Феодосьев В.И (823545), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Юз • 0. 343.Wx2 =Z/2 /2Из условия равнопрочности Wxi =\U2 1, откуда Zh/Ib = ^/0,343 = 0,7.175Расход материала пропорционален площади сеченияFi~ —F,-~r ^-Di)-—0'19-Процент экономии материала определяется разностью площадей, от­несенной к площади сплошного круга:F1 ~/*1100 % = (1 -\0,19 ) 100 %,Jили100 % = 61 %.Пример 4.3.

На рис. 4.21 показана консоль, нагруженная двумясилами Р. Форма сечения балки Т-образная. Материал - чугун.Спрашивается, как рациональнее расположить сечение: полкойвверх - вариант I, или вниз - вариант II?Рис. 4.21Поскольку точка А отстоит от центра тяжести сечения дальше, на­пряжение в ней по абсолютной величине всегда будет больше, чем в точкахВ. При указанном направлении сил Р сжатые слои балки располагаютсявнизу. Так как чугун на сжатие работает лучше, нежели на растяжение,точку А рациональнее поместить вниз.

Следовательно, сечение должнобыть расположено полкой вверх, т.е. следует предпочесть вариант I.Пример 4.4.Для двухопорной балки (рис. 4.22) подобратьсечение в виде двутаврового профиля, обеспечив при этом двукратныйзапас прочности при Р = 20 кН, а = 1 м и trT = 300 МПа.176Наибольший изгибающий момент возникает на участке чистого из­гиба и равен Ра. Напряжение атм не должно превышать половины <гт.Ра300зСледовательно, 77— < ---- , откуда vvx > 133 см .Wx2По таблице стандартных профилей (см.

приложение) выбираем дву­тавр No 18, для которого Wx = 143 см3.Пример 4.5. Проволока диаметром d наматывается на барабан.Диаметр барабана равен D. Определить напряжение изгиба, возникающеев поперечных сечениях проволоки, если d < D.Кривизна изогнутой проволоки задана: 1/р = 2/D. Поэтому, неопределяя изгибающего момента, согласно формуле (4.3), сразу находим_dЕ-^._ I? ^Угплх _ jr,<Tm.x - ЕСледовательно, при постоянной кривизне напряжение атах возраста­ет пропорционально диаметру проволоки.4.3. Напряжения при поперечном изгибеМы видели, что при чистом изгибе в поперечных сечени­ях стержня возникают только нормальные напряжения.

Соот­ветствующие им внутренние силы приводятся к изгибающемумоменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечениистержня возникает не только изгибающий момент, но и попе­речная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействую­щую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскостисечения (рис. 4.23). Следовательно, в этом случае в попереч­ных сечениях возникают не только нормальные, но и касатель­ные напряжения.Рис. 4.23177Возникновение касательных напряжении т сопровождает­ся появлением угловых деформаций 7.

Поэтому, кроме основ­ных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элемен­тарная площадка сечения dF получает еще некоторые допол­нительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Каса­тельные напряжения распределены по сечению неравномерно,поэтому неравномерно будут распределены и угловые смеще­ния.

Это значит, что при поперечном изгибе в отличие отчистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими. Нарис. 4.24 показана типичная картина искривления поперечныхсечений.УРис. 4.24Рис. 4.25Однако на значение нормальных напряжений искажениеплоскости поперечных сечений заметным образом не сказыва­ется. В частности, если поперечная сила Q не меняется по дли­не стержня, формулы (4.6) и (4.8), выведенные для случая чи­стого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и вслучае поперечного изгиба. Действительно, при Q = const ис­кривление всех сечений происходит одинаково (рис. 4.25). По­этому при взаимном повороте двух смежных сечений удлине­ние продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимоот того, осталось сечение плоским или нет (А1 В1 = АпВ11).При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня,формулы чистого изгиба дают для а некоторую погрешность.Путем несложного анализа можно показать, что эта погреш­ность имеет порядок h/l по сравнению с единицей, где h - раз­мер поперечного сечения в плоскости изгиба; I - длина стерж­ня.

По определению, данному в § В2, характерной особенно­стью стержня является то, что размеры его поперечного сече­ния много меньше длины. Следовательно, отношение h/l отно­сительно мало и соответственно малой оказывается указаннаяпогрешность.178Все сказанное дает основание принять гипотезу плоскихсечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность то­чек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба,образует и после изгиба плоскость, повернутую в простран­стве.

Это предположение приемлемо в той мере, в какой угло­вые деформации 7 в сечении можно считать существенно мень­шими, чем угловые перемещения, обусловленные изменениемкривизны.Особенностью поперечного изгиба является также нали­чие нормальных напряжений, возникающих в продольных се­чениях бруса, т.е. напряжений между слоями. Эти напряже­ния возникают только при переменной поперечной силе Q ивесьма малы1.Таким образом, в пределах указанных допущений форму­лы (4.6) и (4.8), выведенные для определения нормальных на­пряжений, применимы не только при чистом изгибе, но и припоперечном.

