Феодосьев В.И (823545), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый.183В связи с малостью ттах расчет на прочность при поперечном изгибе выполняют только по нормальным напряжениям,как и при чистом изгибе. Касательные напряжения во внимание не принимают. Это тем более естественно, что в точкахсечения, наиболее удаленных от нейтральной линии, т.е. внаиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю.Рассматривая качественную сторону явления, следуетиметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенноповлиять на оценку прочности стержня.
Например, при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание попродольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там,где касательные напряжения максимальны (рис. 4.30).Рис. 4.30Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей связи между слоями стержняпри поперечном изгибе. Если эта связь в некоторых слояхнарушена, характер изгиба стержня меняется. Например, встержне, составленном из листов (рис. 4.31, а), каждый листпри отсутствии сил трения изгибается самостоятельно.
Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна Р/п, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равноЛ/(Р/п)1 _ 6PZamax “ Wx ~ (6/6) (h/n)2Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами (рис. 4.31, б), стержень будет изгибаться как целый. В этом184случае наибольшее нормальное напряжение оказывается в праз меньше, т.е._ 6Р1атах - bh? •Иными словами, связанный пакет листов способен в первомприближении выдержать нагрузку в п раз большую, чем несвязанный.Рис.
4.31В поперечных сечениях болтов при изгибе стержня возникают поперечные силы. Наибольшая поперечная сила будет всечении, совпадающем с нейтральной плоскостью изогнутогостержня (сечение А — А на рис. 4.31,6). Эту силу в первомприближении можно определить из простого равенства суммпоперечных сил в сечениях болтов и продольной равнодействующей касательных напряжений в случае целого стержняQ рQ pi^^ = гтыЬ1=--Ь1=-Т,где т - число болтов.Интересно сопоставить изменение кривизны стержня в заделке в случае связанного и несвязанного пакетов. Согласноформуле (4.5), для связанного пакета1 _ М12Р1р ~ ЁТХ ~ Ebh3'185Для несвязанного пакета1 _ М(P/n)l_ 12Р1 2р~ EJX~ Е(Ь/12)(Л/п)3 “ Ebh3 “ ’Пропорционально изменениям кривизны меняются и прогибы.Таким образом, по сравнению с целым стержнем наборсвободно сложенных листов оказывается в п2 раз более гибкими только в п раз менее прочным.
Это различие в коэффициентах снижения жесткости и прочности при переходе к листовомупакету используют на практике при создании гибких рессорных подвесок. Силы трения между листами повышают жесткость пакета, так как частично восстанавливают касательныесилы между слоями стержня, устраненные при переходе к листовому пакету. Рессоры нуждаются поэтому в смазке листови их следует оберегать от загрязнения.Заканчивая параграф о поперечном изгибе, приведем пример, иллюстрирующий последовательность расчета стержняна прочность при изгибе.Пример 4.6. Подобрать размер а Т-образного поперечного сечения, показанного на рис. 4.32, для двухопорного стержня, нагруженногоравномерно распределенной нагрузкой интенсивностью д.
Коэффициентзапаса по пределу текучести должен быть не менее чем двукратный. Дано: I = 1 м, д = 100 Н/см, ffr.p = ffT.c = 350 МПа.Рис. 4.32Определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов (см.рис. 4.32). Расчетный изгибающий момент равенAfm„ = J?/2.186Согласно условию прочности,9 гг х< ——, откуда момент сопротивленияЯWx > 50,7 см3.Рассматривая заданное сечение, определяем расстояние от оси zi до29центра тяжести. Оно равноа. Момент инерции относительно оси Zi,4 ГТ,707 4равен JXl — 43a .
Переходя к центральной оси х, получаем Jx =a .3629 \707 зМомент сопротивления И® = Jx5a — — a ] = —- a , откуда находим18 /122122a3 > 50, 7 —— см3 или a > 2,06 см.“ 707“4.4. Касательные напряжения при поперечномизгибе тонкостенных стержнейПри поперечном изгибе тонкостенного стержня в его сечениях преобладающими остаются нормальные напряжения,которые в основном и определяют прочность стержня. Однакоздесь, в отличие от стержня сплошного сечения, существенноезначение приобретают касательные напряжения и законы ихраспределения.Рис.
