Феодосьев В.И (823545), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Изгибающий момент всечении, расположенном на растоянии z от заделки, равен М = P(l — z).Подставив это выражение в (4.17) и дважды проинтегрировав полученноеуравнение, найдемр/ z3Z3где С\, С? - постоянные интегрирования, определяемые из граничныхусловий. В данном случае при z = 0 имеем у = 0 и у1 = 0, откуда Gj = Ои С<2 = 0. ТогдаНаибольший прогиб имеет место в точке приложения силы Р, т.е.при z = 1, и равенР/эПример 4,10, Двухопорный стержень длиной I нагружен силойР, расположенной на расстоянии а от левой опоры (рис. 4.46). Составитьуравнение упругой линии и найти перемещение точки приложения силы.Рис.
4.46Начало координат располагаем на левой опоре. Запишем изгибающие моменты на первом и втором участках стержня:М\ = Р - z;200М? = Р j z - Р (z - а).После подстановки этих выражений в (4.17) и двукратного интегрирования полученных уравнении находимПостоянные интегрирования определяем из условии закреплениястержня и условий непрерывности при переходе с первого участка на второй: при z = 0 yi = 0; при z = а= у2 и у{ = у2\ при z = I у2 = 0. Изоаэтих условии находим Ci = — (За/ - 2/2 - а2), С2 = 0, Сз = -- (2/2 + а2),о<. После преобразований получимЛ = r* FTодJxУ2 =1•~ га~•£ - у [-23 + 3z2/ - Z (212 + а2) + а2/].о Д< Jx •В точке приложения силы Р имеем yi = у2 = —Ра2Ь2„Если сила прнло-Pl3= — - =- .48 д Jx *Координата у точки приложения силы после изгиба стержня оказывается отрицательной.
Стержень прогибается в сторону, противоположную положительному направлению оси у.жена посередине пролета, то у, =Из рассмотренных примеров видно, что для стержня, имеющего несколько участков, определение формы упругой линиистановится затруднительным. Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные.Если стержнь имеет п участков, необходимо совместно решить2п уравнений для определения 2п постоянных интегрирования. Естественно, еще более громоздкими будут выкладки длястержня переменной жесткости.В свое время на преодоление этих трудностей было затрачено много усилий.
Но, как всегда, с годами поиска вырабатывается что-то наиболее простое и целесообразное. Историянауки, изучающей сопротивление материалов, в этом смыследостаточно поучительна. Существуют графические и графоаналитические методы построения упругой линии, изучение201которых еще до недавнего времени в курсах строительном механики считалось совершенно обязательным.
Существует универсальное уравнение упругой линии для стержня постоянногосечения, где при любом числе пролетов можно ограничитьсяопределением всего двух постоянных интегрирования. Могутбыть предложены и другие, родственные им приемы построения упругой линии. Однако в настоящее время в связи с развитием ЭВМ эти методы практически не используют.4.7. Стержень на упругом основанииРасчетная схема стержня на упругом основании являетсядостаточно универсальной и позволяет предложить экономныеспособы решения многих задач.Представим себе прямой стержень, опирающийся на множество часто расположенных, не связанных между собою пружин или каких-либо других упругих элементов (рис.
4.47).Рис. 4.47Если к стержню приложены внешние силы, то со стороныпружин возникают реакции, каждая из которых пропорциональна местному прогибу. Так как расстояние между пружинами невелико, целесообразно представить реакции в виде распределенных сил, интенсивность которых qy пропорциональнапрогибу:Чу = -аг»,(4.22)202где аг - коэффициент пропорциональности, зависящий от жесткости пружин и частоты их расстановки. Знакуказываетна то, что реакции направлены в сторону, противоположнуюпрогибу.Подходя к аналогичным системам с более общих позиций,можно вообще представить пружинные опоры как некоторуюсплошную упругую среду, обладающую тем свойством, чтовозникающие с ее стороны реакции подчиняются соотношению(4.22) независимо от физических и конструктивных особенностей основания. Стержень, расположенный на такого родасплошной деформируемой среде, носит название стержня наупругом основании.
Коэффициент аг называется коэффициентом упругого основания.В инженерной практике такая расчетная схема получилаширокое распространение и используется при анализе многихконструкций. Правда, соотношение (4.22) не всегда соблюдается, но часто его можно рассматривать как приближенное.Так, оно является почти точным в рассмотренном выше случае большого числа не связанных упругих опор. Оно будеттакже точным для плавающего стержня прямоугольного сечения (рис.
4.48, а). Здесь реакция со стороны жидкости в каждом сечении пропорциональна глубине погружения стержня.В то же время для шпалы (рис. 4.48, б), лежащей на упругомгрунте, соотношение (4.22) следует рассматривать как приближенное, поскольку реакция в каждом сечении зависит нетолько от местного прогиба, но и от осадки грунта в соседнихточках.аSРис. 4.48203Для стержня переменного сечения, лежащего на упругомосновании (см. рис. 4.47, б), в первое уравнение системы (4.20)войдет еще одна распределенная нагрузка qy = — aeuy. С учетом направления q и qy имеемdQ— + аеиу = q.dz*Для численного решения уравнения (4.21) число ненулевых элементов в матрице А никакой роли не играет. Для случая закрепления стержня, показанного на рис.
