Феодосьев В.И (823545), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Таким образом, чистый сдвиг может быть представ105Рис. 2.5лен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимноперпендикулярным направлениям (рис. 2.5).Рассмотрим деформации при сдвиге. Касательное напря­жение т связано с угловой деформацией 7 соотношением (1.13):£т=где, как мы уже знаем, G = ^7-------г (см. § 1.5).Рис.

2.6В результате возникающих угловых деформаций пласти­на, показанная на рис. 2.2, перекашивается, а торцевые сече­ния трубки (рис. 2.6) получают взаимные угловые смещения 9?.Характер возникающих смещений показан на рис. 2.7, причемЧ> = 7//Я.106(2-2)При чистом сдвиге, как и при растяжении (да и вооб­ще при всяком напряженном состоянии), в деформируемом те­ле накапливается упругая потенциальная энергия.

Эту энер­гию легко подсчитать, рассматривая изменение формы пря­моугольного элемента с размерами dz, dy и толщиной 6 (см.рис. 2.7).Примем нижнюю грань элемента условно за неподвиж­ную. Тогда при смещении верхней грани сила rdxi совершитработу на перемещении ydy.

Так как сила меняется пропорци­онально смещению, то ее работа равна половине произведенияrdxi ■ ~fdy (см. § 1.3). Следовательно, потенциальная энергиядеформации, накопленная в элементе, равна dU = l/2Tydxdy6.Если отнести энергию к единице объема, получимdU1УО=Л7 = 2ТТ'Выразим 7 через т по закону Гука. Тогда= Й-(2-3)Величина Uq называется удельной потенциальной энерги­ей при сдвиге и измеряется в Дж/м3.Аналогично испытанию на растяжение и сжатие можнопровести испытание материала в условиях чистого сдвига.Для этого удобнее всего воспользоваться испытанием тонко­стенной трубки (рис.

2.8). Если во время испытания произво­дить замер момента ЯЛ и взаимного угла поворота сечений <р надлине Z, можно построить для образца диаграмму ЯЛ = /(^?).В дальнейшем эту диаграмму, согласно выражениям (2.1) и(2.2), можно легко привести к переменным т и 7. Таким обра­зом может быть получена диаграмма сдвига для материалаТ = /(?)•Рис.

2.8107Сопоставление диаграммы сдвига с диаграммой растяже­ния для одного и того же материала показывает их качествен­ное сходство. На диаграмме сдвига также имеется упругаязона, зоны текучести и упрочнения.Аналогичным образом для сдвига, как и для растяжения,можно было бы дополнительно ввести следующие характери­стики: предел пропорциональности при сдвиге, предел упру­гости, предел текучести и т.д. Прежде, когда изучение меха­ники деформируемых тел находилось еще в начальной стадии,так обычно и поступали. В дальнейшем, однако, было устано­влено, что характеристики сдвига связаны с характеристика­ми растяжения. В настоящее время теория пластичности да­ет возможность построить теоретически диаграмму сдвига подиаграмме растяжения, а также выразить все характеристикисдвига через уже знакомые нам механические характеристикирастяжения.

Точно так же допускаемые напряжения и коэф­фициенты запаса при чистом сдвиге могут быть связаны с со­ответствующими величинами для простого растяжения. Этивопросы будут подробно рассмотрены в гл. 10.2.2. Кручение стержня с круглым поперечнымсечением. Уравнения равновесияПод кручением понимается такой вид нагружения, при ко­тором в поперечных сечениях стержня возникает только кру­тящий момент.

Прочие силовые факторы (изгибающие момен­ты, нормальная и поперечные силы) равны нулю. Для крутя­щего момента, независимо от формы сечения, принято следу­ющее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на попереч­ное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Л/кнаправленным против часовой стрелки, то момент считаетсяположительным. При противоположном направлении моментуприписывается знак минус.На рис.

2.9 показан стержень, нагруженный по концам мо­ментами ЯЛ. Если посмотреть на плоскость А со сторонывнешней нормали (со стороны точки С), то мы увидим, чтомомент Л/к направлен по часовой стрелке. Следовательно, М¥108будет отрицательным. Тот же самый результат может бытьполучен, если посмотреть из точки С на плоскость В.Указанным правилом знаков руководствуются при постро­ении эпюр крутящих моментов.

На рис. 2.10 показано не­сколько примеров нагружения стержня сосредоточенными ЯЛ ираспределенными*м/м)(Нвнешними моментами. Для этихмоментов применено условное обозначение в виде двух круж­ков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на на­блюдателя, а кружок с крестиком - силу, направленную отнаблюдателя. На рис. 2.10 приведены соответствующие эпю­ры крутящих моментов. Положительные моменты отложенывверх.т9т2тт2т т4т2т 2т тiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiIIIIIIIIIIIIMIIIIIIIIIIII’-адшпищ^г8Рис.

