Феодосьев В.И (823545), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Они справедливы как для сплошного, так и для пологокругового сечения.Определим теперь геометрические характеристики сечения Jp и Wp. Для этого подставим в выражение (2.6) вместоdF площадь пояска 2irpdp (см. рис. 2.12). Если стержень имеетсплошное круговое сечение, тоD/2J P3dp,РОгде D - диаметр сечения, или(2.15)=Если же в стержне имеется внутренняя центральная полостьдиаметром d (рис.
2.14), тоD/2рd/2114или_ *d4Jp~ 32(2.16)Соответственно этим выражениям определяем полярный момент сопротивления Wp (см. формулу (2.13)). Для сплошногосечения_ пЗWp = —»0,2D3,(2.17)для кольцевого сечения (полый вал)(2.18)Таким образом, из выражений (2.11) и (2.15) видно, чтопри заданном крутящем моменте угловые перемещения валаобратно пропорциональны четвертой степени диаметра. Чтоже касается наибольшего напряжения, то оно, согласно выражениям (2.14) и (2.17), обратно пропорционально кубу диаметра D.Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу р.
Из условия парности следует, что точно такие женапряжения возникают и в продольных сечениях (рис. 2.15).Наличие этих напряжений проявляется, например, при испытании на кручение деревянных образцов.Рис. 2.15Дерево, как известно, обладает ярко выраженной анизотропией упругих и прочностных свойств.
Древесина имеетсравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон.115Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начинается с образования продольных трещин (рис. 2.16).Рис. 2.16Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент ABCD, показанный нарис.
2.17, то на его гранях будут обнаружены только касательные напряжения. Следовательно, во всех точках стержня прикручении возникает состояние чистого сдвига, как и при кручении трубки. Здесь, однако, чистый сдвиг не будет однородным, поскольку значение т изменяется по радиусу поперечногосечения.Из предыдущего параграфа мы уже знаем, что если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на45°, то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, имеющие одинаковое с т значение. При этомодно из них является растягивающим, а второе - сжимающим.Рис. 2.17116Согласно сказанному, на гранях элемента A1B1C1D1, выделенного из стержня при помощи винтовых сечений, проведенных под углом 45° к образующим, возникают нормальныенапряжения, показанные на рис 2.17.Наглядной иллюстрацией этого может служить характерразрушения хрупких образцов при кручении.
Хрупкие материалы разрушаются обычно по поверхности наибольших растягивающих напряжений. Если подвергнуть испытанию накручение образец из хрупкого материала, например чугуна, торазрушение произойдет по сложной винтовой поверхности, соответствующей максимальным растягивающим напряжениям(рис. 2.18).Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно проиллюстрировать и другим способом. На поверхности цилиндра,изготовленного из пластичного материала (рис.
2.19), краскойбыло предварительно нанесено множество мелких кружочков.При закручивании бруса кружки превратились в эллипсы сглавными осями, направленными под углом 45° к образующим.По направлению больших осей эллипса произошло удлинение,а вдоль малых осей - сжатие.тгРис. 2.19117Рис. 2.20Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, какэто делали в случае растяжения. Рассмотрим участок закрученного стержня длиной dz (рис. 2.20).
Энергия, накопленнаяв этом элементе, равна работе моментов Л/к, приложенных поторцам:dU = - MKd<p9где dp - взаимный угол поворота сечений. Двойка, стоящая взнаменателе, опять же является следствием того, что моментМк меняется пропорционально dtp.В полученное выражение подставляем dtp согласно формуле (2.8). Тогдаdu = кГ<21”Потенциальную энергию во всем стержне определяем интегрированием выражения (2.19) по длине:IГ M%dzv = !^rr<2-20’оЕсли момент Л/к по длине не меняется и жесткость постоянна,то Л/к =иол2/U =------ .2GJPРассмотрим некоторые примеры.118Пример 2.1.Вал передает момент ЯЯ = 10000 Н*м.Требуется подобрать размеры поперечного сечения вала для двух случаев:а) для сплошного кругового сечения; б) для кругового сечения с отверстием (d = TD/ty. Сравнить оба сечения по расходу металла.
Допускаемоенапряжение [г] = 60 МПа.Согласно формуле (2.14), для обоих сеченииWp = 1И»/[т] = 167 см3.Для сплошного сечения, согласно выражению (2.17),D3 = 167/0,2 = 835 см3;D = 9,41 см.Для полого сечения из выражения (2.18) получаемD = 0,2(1 — 74/8‘) = 2014 См3'° = 12,6 СМ'Расход металла пропорционален площади поперечного сечения.
