3) получает определенность: она отсчитывается от центральной оси,перпендикулярной плоскости кривизны. Точно так же получает определенность и кривизна 1/р, как кривизна нейтральногослоя, или как кривизна оси стержня.Внесем некоторую определенность в систему осей я, у, 2,связанную с сечением (см. рис.
4.14). Начало координат Осовместим с центром тяжести сечения. Ось z направим понормали к сечению, а ось х по нейтральной линии. Ось у перпендикулярна оси X) следовательно, она лежит в плоскости изменения кривизны. Это - так называемая подвижная системаосей) положение которой меняется в пространстве при переходеот одного сечения к другому.Изгибающий момент в поперечном сечении стержня, каки нормальная сила, может быть выражен через напряжения а:ay dF — Мх.У ах dF — Му;F170FЗаметим, что в общем случая плоскость изгибающего момента в сечении не совпадает с плоскостью yOz (см. рис. 4.14).Иными словами, изменение кривизны стержня происходит необязательно в плоскости изгибающего момента.
Этот общийслучай изгиба мы рассмотрим несколько позже, а пока ограничимся более простым частным случаем, при котором имеетместо совпадение плоскостей момента и кривизны.При указанном условии момент элементарных сил adFотносительно оси у равен нулю, а относительно оси х - полному изгибающему моменту М. Тогда получаем- I ух dF = 0;- I у2 dF = М.? F(4.4)FПервое выражение приводится к видуJxy — 0.Это значит, что изменение кривизны стержня происходит вплоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называетсяпрямым. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба,при котором плоскость изгибающего момента с главной осьюсечения не совпадает, называется косым изгибом.Из выражений (4.4) получаем зависимость кривизныстержня от изгибающего момента:1 _ М(4-5)РEJXгде Jx - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента.Величина EJX называется жесткостью стержня при изгибе.
Как и при кручении, она пропорциональна четвертойстепени линейных размеров сечения при пропорциональном ихизменении.Возвращаясь к формуле (4.3) и исключая из нее кривизну1/р, получаем выражение для напряжения а:МуJx(4.6)171утлх<hnaxРис. 4.15Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках,наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 4.15):_ Л^Угпах^тах —j</ д.Отношение Jx/Утах называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через Wx (измеряетсяв см3 или мм3):Wx =(4.7)УтахТаким образом,атах =(4.8)Эта формула является основной в расчетах на прочность приизгибе.Для стержня прямоугольного сечения со сторонами b и h_Jt — Т7Г’12ЛУтах = Ti2ГГ7/А= "Т- •О(4-9)Для стержня круглого сечения7гГ>4Jx ~ ЯЛ ’04DУтах — “Z-;2Wx —irD332□0,1D.(4.10)Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения.Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольший момент сопротивления Wx.
Чтобыформа сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по172возможности распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили, показанные на рис. 4.16. Приизгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгоду по сравнению с прочими формами поперечных сечений.Момент сопротивления Wx стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и задан в специальных таблицах. Поэтому при расчете стержня на прочность отпадаетнеобходимость проводить громоздкие вычисления по определению моментов инерции и моментов сопротивления.
В приложении приведены таблицы стандартных профилей. Кромепрофилей, приведенных в этих таблицах, существуют и другие профили, например, применяемые в самолетостроении изадаваемые специальными стандартами.Рис. 4.17Рис. 4.16Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещенииdf) двух сечений (рис. 4.17):dU = -М de.2Ноd0 =dzрМdz,ЁТХ173поэтому(411)и = /JILL/JiПри выводе формул для чистого изгиба прямого стержняне было сделано произвольных допущений и найденное решение в этом смысле можно рассматривать как точное. Однакоследует иметь в виду, что в рассматриваемой задаче не конкретизирован характер распределения внешних сил. Считается только, что во всех случаях эти силы сводятся к равнодействующим моментам, приложенным к торцам стержня. Решение будет точным только для случая, если внешние силы наторцах распределены по тому же линейному закону, что и вовсех поперечных сечениях.
Практически это условие, понятно, никогда не соблюдается, и в окрестности торцевых сечений законы распределения напряжений далеки от тех, которыеследуют из теории чистого изгиба. В соответствии с принципом Сен-Венана имеется возможность, однако, краевую зонуисключить, как это показано, например, на рис. 4.18. Тогдадля средней части стержня все выведенные выше формулы сохраняют свою силу и могут рассматриваться как точные.Рис. 4.18Рассмотрим некоторые простейшие примеры, связанные сопределением напряжений в стержне при чистом изгибе.Пример 4.1.Определить, как выгоднее расположить стерженьс квадратным поперечным сечением при изгибе: а) так, чтобы плоскость174Рис. 4.19момента была параллельна сторонам квадрата, или б) так, чтобы онасовпадала с его диагональю (рис.
4.19)?Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо подсчитать момент сопротивления Wx в первом и во втором случаях.В случае а), согласно выражению (4.9), Wx = h3/6, В случае б)Jx — А4/12, утжх = A^/7/2, и тогда Wx = A3/(6vT).Таким образом, случай а) является более выгодным. В этом случаемомент сопротивления Wx оказывается примерно на 40 % выше.Пример 4.2.
Определить, какой процент экономии металлабудет достигнут, если при неизменных прочих условиях в конструкции,работающей на изгиб, применить вместо сплошного круглого сечения полое сечение с отношением диаметров di/D? =0,9 (рис. 4.20).Рис. 4.20Момент сопротивления сплошного круглого сечения определяетсяформулой (4.10):Wxl =0,1В?.Для полого сечения величина WXi представляет собой разность моментовинерции большого и малого круга, деленную на ymMx, т.е.- « 0. Юз ( 1 - -й- ) « 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
