Феодосьев В.И (823545), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Задача, кро­ме того, резко усложняется тем, что для некруглого сечениянапряжения будут определяться в функции уже не одного не­зависимого переменного (р), а двух (я и у).Выскажем общие соображения относительно законов рас­пределения напряжений в поперечных сечениях некруглой фор­мы, азатем приведем готовые формулы, полученные методамитеории упругости для некоторых, наиболее часто встречаю­щихся форм поперечных сечений.123Прежде всего, можно довольно просто установить, что ка­сательные напряжения в поперечных сечениях для точек, рас­положенных вблизи контура, направлены по касательной к ду­ге контура.

Действительно, положим, что в точке А (рис. 2.26)касательное напряжение т вблизи контура направлено под не­которым углом к контуру. Разложим это напряжение на двесоставляющие - по касательной к контуру 77 и по нормали тп.По условию парности на свободной поверхности стерж­ня должно возникнуть касательное напряжение= тп. Новнешняя поверхность свободна от нагрузки и к ней никакихвнешних сил не приложено, кроме, разве что, сил атмосферно­го давления.

Таким образом, т* п = 0. Следовательно, тп = 0, икасательное напряжение т вблизи контура направлено по ка­сательной к контуру.Совершенно аналогично можно показать, что в случае,если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них ка­сательные напряжения обращаются в нуль. Раскладывая на­пряжение т вблизи угла (рис. 2.27) на две составляющие понормалям к сторонам угла, получаем напряжения ti и Т2- Таккак парные им напряжения rj и равны нулю, то в нуль обра­щаются и напряжения ri и Т2. Значит, вблизи внешнего углакасательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют.124Рис. 2.28На рис.

2.28 показана полученная методами теории упру­гости эпюра касательных напряжений для бруса прямоуголь­ного сечения. В углах, как видим, напряжения равны нулю,а наибольшие напряжения возникают по серединам большихсторон в точках А:Л/к.чТа = Ттах = —^2 ■(2.23)В точках В= т/Лпах)(2.24)где а - большая, а Ь - малая сторона прямоугольника.Коэффициенты а и т/ зависят от отношения сторон а/Ь(табл.

2.1). Коэффициент /3 также является функцией отноше­ния а/Ь (см. табл. 2.1).твТаблица 2Л. Значения коэффициентов а, /3 и rjа/Ьа070,2820,2810,859460,2140,8280,2990,3070,2990,3070,7450,7430,2460,2580,2290,2490,7950,766100,3130,3330,3130,3330,2670,2630,753а/Ъа11,51,750,2080,2310,2390,1410,19622,531,00оо0,7420,7420,742125Угловое перемещениеmitf>~ G0b3a(2.25)Для эллиптического сечения (рис.

2.29) наибольшие на­пряжения возникают в точках А по концам малой оси:та_ 2Л4- ттах -в точках В_ 2Л/КТвяЬа2 *где а и b - полуоси эллипса.АРис. 2.29Угловое перемещение для стержня эллиптического сече­ния имеет следующее выражение:ЯЛ/яа3Ь3Для сечения, имеющего форму равностороннего треуголь­ника со сторонами а, наибольшие напряжения возникают посерединам сторон и равны'Плах = 20Л/к/а3.Угловое перемещение в этом случаеЯЛ/80126Обобщая все эти формулы, можно отметить, что при кру­ченииTmax -ал/** “ G JK ’(2.26)(2.27)а такжемх = GJKe.(2.28)Потенциальная энергия, накопленная закрученным брусом, со­гласно формуле (2.20), равнаMKdz*2GJ/(2.29)Здесь WK и JK - геометрические параметры, зависящие от фор­мы сечения, (табл. 2.2).

Для круглого сечения W* и JK совпа­дают соответственно с Wp и Jp, т.е. с полярным моментомсопротивления и полярным моментом инерции.Таблица 2.2. Выражения для вычисления геометрическихпараметровWKиЛ127128Тонкостенные сеченияЗамкнутый профильСоставной профильОткрытый профильЫ| к-Сплошные сеченияВ форме равносторон-него треугольникаЭллиптическоеОкончание т абл.2.4. Краткие сведенияо пленочной (мембранной) аналогииВ результате того, что аналитическое решение задачи окручении стержня с некруглым поперечным сечением явля­ется достаточно сложным, возникла необходимость созданиякосвенных методов исследования этого вопроса. Среди такихметодов первое место занимает метод аналогий.В задачах механики часто встречаются случаи, когда ре­шения совершенно различных по физической сущности задачсводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям.Тогда между задачами может быть установлена аналогия.Можно, не решая уравнения, сказать, например, что междупеременными xi, и у\ из одной задачи существует та же зави­симость, что и между переменными Х2 и у2 из другой задачи.Тогда говорят, что переменная Х2 является аналогом перемен­ной xj, а у2 ~~ аналогом переменной у±.

