Феодосьев В.И (823545), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим две пары параллельных осей Tj, j/i их2у У2- Пусть а и b - расстояния между осямии х^ У1 и у%соответственно (рис. 3.2). Положим, что площадь сечения Fи статические моменты относительно осей 24 и yj, т.е. SX1 изаданы. Требуется определить SX2 и 3У2.Очевидно, Х2 = Xi — а, 1/2 = 1/1 _ Ь. Искомые статическиемоменты будут равны3*2= /(У1 - b) dF\FSy2 = J (ii - a) dF,FИЛИSX2 =- bF\Sy2 ~ Syi - aFТаким образом, при параллельном переносе осей статический момент изменяется на величину, равную произведениюплощади F на расстояние между осями.Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выражений:SX2 = SX[ — bF.Величина b может быть любой: как положительной, так и отрицательной.
Поэтому ее всегда можно подобрать (причем143единственным образом) так, чтобы произведение bF было равно SX{. Тогда статический момент SX2, относительно осиобращается в нуль.Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельныхосей она является единственной, и расстояние до этой оси отнекоторой, произвольно взятой, оси X} равноь = Ус =(3.2)Аналогично для другого семейства параллельных осейа = хс = ^-.(3.3)Точка пересечения центральных осей называется центромтяжести сечения. Путем поворота осей можно показать, чтостатический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равнодействующих сил тяжести.
Если уподобить рассмотренное сечение однородной пластинке, то сила тяжестипластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил тяжести относительно некоторой оси - статическому моменту. Этот момент относительнооси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нульобращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси.Выражения (3.2) и (3.3) дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты,или, наоборот, найти статические моменты, если известно положение центра тяжести.Рассмотрим простейшие примеры.Пример 3.1. Найти, на каком расстоянии от основания расположен центр тяжести треугольника (рис. 3.3).Сначала определим статический момент треугольника относительнооси 11:F144Запишем выражение для элементарной площади: dF = cdy\.
Из подобия. А - ЗП..треугольников получаем с — о —-—, где о - основание треугольника; Л его высота.Таким образом,ЛSXl = £ J(h - yi)yidyi.(3.4)ОПосле интегрирования находим SZ} = 6Аа/6.треугольника до центра тяжестиРасстояние от основания_ SX1 _ ЬЛ2/б _ hУс~~Г ~ ~bhj2 ~ з(см. рис. 3.3).Пример 3.2. Определить положение центра тяжести сложногосоставного сечения (рис. 3.4).Разбиваем сечение на три простейшие фигуры: треугольник, прямоугольник и полукруг. Выбираем произвольную систему осей ri, у\ иопределяем координаты центров тяжести составляющих сечение фигур.У треугольника центр тяжести С\ находится на расстоянии 1/3 высотыот основания.
Для прямоугольника положение центра тяжести С*2 определяется пересечением средних линий. У полукруга центр тяжести (7зрасположен на оси симметрии на расстоянии 4Я/(Зх) от вертикальногодиаметра (см. рис. 3.4).Последнее выражение (тому, кто не забыл, чему равен объем шара) удобнее всего получить на основании теоремы Гюльдена. Вращая полукруг относительно диаметра, получаем тело вращения - сферу, объемкоторой равен произведению дуги 2тгс на площадь полукруга:4пзтг/22=2тгс——,4/2откуда с = —.145Рис.
3.4Определяем статический момент составной фигуры как сумму статических моментов составляющих фигур:Sx! = F\yC1 ++ ^зУе3*Таким образом, находим120222SXl = - 60 • 30 • 10 + 30 • 60 • 30 + т---- 40 = 88100 мм3,Sv. = -i 30-60-20 + 30-60 -15 +z — (30 +**22 \] =Зя- у= 33200 мм3.Площадь составной фигуры равнаF = i 60 • 30 + 30 • 60 + —2о- = 3330 мм2.22Искомые координаты центра тяжести в системе осей zi, yi имеютследующие значения:= Syi /F = 33200/3330 = 9,97 мм;Ус = Sr, /F = 88100/3330 = 26,5 мм.3.2. Моменты инерции сеченияВ дополнение к статическим моментам рассмотрим ещетри следующих интеграла:Л = У y2dF]F146Jy = у x2dF\FJxy = У xydF,F(3.5)где по-прежнему через х и у обозначены текущие координатыэлементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат хОу (см. рис.