2.10109При расчете стержня на кручение надо решить две основ­ные задачи. Требуется определить напряжения и найти угло­вые перемещения в зависимости от внешних моментов. Этизадачи решают по-разному, смотря по тому, какой вид имеетпоперечное сечение стержня. Наиболее просто можно полу­чить решение в случае кругового сечения, а также для широ­кого класса тонкостенных стержней.Механизм деформирования стержня с круглым попереч­ным сечением можно представить себе в следующем виде: бу­дем считать, что каждое поперечное сечение в результате дей­ствия внешних моментов поворачивается в своей плоскости нанекоторый угол как жесткое целое.

Этот угол поворота дляразличных сечений будет различным. Сказанное представля­ет собой гипотезу плоских сечений - предположение, оправды­ваемое общими правдоподобными соображениями о характеревозникающих перемещений.Окончательным критерием пригодности любой гипоте­зы является опыт. Получив расчетную формулу, нужно пре­жде всего сопоставить результаты расчета с экспериментом,и если между ними обнаруживается достаточно хорошее соот­ветствие, гипотеза считается приемлемой.Надо сказать, что задача о кручении стержня может бытьрешена не только методами сопротивления материалов, но так­же и методами теории упругости без принятия каких-либо ги­потез, кроме предположения о непрерывности строения веще­ства.

Решение, полученное этим путем, показывает, что круг­лое поперечное сечение бруса действительно остается плоскими поворачивается как жесткое целое. В поперечных сеченияхвозникают только касательные напряжения.Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением,нагруженному по торцам двумя моментами (см. рис. 2.9). Впоперечных сечениях стержня возникает постоянный крутя­щий моментЛ/к = ЯЛ.Двумя поперечными сечениями выделим из стержня эле­мент длиной dz, а из него в свою очередь двумя цилиндриче­скими поверхностями с радиусами р и р + dp - элементарноекольцо, показанное на рис. 2.11.ноРис. 2.11Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кру­чении относительно левого на угол dtp.

Образующая цилиндраАВ поворачивается при этом на угол 7 и занимает положениеАВ1, Отрезок В В1 равен, с одной стороны, pdtp, а с другой ydz. Следовательно,dtp1 = PTz'Угол 7 представляет собой не что иное, как угол сдвига цилин­дрической поверхности. Величину dtp/dz обозначают обычночерез в\£=<2 Ои называют относительным углом закручивания. Это - уголвзаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстояниюмежду ними. Величина в аналогична относительному удлине­нию при растяжении AZ/L Вводя обозначение 0, получаем7 = РОПо закону Гука для сдвигаг = G6p,(2.5)где т - касательные напряжения, возникающие в поперечномсечении бруса. Парные им напряжения образуются в продоль­ных плоскостях - в осевых сечениях (см.

рис. 2.11).illРис. 2.12Элементарные силы rdF (рис. 2.12) можно привести ккрутящему моменту Мк = J rpdF. Выполним интегрироваFние для всей площади поперечного сечения F. Подставив вподынтегральную функцию напряжение т из выражения (2.5),получим Л/к = G6 J p^dF. Интеграл J pdF представляет со*FFбой чисто геометрическую характеристику, измеряется в см4и носит название полярного момента инерции сечения:У p2dF = Jp.(2.6)FТаким образом, получаем Л/к = GJp0, илиЛ(2.7)0 = -Т-gJpПроизведение GJP называют жесткостью стержня при кру­чении. Если стержень имеет переменное сечение, то Jp зависитОТ Z.Через относительный угол закручивания 0 легко опреде­лить и взаимный угол поворота сечений <р.

Согласно выраже­ниям (2.4) и (2.7),dpМ¥(2-8)dz112GJnУравнение (2.8) и первое уравнение системы (В11) прид0 дают систему дзух уравнений равновесия прямолиней­ного стержня переменного сечения при кручении (д2 = AfK):*dMdz(2-9)dtp ^ = 0.dzGJPСистема уравнений (2.9) позволяет определить внутреннийкрутящий момент AfK и угол поворота сечения <р для любыхив зависимости от координаты г, например для случаяг показанного на рис.

2.10.Из уравнения (2.8) получаемM^dz/~gJ7’(2.Ю)0где I - расстояние между сечениями, для которых определяютвзаимный угол поворота <р.Если крутящий момент по длине стержня не изменяется,Мк = 9Л, а жесткость остается постоянной, тоВернемся теперь к выражению (2.5).

Исключив из негополучимт_ Мр*(2.12)JpТаким образом, касательные напряжения в поперечном сече­нии распределены вдоль радиуса по линейному закону и име­ют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси(рис. 2.13). При этом_ А^кРтахЛпах —трВеличина-^- = wpРтах113называется полярным моментом сопротивления и измеряетсяв см3. Окончательно имеем_ А/к(2-14)Ттах~ WФормулы (2.11) и (2.14) являются основными расчетнымиформулами для кручения стержня с круговым поперечным се­чением.

Характеристики

Список файлов книги