Феодосьев В.И (823545), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Эпюру моментов строят на оси стержня и ординату мо­мента откладывают в сторону вогнутости упругой линии, т.е.эпюру моментов строят, как говорят, на сжатом волокне. Это­му правилу можно дать и другое толкование.Если сумма моментов сил, действующих на левую частьстержня, дает равнодействующий момент, направленный почасовой стрелке, то ординату изгибающего момента в сеченииоткладывают вверх. Если же равнодействующий внешний мо­мент слева от сечения направлен против часовой стрелки, тоординату изгибающего момента откладывают вниз.Для сил, лежащих справа от сечения, имеет место обрат­ная зависимость: в случае равнодействующего момента, на­правленного по часовой стрелке, ординату изгибающего мо­мента откладывают вниз, а в случае равнодействующего мо­мента, направленного против часовой стрелки, - вверх.

Ска­занное иллюстрирует схема, представленная на рис. 4.4.Ордината-Stepsal-------<С------ - -----Т0рдината-8низРис. 4.4Возвращаясь к рассматриваемому примеру двухопорногостержня замечаем, что момент силы Рл, расположенной слеваот сечения С, направлен по часовой стрелке. Следовательно,в сечении С ординату изгибающего момента нужно отклады­вать вверх.В пределах изменения г от 0 до а изгибающий момента+ЬРассмотрим теперь правый участок, где z изменяется от адо а + b (см. рис.

4.1). Изгибающий момент в сечении С1 удоб­нее рассматривать как сумму моментов внешних сил, лежащих160справа от сечения. Очевидно,М = Рв(а + b - z} = —-~х (a + b- г).at оОрдинату момента следует откладывать вверх, так как мо­мент внешней силы, лежащей справа от сечения С1, направленпротив часовой стрелки.В соответствии с полученными выражениями для изгиба­ющих моментов может быть построена эпюра, показанная нарис. 4.5.

Эпюра является кусочно-линейной и на всей длинестержня расположена сверху. Это значит, что ось изогнутойбалки, называемая упругой линией, всюду направлена вогну­той стороной вверх, что в данном случае достаточно очевидно.Рис. 4.5Определим поперечные силы Q. Из условия равновесиялевой или правой части разрезанного в точке С (0 < z < а)стержня (рис. 4.1) следует, чтоQ = Рл,илиQ = Р - Рв = Рл.Во всех случаях поперечная сила для прямого стержняравна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил,лежащих по одну сторону от сечения. Отсюда можно устано­вить правило знаков для поперечной силы.

Если сумма внеш­них сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодей­ствующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечениисчитается положительной, а если вниз - отрицательной. Длясил, расположенных справа от сечения, наоборот, если равно­действующая внешних сил направлена вверх, то поперечная6 В. И. Феодосъев161сила в сечении считается отрицательной, а если вниз - поло­жительной. Это правило иллюстрирует схема, показанная нарис. 4.6.SРис. 4.6В рассматриваемом случае двухопорной балки сила Рд5лежащая слева от сечения С, направлена вверх. Следователь­но,РЬа+bДля правого участка балки (а < z < а + Ь) сила Рв, рас­положенная справа от сечения С\ направлена вверх. Следова­тельно, на этом участке поперечная сила отрицательна:Раа+bЭпюра поперечных сил в рассматриваемом двухопорномстержне изобразится двумя прямоугольниками (см.

рис. 4.5).Рассмотрим еще несколько примеров построения эпюр из­гибающих моментов и поперечных сил.Двухопорный стержень длиной I нагружен равномернораспределенными силами собственного веса стержня.Определим реакции опор. Очевидно,На рис. 4.7 эти силы показаны условно на основном рисун­ке. Строго говоря, их следовало бы изобразить на отдельномрисунке стержня с отброшенными внешними связями, посколь­ку эти силы заменяют действие связей. В предыдущем приме­ре (см. рис. 4.1) именно так и было сделано. Однако обычно162I*для упрощения прибегают к условному изображению реакций,как это и показано в рассматриваемом примере.Сумма моментов внешних сил, лежащих по одну сторонуот сечения, например по левую, равнаzМ = Рлг - qz-,где PAz - момент силы РА - направлен по часовой стрелке(знакqz - сила собственного веса на длине z. Ее рав­нодействующая проходит через середину отрезка z.

Следова­тельно, плечо силы равно z/2, а момент этой силы, располо­женной слева от сечения С, направлен против часовой стрелки(знакТаким образом,22Эпюра изгибающего момента изображается параболой,показанной на рис. 4.7. Наибольшее значение изгибающий мо­мент имеет в среднем сечении пролета при z = 1/2:м- 9/2^max —оПоперечная сила в сечении С равна сумме сил, лежащих поодну сторону от сечения:о/Q = РА - qz = — - qz.Эпюра поперечной силы изображается прямой.б*163На рис. 4.8 показано построение эпюр изгибающих момен­тов и поперечных сил на примере стержня, защемленного од­ним концом.