3.1). Первые два интеграла называютсяосевыми моментами инерции сечения относительно осей х и усоответственно. Третий интеграл называется центробежныммоментом инерции сечения относительно осей х, у. Измеряютмоменты инерции в см4 или мм4.Осевые моменты инерции всегда положительны) поскольку положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей х, у.Выведем формулы преобразования моментов инерции припараллельном переносе осей.
Для этого снова обратимся крис. 3.2. Будем считать, что нам заданы моменты инерциии статические моменты относительно осей xj, у\. Требуетсяопределить моменты инерции относительно осей Х2, У2‘.ffFПодставляя сюда Х2 = Xj - а и У2 = yi - Ь, находимгаХ2У2 =2/2/ (»1 “- Ь) dF-Раскрывая скобки, имеем, согласно обозначениям (3.1) и (3.5),= *^Х\2ibSxi -f~ b Fj= Jyi ~~+ a F]JХ2У2 = J^iyi —bSyi + abF.Если оси xi и yi - центральные, то SXr = Syiполученные выражения упрощаются:5^53/2 ~(3-6)= 0, иJx^yi+abF.(3.7)147Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна изосей - центральная) осевые моменты инерции изменяются навеличину, равную произведению площади сечения на квадратрасстояния между осями.Из первых двух формул (3.7) следует, что в семействепараллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (а = 0 или b = 0). Поэтомулегко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции увеличиваются, и величины a^F и b?F следует к моментам инерции прибавлять, апри переходе от нецентральных осей к центральным - вычитать.При определении центробежного момента инерции по последней из формул (3.7) следует учитывать знак величин а иЬ.
Можно, однако, и сразу установить, как изменяется значение Jxy при параллельном переносе осей. Для этого следуетиметь в виду, что сечения, находящиеся в I и III квадрантахсистемы координат х\Су\ (рис. 3.5), имеют положительные,а сечения, находящиеся в II и IV квадрантах, - отрицательные значения центробежного момента.
Поэтому при переносеосей проще всего устанавливать знак слагаемого abF в соответствии с тем, какие из четырех площадей увеличиваются, акакие - уменьшаются. Например, если от центральных осей£1, У1 (см. рис. 3.5) следует перейти к осям хз, 3/2» то видно,что в результате такого переноса резко возрастает площадьIV квадранта, следовательно, момент инерции уменьшается, ипроизведение abF из момента Л1У1 следует вычесть.148Приведем примеры определения моментов инерции простейших сечений относительно характерных осей.Пример 3.3.
Найти момент инерции прямоугольника с основанием 6 и высотой А относительно основания и относительно центральнойоси, параллельной основанию (рис. 3.6).Рис. 3.6Момент инерции относительно оси xi равен7ЬА3Jr, = ——ИЛИВоспользовавшись формулой переноса (3.7), найдем момент инерцииотносительно центральной оси:>ИЛИЬА3Jz — ——Пример 3.4.Найти момент инерции рассмотренного ранеетреугольника (см. рис. 3.3) относительно основания и относительно центральной оси, параллельной основанию.Чтобы не повторять выкладок, вернемся к выражению (3.4) для статического момента треугольника и заменим величину j/i, стоящую подзнаком интеграла, на yf.
Тогдаhоткудаг_ ЬЛЗ11 “ 12о149Используя формулу переноса (3.7), запишем момент инерции относительноцентральной оси х (см. рис. 3.3):или7 = —Л□оПример 3.5. Определить центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно осей, совпадающих с его катетами(рис. 3.7).Рис. 3.7Выделим элемент площади dx^dyi и, полагая величину yi неизменной, найдем центробежный момент полоски АВ:с[с2Л^ДЛВ) = yidyi I ndxi = yidyi—.оHoc=nпоэтомуПроинтегрируем это выражение no yi от нуля до А:hТ/гь63JxiVl = 2А2 /о150V»J“ У1> yidyi7ИЛИJxiV1 = ”24"Перейдем к центральной системе координат хСу (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
