Феодосьев В.И (823545), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Характерной геометрической особенностью тон­костенных стержней является то, что их толщина существенноменьше прочих линейных размеров.Рис. 2.31132Тонкие профили разделяются на замкнутые и открытые.Так, первые четыре профиля, показанные на рис. 2.31, явля­ются открытыми, а последние три - замкнутыми.Характер распределения напряжений в поперечном сече­нии тонкостенного стержня проще всего установить при помо­щи пленочной аналогии.

Представим себе вырезанное в плос­кой плите отверстие по форме профиля и натянутую на иемпленку. Если приложить к пленке равномерно распределеннуюнагрузку, то пленка деформируется, но по-разному, в зависи­мости от того, замкнутым или открытым является профиль.Это различие иллюстрирует рис. 2.32. В случае замкнутогопрофиля область внутри контура не связана с внешней обла­стью и под действием давления смещается (см. рис. 2.32,6).Это и предопределяет качественное различие между формамипленки для случаев замкнутого и открытого профилей.ПленкаНапряженияРис. 2.32Для открытого профиля пленка имеет наибольшие углынаклона по концам нормального отрезка (см. рис.

2.32, а), при­чем примерно в середине толщины происходит смена знакаугла наклона. С большой степенью точности можно принять,что напряжения по толщине незамкнутого профиля распреде­лены линейно.В случае замкнутого контура деформированная пленкаобразует поверхность примерно постоянного угла подъема(см. рис. 2.32,6), откуда следует, что распределение напря­жений по толщине профиля близко к равномерному.133Перейдем к составлению расчетных формул.

Начнем соткрытого профиля. Достаточно очевидно, что форма плен­ки (см. рис. 2.32, а), а следовательно, и напряжения в стержнесильно не изменятся, если профиль сечения распрямить. Ина­че говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле бу­дут примерно такими же, как и в прямом. Но в этом случаемогут быть использованы расчетные формулы, приведенныевыше для прямоугольного сечения с большим отношением сто­рон.Обращаясь к формулам (2.23), (2.25) и табл. 2.1, приа/Ь = оо получаемгде 6 - толщина профиля (меньшая сторона прямоугольника);з - длина контура поперечного сечения (большая сторона пря­моугольника).Полученные таким образом расчетные формулы являют­ся общими, т.е. не зависят от формы профиля, если толькопоследний может быть развернут в прямоугольник.В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль явля­ется составным, как это, например, показано на рис.

2.33, и неможет быть развернут в вытянутый прямоугольник, поступа­ют следующим образом: момент ЛГК рассматривают к£к суммумоментов, возникающих в отдельных участках. Тогда, соглас­но формуле (2.31),2Л = ЛГК =+ ... + ^nsn)(^i^i +о*зяп/<7(^31 + $22*+ . ••+ $плп)’(2.32)При помощи пленочной аналогии легко установить, чтонаибольшие напряжения возникают на участке с наибольшейтолщиной <$тах- Для этого отдельно взятого участка, которому134Рис.

2.33Рис. 2.34мы припишем номер г, справедливы формулы (2.30) и (2.31):Ti — rmax — “6-3iТй ’V “ 777зG6f3i ’где МК1 - доля крутящего момента, соответствующего г-муучастку; <р - угловое перемещение, единое для всех участков.Исключая из этих выражений AfKj, находим^тах— ттах —j,или, учитывая выражение (2.32), получаем_ _________ ЗМк^тах_________тМ(^1Л1 +^2л2 + • • • + ^п3п)Изложенный метод определения напряжений в незамкну­том профиле является приближенным, поскольку не учитыва­ются повышенные местные напряжения во внутренних углахломаного профиля.

Чем меньше радиус закругления во вну­тренних углах, тем больше местные напряжения. Это нагляд­но можно проиллюстрировать при помощи пленочной аналогии(рис. 2.34). Местный угол наклона а пленки в точке А больше,чем в остальных точках внутреннего контура. Во избежаниеместных перенапряжений внутренние углы в профилях выпол­няют скругленными.135Рассмотрим теперь кручение стержня, имеющего поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля(рис.