Часто бывает так, чтов первой задаче, не решая уравнений, трудно представить се­бе связь между переменными xi и^,а физическое содержаниевторой задачи допускает простое и наглядное толкование зави­симости Х2 от J/2- В таком случае установленная аналогия даетвозможность наглядно представить себе закономерности, су­ществующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит делос задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формыисследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится ктому же дифференциальному уравнению, что и задача о рав­новесии пленки, натянутой по контуру того же очертания инагруженной равномерно распределенным давлением. Анало­гом напряжения является угол, который составляет касатель­ная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогомкрутящего момента - объем, заключенный между плоскостьюконтура и поверхностью пленки.Характер деформации пленки под действием давленияможно всегда представить себе, если не точно, то, во всякомслучае, ориентировочно.

Следовательно, всегда имеется воз­можность представить и закон распределения напряжений прикручении стержня с заданной формой сечения.5 В. И. Феодосьев129Положим, например, что нужно установить закон распре*деления напряжений в сечении, показанном на рис. 2.30. Пред­ставим себе, что на заданный контур натянута пленка, кото­рая нагружена равномерно распределенным давлением. Изо­бразим несколько разрезов пленки. Соответственно углам на­клона пленки покажем ориентировочно распределение напря­жений по сечению (см. рис. 2.30).Рис. 2.30При помощи пленочной аналогии можно получить не толь­ко качественные, но и количественные соотношения. Для это­го используют специальный несложный прибор1.

Он состоитиз подвижного столика, на котором расположена плоская ко­робка с натянутой тонкой резиновой пленкой. Сверху пленкавплотную накрыта крышкой с отверстием по форме исследу­емого сечения. К нижней части коробки подведена трубка,сообщающаяся со стеклянным манометром. Поднимая трубку,повышают давление под резиновой пленкой, и последняя де­формируется. Легко провести обмер пленки посредством вер­тикально установленного микрометра. Координаты точки напленке устанавливают продольным и поперечным перемеще­ниями столика. После того как определены перемещения, мо­гут быть найдены и углы наклона касательной к поверхностипленки.Если по форме исследуемого сечения изготовить пробкуи плотно закрыть ею отверстие в верхней крышке, то пленка1 Более подробно с конструкцией прибора можно ознакомиться в пре­дыдущих изданиях настоящего учебника.130распрямится и жидкость из объема под пленкой будет вытес­нена.

По уровню жидкости в стеклянной трубке определяютобъем между прогнувшейся пленкой и горизонтальной плос­костью. Этот объем, как уже говорилось, является аналогомкрутящего момента.В зависимости от толщины пленки и силы предваритель­ного натяжения замеренные прогибы и объемы будут различ­ными. Чтобы исключить влияние жесткости пленки, одновре­менно с исследуемым сечением на том же приборе производятобмер пленки с круговым очертанием.

Для стержня кругово­го сечения жесткость и напряжения могут быть определенырасчетным путем. Поэтому оказывается возможным, сопоста­вляя результаты замеров, найти требуемые характеристикизаданного сечения по характеристикам кругового сечения изсоображений пропорциональности.Например, геометрический параметр жесткости JK иссле­дуемого сечения (см. формулу (2.27)) можно определить изсоотношенияЛVJp “ Vo’где Jp =- полярный момент инерции круга, D - диа­метр кругового сечения; V, Vo ~ объемы, ограниченные плен­кой, для исследуемого и кругового сечений при одном и том жедавлении.Аналогично можно вычислить и геометрический пара­метр WK (см.

формулу (2.26)):_ Q0 maxWpЛшахгде Wp = тгР3/16 - полярный момент сопротивления кругово­го сечения; amax, лотах ~ максимальные углы наклона каса­тельной к поверхности пленки для исследуемого и круговогосечений, полученные замером при одинаковых объемах, огра­ниченных пленкой.Рассмотренная аналогия не является единственной. Длязадачи о кручении стержня могут быть предложены и другиеаналогии, связанные, например, с законами гидродинамики.5*131В теории упругости при решении некоторых задач используюттакже электростатические аналогии, где законы распределе­ния напряжении в упругом теле устанавливают путем замеранапряженности электростатического поля в различных точкахисследуемой области модели.Современная техника вообще широко использует различ­ные аналогии.

В тех случаях, когда в качестве аналога исполь­зуют искусственно созданную схему, метод аналогии называ­ют моделированием. Этим методом исследуют многие слож­ные и недоступные непосредственному наблюдению процессы,такие, как, например, стабилизация ракеты в полете. Анало­гами углов поворота ракеты в пространстве являются в этомслучае электрические потенциалы в определенных узлах спе­циально набранной электронной моделирующей установки.2.5.Кручение тонкостенного стержняВ практике машиностроения, и особенно самолетострое­ния, часто возникает необходимость расчета на кручение такназываемых тонкостенных стержней. Типичные формы прока­танных, гнутых, тянутых и прессованных профилей показанына рис. 2.31.

Характеристики

Список файлов книги