Такого рода стержни называются консолями. Вданном случае с правой стороны на стержень не наложены свя­зи, и изгибающие моменты и поперечные силы в любом сечениимогут быть найдены без предварительного определения реак­ций.Рис. 4.8В среднем сечении консоли через крестовину передаетсямомент пары сил. В результате на эпюре изгибающих момен­тов возникает скачок. Прй переходе через сечение С суммамоментов сил, расположенных по правую или левую сторонуот сечения, изменяется на величину ОТ.Рассматривая все построенные выше эпюры, нетрудноустановить определенную закономерную связь между эпюра­ми изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил.

Судяпо виду эпюр, поперечная сила Q представляет собой произ­водную от изгибающего момента М по координате zy напра­вленной по длине стержня. Докажем, что эта закономерностьдействительно имеет место.Пусть стержень закреплен произвольным образом и на­гружен распределенной нагрузкой q = f(z). Принятое направ­ление для q будем считать положительным (рис. 4.9).Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенныхсечениях приложим моменты М и М + dM^ а также попереч­ные силы Q и Q + dQ. Направления для этих силовых фак164торов приняты положительными в соответствии с обусловлен­ным выше правилом знаков.

В пределах малого отрезка dzнагрузку q можно считать равномерно распределенной.Рис. 4.9Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на верти­кальную ось и сумму моментов относительно поперечной осиС (см. рис. 4.9):Q + qdz - Q - dQ = 0;М + q dz + q dz----- M — dM = 0.2После упрощения и отбрасывания величины высшего порядкамалости, получимdQdM„(4.1)dzdzУравнения равновесия (4.1) можно получить из уравнений(В8) и (В11), если принять: Qz = Qx = 0, Qy = Q, qy = -g,Mz = My — 0, [£z = fiy = fix = 0, Mx — M. Кроме того, таккак рассматриваемый стержень прямолинейный, то ds = dz.Из соотношений (4.1) можно сделать некоторые общие вы­воды о характере эпюр изгибающих моментов и поперечныхсил для прямого стержня.Если стержень нагружен только равномерно распределен­ной нагрузкой q = const, очевидно, функция Q будет линейной,а М - квадратичной.

Это можно было наблюдать на примереэпюр, показанных на рис. 4.7.165Если стержень нагружен только сосредоточенными сила­ми или моментами, то в промежутках между точками их при­ложения q = 0. Следовательно, Q = const, а М является ли­нейной функцией z. В точках приложения сосредоточенныхсил эпюра Q претерпевает скачок на величину внешней силы,а в эпюре М возникает соответствующий излом (разрыв про­изводной).4.2.

Напряжения при чистом изгибеРассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно,чистый изгиб. Под чистым изгибом, как уже указывалось, по­нимается такой вид нагружения, при котором в поперечныхсечениях стержня возникают только изгибающие моменты, аQ = 0. Для тех участков стержня, где соблюдается это усло­вие, изгибающий момент, согласно второму выражению (4.1),остается постоянным (Л/ — const). Условия чистого изгиба мо­гут возникать при различных внешних нагрузках.

Некоторыехарактерные примеры показаны на рис. 4.10.Чистый изгиб-------------------------------Рис. 4.10166Отвлекаясь от особенностей приложения внешних сил иусловий закрепления стержня в целом, рассмотрим только тотего участок, где М = const и Q = 0. На границах этого участкадействуют только моменты(см. рис. 4.10, а).Под действием моментов М стержень изогнется. Так какв любом сечении возникает один и тот же изгибающий момент,то в случае однородного стержня изменение кривизны для всехучастков будет одним и тем же. Следовательно, при чистомизгибе ось однородного стержня принимает форму дуги окруж­ности.Легко обнаружить, что совокупность точек, расположен­ных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, по­сле изгиба также образует плоскость, но переместившуюся впространстве. Действительно, рассмотрим среднее попереч­ное сечение А-А (рис. 4.11, а).

Точки этого сечения по усло­виям симметрии не могут получить преимущественных сме­щений ни вправо, ни влево, поскольку и та, и другая стороныполностью равноправны. Следовательно, это сечение остаетсяплоским.Рис. 4.11Разрезая стержень на две равные части сечением А-А,получаем участки вдвое меньшие, находящиеся точно в техже условиях, что и целый участок (рис.

4.11, б). Для каждойиз полученных половин приведенные рассуждения могут бытьповторены (рис. 4.11, в). Следовательно, средние сечения этихполовин также остаются плоскими.167Этот процесс деления можно продолжать дальше. Темсамым будет доказано, что в неограниченной близости от лю­бого наперед заданного сечения есть сколь угодно много такихсечений, для которых соблюдается высказанное условие плос­ких сечений.

Характеристики

Список файлов книги