2.35).Рис. 2.35Здесь, в отличие от открытого профиля, напряжения рас­пределены по толщине равномерно. Выделим из стержня эле­ментарную призму длиной dz. Размер призмы в направлениидуги контура, т.е. расстояние между точками 1 и 2, являетсяпроизвольным. Пусть толщина контура в точке 1 будет ii, а вточке 2-6^. Соответственно через ri, и Т2 обозначим напряже­ния в поперечном сечении.

В продольных сечениях возникаютпарные напряжения rj = ti и= Т2Составим для выделенного элемента уравнение равнове­сия, спроектировав все силы на направление оси бруса. Оче­видно,Tyiidz — ry&idz.Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то тб = const.Таким образом, произведение тб по длине замкнутого кон­тура не изменяется. На участках, имеющих меньшую толщи­ну, напряжения будут соответственно большими.Выразим крутящий момент через напряжения т. Дляэтого возьмем на контуре элементарный участок длиной ds(рис. 2.36). Момент силы r6ds относительно произвольно взя­той точки О равен r£ds|OA|.

ТогдаМк= [\OA\ds.136Рис. 2.36Но произведение тб по длине дуги контура не изменяется, по­этомуМк = тб I |OA|ds.3Произведение |0A\ds представляет собой удвоенную площадьтреугольника ОВС, а интеграл от этого произведения по длинезамкнутого контура дает удвоенную площадь, ограниченнуюсредней линией контура. Обозначим эту площадь через F* вотличие от F, Таким образом,*M= rF2F\Наибольшее напряжениетшах =г•(2.34)Остается определить угловое перемещение <р для тонко­стенного стержня замкнутого профиля поперечного сечения.Сделаем это путем сопоставления потенциальной энергии, вы­раженной через напряжение т, с потенциальной энергией, вы­раженной через внешний момент £01. Обратимся к выражениюудельной потенциальной энергии при сдвиге (2.3)U° = 2GЭнергия, накопленная в элементарном объеме с размерамиdzy 6) равнат2dU = — tidzds.2G137Это выражение должно быть проинтегрировано по длинестержня I и по дуге замкнутого контура.

Если стержень явля­ется однородным по длине, то„I i 1CJ/т2$2 [dsU=2GjT6d‘=-2G-jT33Последний интеграл зависит от закона изменения толщи­ны по дуге контура и является геометрической характеристи­кой сечения. Учитывая, чтотб = ----- = ------ ,2F*2F* ’получим0Л2/ [ ds~ 8GF*2J 6 'Однако энергию U можно выразить как работу внешнегомомента ОТ на угловом перемещении у>:и = ^Ы<р.Приравнивая оба выражения для U, находим_ SJll [dsV ~ 4GF*2J 6 '3Если толщина 6 по дуге контура не меняется, тоЯП/s*4GF26'(2‘35)где з - длина замкнутого контура.Для различных сечений геометрические параметрыЛ, входящие в формулы напряжений и углов поворота__ miттах-—,приведены в табл.

2.2.138иПример 2.4. Определить напряжение и угловое перемещениев тонкостенной трубе, 'свернутой из листа, для двух вариантов: а) краялиста свободны (рис. 2.37, а), б) края листа склепаны (рис. 2.37, б). Сопо­ставить напряжения и углы поворота сечений.Рис. 2.37В первом варианте профиль поперечного сечення следует рассматри­вать как открытый. Пренебрегая участком профиля в зоне соединениякраев внахлестку, согласно формулам (2.30) н (2.31), получаем_ЗОИГа ~:ЗОИ/** “ Gt£>63 ’Во втором варианте профиль является замкнутым. Согласно формулам(2.34) и (2.35), имеемМЬгЯЯЛтв ~'2------- о4Фб =4G (6\ 4 /Для более наглядного сопоставления рассмотрим отношения напряжениии углов:у? а _ 3 D23 Dy?tf ~ 4 63 'Таким образом, отношение напряжений имеет значение порядка D/6,а отношение углов поворота - порядка D2/62.