В такой же мере применима и формула (4.5), даю­щая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента.Теперь определим приближенно касательные напряженият при поперечном изгибе. Вычислить эти напряжения про­ще всего через парные им касательные напряжения, возни­кающие в продольных сечениях стержня. Выделим из брусаэлемент длиной dz (рис. 4.26, а). При поперечном изгибе мо­менты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, неодинаковы и отличаются на dM< Продольным горизонталь­ным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтральногослоя (рис. 4.26, б), разделим элемент на две части и рассмо­трим условия равновесия верхней части. Равнодействующаянормальных сил a dF в левом сечении в пределах заштрихо­ванной площади F* равна, очевидно,* = J adF,Nили, согласно формуле (4.6),n*=тх Jyi dF'*F1 Особые области, в зоне которых приложены сосредоточенные силы,не рассматриваются.179Рис.

4.2вгде через у\ обозначена в отличие от у текущая ордината пло­щадки dF (см. рис. 4.26,6). Полученный интеграл представля­ет собой статический момент относительно оси х части пло­щади, расположенной выше продольного сечения (выше уров­ня у). Обозначим этот статический момент через S*.ТогдаMS*x*ЛГJxВ правом сечении нормальная сила будет другой:ЛМ ,(M + dM)S*N + dN = ------ z——-•хРазность этих сил*dMSdN = ——Jxдолжна уравновешиваться касательными силами, возникаю­щими в продольном сечении элемента (см. рис.

4.26, 6 и в).В качестве первого приближения примем, что касатель­ные напряжения распределены по ширине сечения b равномер­но. Тогда*dMS= rbdz^*■LJxоткуда*QS(4-12)Полученная формула носит название формулы Журавского^ поимени русского ученого прошлого века, который впервые про­вел общее исследование касательных напряжений при попереч­ном изгибе.180Выражение (4.12) позволяет вычислить касательные на­пряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. На­пряжения, образующиеся в поперечных сечениях стержня рав­ны им, как парные.

Зависимость т от у в сечении определяетсячерез статический момент 5£. При подходе к верхней кромкесечения площадь его заштрихованной части (см. рис. 4.26, б)уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, 5* = 0. При под­ходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает всесечение. Так как ось х - центральная, то и здесь 5* = 0. По­этому касательные напряжения, как это следует из формулы(4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю.Рис. 4.27Для стержня прямоугольного сечения со сторонами b и h(рис. 4.27, а) имеемСледовательно,6Q /Л2ЛT=bh?\J-y /и эпюра касательных напряжений по высоте сечения изобра­жается квадратной параболой.

Наибольшее напряжение имеетместо при у = 0:_ 3 QТтах - 2 bh'Для стержня круглого сечения (рис. 4.27, б) путем неслож­ной операции интегрирования можно найти181Кроме того,Ь = 2у/я2-у2,z ~ 644 ’откудаиТтлх " 3 1гД2 •Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника соснованием с и высотой h (рис. 4.27, в),Максимальное напряжение имеет место на расстоянии у = h/6от нейтральной оси:_ 3QЛпах — , ■СПВ двух последних примерах наглядно проявляется при­ближенный характер производимых операций. Это видно изтого, что в поперечном сечении касательные напряжения име­ют составляющие не только по оси уу но и по оси т.

Дей­ствительно, примем, как это делали выше, что для точек А,расположенных у контура сечения (рис. 4.28), касательное на­пряжение т направлено по оси у. Разложим вектор т на двесоставляющие - по нормали к контуру тп и по касательнойrt.

По условиям нагружения внешняя поверхность стержнясвободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парныетп, отсутствуют. Следовательно, тп = 0, а полное касатель­ное напряжение вблизи контура направлено по касательной кконтуру, и предположение о том, что т направлено по оси у,оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличиесоставляющих т по оси х. Для определения этих составляю­щих следует прибегнуть к более сложным приемам, нежели182Рис. 4.28Рис. 4.29рассмотренные ранее. Методами теории упругости можно по­казать, что в большинстве случаев составляющие т по оси хиграют существенно меньшую роль, нежели по оси у.Из рассмотренных выше примеров можно сделать общийвывод, что зона максимальных касательных напряжений рас­положена приблизительно в средней части высоты сечения,а Ттах для нетонкостенных сечений имеет значение порядкаQ/F.Можно сопоставить абсолютные величины максимальныхнормальных и максимальных касательных напряжений, воз­никающих в поперечных сечениях стержня.

Например, дляконсоли прямоугольного сечения (рис. 4.29) имеемЛ/ _ 6Р1ffmax ~ Wx~ bh? ’_ 3 РТюах - 2 bh'откудаTmax _^тахЭто значит, что максимальные касательные напряжения в по­перечном сечении относятся к максимальным нормальным на­пряжениям примерно как высота сечения к длине стержня,т.е. касательные напряжения существенно меньше нормаль­ных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями,сохраняется для всех нетонкостенных стержней.

Характеристики

Список файлов книги