4.33Касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенного стержня определяются по тому же принципу, что идля сплошного стержня. Разность нормальных сил для элементарного участка, расположенного по одну сторону от продольного разреза (рис. 4.33), уравновешивается касательными напряжениями т. В отличие от стержня сплошного сечения про-дольный разрез тонкостенного стержня следует производитьне параллельной нейтральному слою плоскостью, а плоскостью187А-А, нормальной к средней линии контура (см. рис.
4.33). Такое сечение имеет наименьшую ширину, равную 6, и в нем касательные напряжения, уравновешивающие разность нормальных сил, будут больше, чем в других продольных сечениях.Возвращаясь к выводу формулы Журавского, проделанному в § 4.3, легко обнаружить, что для тонкостенного стержняв этом выводе ничего не меняется, кроме того, что обозначениеb заменяется на 6.
В итоге имеемQS(4.13)В этой формуле, как и прежде, Q - поперечная сила в сечении,направленная перпендикулярно оси х,- статический момент заштрихованной части сечения относительно оси х (см.рис. 4.33); Jx - момент инерции всего сечения относительноОСИ X.Касательные напряжения т предполагаются равномернораспределенными по ширине сечения 6. В поперечном сечениистержня возникают напряжения, парные г. Они направленыпо касательной к линии контура (рис.
4.34). Если направлениеРис. 4.34поперечной силы Q не совпадает с главной осью сечения, то,очевидно,= QySi Qxs;(4-14)тjx6 + jy6Jгде Qx и Qy - составляющие поперечной силы по главным осямх и у.188Пример 4.7.Определить закон распределения касательныхнапряжений в корытном профиле при поперечном изгибе в вертикальнойплоскости (рис. 4.35).SQbРис.
4.35д2 $При размерах, показанных на рисунке, Jx = —— (Л 4-66). Для участ1. £ка полки длиной з (см. рис. 4.35) имеемполки, согласно формуле (4.13),= — &3- Таким образом, для6Qsh,8(h + 6b)'(4.15)и касательное напряжение оказывается пропорциональным л. То же самоеимеет место и для нижней полки.Если разрез сечения произвести на участке вертикальной стенки,статический момент части сечения, расположенной выше уровня у, будетравенit2А.6ft + — - у4/,и тогда/l26Q(bh + —-у3\4№8 (Л + 66)Здесь касательное напряжение представляет собой квадратичную функцию у.На рис.
4.35 показана эпюра распределения касательных напряженийпо контуру. Знак т вдоль контура, как видим, не меняется. Следовательно, найденное касательное напряжение сохраняет для всех точек сечения189Рис. 4.Звпостоянное направление, т.е. либо от края 1 к краю 2, либо же от края £к краю 1, в зависимости от знака поперечной силы (рис. 4.36).Пример 4.8. Найти закон распределения касательных напряжений в круговом незамкнутом профиле при изгибе в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (рис. 4.37).Рис. 4.37Момент инерции сечения относительно оси х равен J® = irR36.Статический момент заштрихованной части сечения определяется инте-гралом S*= 6 J R2 sindtp = Я26(1 -Feos 99).Соответственно этомуQ tт = —— (1 4- cos^), после чего может быть построена эпюра г (см.тг Roрис. 4.37).4.5- Центр изгибаСистема сил, лежащих в плоскости сечения, как известноиз теоретической механики, может быть приведена к любойточке плоскости в виде равнодействующей силы и момента.Равнодействующая сила не зависит от точки приведенияи во всех случаях равна поперечной силе Q.
В этом можно190убедиться хотя бы на примере рассмотренного кругового незамкнутого профиля (см. рис. 4.37). Здесь равнодействующаякасательных сил по оси у определяется следующим интегралом:У т cos <pdF =у*(1+ cos у?) cosyjdyj,-<fкоторый, как легко установить, равен Q. То же самое имеетместо и для рассмотренного выше примера корытного и вообще для любого профиля.яS/гРис.
4.38Что касается равнодействующего момента в сечении, тоон зависит от положения точки приведения сил. Так, например, в том же случае кругового незамкнутого профиля моменткасательных сил относительно центра круга (рис. 4.38) будетMo = j rRdF =Fj (1 + cos</?)d</> = 2QR,— 7ГПри переходе от одной точки к другой момент изменится,очевидно, на величину Qa, где а - расстояние между этимиточками. Так, если привести силы к точке А (см. рис. 4.38, в),тоМА = Mo - QR = QRСуществует такая точка, относительно которой моменткасательных сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю. Эта точка называется центром изгиба, В рассмотренномпримере центр изгиба находится на расстоянии 2R от центракруга (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