4.47, а, компоненты вектора Z должны удовлетворять следующим краевымусловиям: z = 0, иу = 0, М = 0; z = /, иу = 0, М = 0.Рассмотрим частный случай, когда сечение стержня постоянно и постоянна изгибная жесткость EJX. Конечно, и вэтом частном случае для решения можно воспользоваться численным методом, но можно получить и аналитическое решение.Последовательно исключая из системы (4.20) (?, Л/ и 0,получаем уравнение четвертого порядка относительно у(«» = У}( чyIV + 4Ру =(4.23)■EjJxгде 4&4 = se/{EJx).В уравнении (4.23) использовано наиболее распространенное обозначение у вместо иу для прогибов прямолинейногостержня, лежащего на упругом основании.Решение уравнения (4.23) можно записать в видеу=sin kz + С2 cos kz) +* 2(Сз sinfcz + C4 cos kz) + y* ,+е(4.24)где *у - частное решение неоднородного уравнения (4.23).Во многих случаях более предпочтительной оказываетсядругая форма записи, которая получается из (4.24) простойперегруппировкой слагаемых:у = Ci sin kz sh kz + C2 sin kz ch kz++C3 cos fczshfcz + C4 cos fczch fcz + y* ,где sh kz и ch kz - гиперболические синус и косинус.204(4.25)Если функция у определена, то, согласно выражениям(4.19), без труда можно определить изгибающие моменты ипоперечные силы.Пример 4.11.
Деревянный стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.49) плавает на воде. К стержню в середине приложенасосредоточенная сила Р. Определить наибольший изгибающий момент впредположении, что сила Р не очень велика и стержень ею не затапливается.Рис. 4.49Если в каком-то сечении балка сместится вниз на расстояние yt давление со стороны воды увеличится на 7у, где у - плотность воды. Интенсивность сил реакции будет= — jby, где Ъ - ширина прямоугольногосечения. Следовательно, 3S =и, согласно выражению (4.23),‘<«6>Собственный вес стержня уравновешивается реакцией жидкости, поэтому полагаем в уравнении (4.23) q = 0. Тогда под величиной у следуетпонимать смещение, отсчитываемое от равновесного положения стержня,которое тот занимает при Р — 0.Так как у* = 0, получаем, согласно (4.25),у = Ci sin kz sh kz 4-sin kz ch kz 4- Сз cos kz sh kz 4- C4 cos kz ch kz.Последовательно дифференцируя это выражение, находиму' = (Ci — Сз) к sin kz sh kz 4- (Ci — C4) к sin kz ch kz+4-(Cj 4- C4) к cos kz sh kz 4- (C2 4- Сз) к cos kz ch kz;y“ ~ 2Ci k2 cos kz ch kz + 2С2Л2 cos fczsh kz ——2C$k2 sin fczch kz — 2C4fc2 sin fcssh kz;y,lt — 2(Сг — Сз) к3 cos kz ch kz 4- 2 (Ci — C4) k3 cos kz sh kz ——2 (Ci 4- C4) fc3 sin kz ch kz — 2 (C2 4- C3) k3 sin kz sh kz.Выберем начало отсчета z в точке приложения силы Р.
При z — 0 поусловию симметрии у* = 0, а поперечная сила справа от среднего сечения205равна —P/2. Следовательно, EJy"'ls=o = — P/2 при я = M = EJy,f == 0 и Q = EJy"*= 0. Таким образом, получаем четыре уравнения дляопределения констант С\, Сз, Сз и С±\d ~-4EJk3 ,Ci cos kl ch kl + Сз cos kl sh kl — Сз sin kl ch kl — C< sin kl ch kl = 0;Cj (cos klsh kl — sin klch kl) 4- Сз(сов klch kl — sin kl sh fc/)44-Сз (— cos klch kl — sin klsh fc/)44-Сч(—cos klsh kl — sin fc/ch kl) = 0,откудаPsh2 kl 4- sin2 kl3EJk3 sh klch kl 4- sin klcos kl'3EJka *Ci6EJk3 ’Pch2 kl 4- cos2 kl3EJk3 sh kl ch kl + sin kl cos кГИзгибающий момент в стержне определяем через вторую производнуюфункции у по формулеМ = EJy",илиM = ~4ksh2 kl 4- sin2 kl.......
.... cos kz ch kz — cos kz sh kish kl ch kl 4- sin kl cos klch3 kl 4- cos3 kl. , . , \:—r;----- r; sin kz sh «z .sh kl ch kl + sin kl cos klJНаибольший изгибающий момент имеет место при z = 0:* i. k l i— sin kz ch kz 4-_ Рsh2 kl 4- sin2 klm4X4k sh kl ch kl 4- sin kl cos kl'С увеличением длины l изгибающий момент растет, но не беспредельно.При очень большой длине Afmax = Р/^к} где к определяем по формуле(4.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