Но, согласно определениютонкостенности, D много больше, чем 6. Следовательно, замкнутый про­филь оказывается существенно более прочным и в еще большей степенижестким, чем такой же незамкнутый.139Этот вывод является общим. Внешний момент, приложенный кстержню с замкнутым контуром сечения, уравновешивается моментамивнутренних сил с длиной плеча порядка поперечных размеров сечения, адля открытого профиля - порядка толщины. Отсюда следует, что каса­тельные напряжения в открытом профиле будут во столько раз больше,чем в замкнутом, во сколько поперечные размеры сечения больше его тол­щины.Пример 2.5. При заданном моменте ЯЛ и геометрических размерахтрубы, рассмотренной в предыдущем примере, найти усилие, приходяще­еся на одну заклепку (см. рис.

2.37, б).Двумя продольными сечениями выделяем из трубы клепаный узел(рис. 2.38). Сила, действующая на заклепки вдоль образующей, равнаР — т61, ноЯЛ4следовательно,Р2ЯИ/tD2’Если число заклепок равно п, то сила, приходящаяся на одну заклеп­ку, будет равна Р/п.Рис. 2.38Из силовой схемы, представленной на рис. 2.38, видно, что при от­сутствии заклепок концы листа получили бы смещение вдоль образующей.Поперечное сечение вышло бы при этом из своей начальной плоскости ипроизошла бы, как говорят, Эепланацилсечения. Ограничение депланацииприводит к повышению жесткости и прочности стержня.В тех случаях, когда из эксплуатационных, монтажных или кон­структивных соображений приходится идти на применение незамкнутыхпрофилей, стараются наложить местные ограничения на депланацию.140Рис.

2.40Рис. 2.39Так, на рис. 2.39 показан стержень с тонкостенным незамкнутым профи­лем, в котором при помощи жесткой заделки и двух перемычек ограниченадепланания. Кручение в таких условиях носит название стесненного кру­чения.Пример 2.6. К тонкостенному стержню корытного профиля(рис. 2.40) приваривают стержень с угловым профилем. Определить, восколько раз увеличится жесткость стержня на кручение и во сколько разпри том же моменте снизятся напряжения.Для корытного профиля формула (2.32) даетЗЯИ/**“ G83(2b + h)'Для составного профиля по той же формуле получаем_ЗШН**“ G[3M3 + (2Й)3Л]‘Следовательно,жесткость после приварки уголка увеличится в(ЗЬ + 8Л)/(2Ь + Л) раз.

Согласно формуле (2.31), для корытного профи-а для составного39Л • 26Т~ ЗЬ63 +(2б)3Л’Следовательно, после приварки уголка напряжения уменьшатся в 0, 5 (ЗЬ++8А)/(2Ь + Л) раз.141Глава 3ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ3.1. Статические моменты сеченияПри решении задач, связанных с изгибом, возникает необ­ходимость оперировать некоторыми геометрическими характе­ристиками поперечных сечений стержня.

Эти характеристикиприменяются в основном при решении задач изгиба и в силусвоего узкого прикладного значения в общем курсе геометриине изучаются. Их рассматривают обычно в курсе сопротивле­ния материалов. Настоящая глава и посвящена этому вопросу.Возьмем некоторое поперечное сечение стержня (рис. 3.1).Свяжем его с системой координат я, у и рассмотрим два сле­дующих интеграла:FFКаждый из этих интегралов представляет собой сумму про­изведений элементарных площадей dF на расстояние до соот­ветствующей оси (х или у). Первый интеграл называется ста­тическим моментом сечения относительно оси х, а второй 142статическим моментом сечения относительно оси у. Статичес­кий момент измеряют в см3 или мм3.При параллельном переносе осей статические моменты из­меняются.

Характеристики

Список файлов книги