В первомслучаяF = хЛ2/4 = 69, 6 см2,во втором -irD2 (F = ~d? \о23.2 см2.Таким образом, полое сечение является более экономичным и в рассматриваемом случае (при d/D = 7/8) дает более чем двукратное снижение расхода металла.Рис. 2.21То, что полый вал является более выгодным, чем вал сплошного сечения, ясно из рассмотрения эпюры напряжений в сечении вала (рис. 2.21).В центральной части сплошного сечения материал напряжен сравнительно мало и его использование далеко не полно. Для сечения с отверстиемнапряжения распределены более равномерно (см. рис.
2.21) и степень использования материала повышается.119Пример 2.2. Построить эпюры крутящих моментов, напряженийи углов поворота для вала, показанного на рис. 2.22, а.tпяfan(fy1|11“|Ц‘д,Н111И11П111Ц|1,,‘ПИ7г®119 ялS ЯПIII......... ..ппппъЗшШПППППг77 WдРис. 2.22Система является один раз статически неопределимой. Поэтому сначала раскрываем статическую неопределимость. Для этого отбрасываемлевую заделку и ее действие на вал заменяем моментом ЯЛд (рис> 2.22, б).Этот момент определяется из условия, что поворот левого торцевого сечения относительно правого равен нулю.Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическаясумма взаимных углов поворота торцевых сечений на участках АВ, ВС,CD и DE.Согласно формуле (2.11), соответственно этим участкам получаемЯЛА2/GJP120(ЯЛа- ЯЛ) Igjp+(ЯЛд - ЯЛ)/(ЯЛд - 5 ЯЛ) 21gj;gj;где GJp - жесткость на участке с диаметром Л, a GJp - жесткость научастке с диаметром 2D.
Очевидно,GJp = 16GJP.Учитывая это соотношение, находимТеперьлегкопостроитьэпюрукрутящихмоментов(рис. 2.22, в), а по формуле (2.14) определить гт*я во всех сечениях вала (рис. 2.22, г).При рассмотрении построенной эпюры напряжений следует учитывать, что в зонах приложения внешних моментов имеет место отклонениедействительного закона распределения напряжений в сечении от полученного линейного. Однако, согласно принципу Сен-Венана, эти отклоненияносят местный характер и практически не распространяются по оси запределы расстояний порядка диаметра сечения.Находим углы поворота сечений.
На первом участке угол поворотасечения, расположенного на расстоянии z\ от заделки,_ЗЕИдЛ _9WU1*” ~ ~GJ^~ ~ 17GJ₽'Эта зависимость изображается(рис. 2.22, д). При zi/21 имеемпрямой,показаннойнаэпюре18SOTZ* “ llGJp ‘На втором участке к этому углу прибавляем(ЯИа- ЯП) z2GJpгде z-2 отсчитываем от левого края второго участка.строим эпюру, показанную на рис. 2.22, д.Так по участкамПример 2.3. Имеется система, показанная на рис.
2.23. РычагиАВ и CD ~ абсолютно жесткие. Между ними образован зазор Д. Найти вертикальное перемещение точки приложения силы Р, если жесткостивалов I и II на кручение одинаковы и равны GJp.При малой силе Р зазор Д не перекрывается, и работает только валII. Искомое перемещение равно, очевидно, 6 = <ра, или, согласно формуле(2Л1).После того как зазор закроется, система становится статически неопределимой. Пусть Mi и Мц - крутящие моменты, возникающие в валах121Рис. 2.24I и II.
Из условий равновесияМ\ + Ми = Ра.Уравнение перемещений будет следующим:афп — a<pi = Д,или, согласно формуле (2.11),Мп -Mt= ~ GJp.laИсключая Л/i, находимizРа6 гчM" = -2=2hGJp-Искомое перемещение_ Mui = Pla266GJpa~ 2GJP + 2(2.22)Выражение (2.21) применимо до значений 6, не превышающих Д, т.е.приAGJpаЧ *Если сила превышает эту величину, перемещение следует определять по формуле (2.22). На рис. 2.24 показана зависимость перемещения6 от силы Р.1222.3. Кручение стержняс некруглым поперечным сечениемОпределение напряжений в стержне с некруглым поперечным сечением представляет собой довольно сложную задачу,которая не может быть решена методами сопротивления материалов.
Причина заключается в том, что для некруглогосечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений,введенная ранее, оказывается неприемлемой. Сечения заметноискривляются, в результате чего существенно меняется картина распределения по ним напряжений. На рис. 2.25 в качествепримера показана форма закрученного стержня прямоугольного поперечного сечения. На поверхность предварительно былананесена мелкая прямоугольная сетка, которая деформировалась вместе с поверхностными частицами металла. Поперечные линии сетки заметно искривлены, следовательно, будутискривлены и поперечные сечения.Рис.2.254Таким образом, при определении углов сдвига необходимоучитывать не только взаимный поворот сечений, но также иместный перекос, связанный с их искривлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
