Феодосьев В.И (823545), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Рассмотрим теперь общийслучай нагружения, когда в поперечных сечениях могут воз­никать нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутя­щие моменты одновременно. Кроме того, расширим круг рас­сматриваемых вопросов, полагая, что стержень может бытьне только прямым, но и криволинейным или состоять из рядаучастков, образующих плоскую или пространственную систе­му.Решение поставленной задачи необходимо не только длянахождения самих перемещений и оценки жесткости конструк­ции.

На основе определения перемещений созданы общие ме­тоды определения внутренних силовых факторов в статическинеопределимых системах, о чем будет сказано в следующейглаве.8 В. И. Феодосьев225Наиболее просто перемещения можно найти при помощиэнергетических соотношений на основе общего выражения по­тенциальной энергии нагруженного стержня.Определению потенциальной энергии предшествует ана­лиз внутренних силовых факторов, возникающих в стержне.Этот анализ проводят, как известно, при помощи метода сече­ний с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, ав тех случаях, когда это необходимо, - также эпюр нормаль­ных и поперечных сил.Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторовстроят на осевой линии стержня.

Силовой фактор откладыва­ют по нормали к оси, как это показано, например, на рис. 5.1.Для пространственного стержня осевую линию вычерчиваютобычно в перспективе, а эпюры изгибающих моментов изобра­жают в соответствующих плоскостях изгиба (рис. 5.2). Эпю­ру крутящих моментов не связывают с какой-либо определен­ной плоскостью и в отличие от эпюры изгибающих моментовштрихуют винтовой линией.Рис. 5.1Рис. 5.2226Для определения потенциальной энергии выделим изстержня элементарный участок длиной dz (рис.

5.3). Стер­жень может быть не только прямым, но и иметь малую на­чальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общемслучае нагружения возникает шесть силовых факторов: тримомента и три силы. По отношению к выделенному элемен­тарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внеш­ние и определим работу, которая совершается ими при дефор­мировании элемента.

Эта работа переходит в потенциальнуюэнергию, накопленную в элементарном участке стержня.Рис. 5.3Левое сечение элемента (см. рис. 5.3) условно будем рас­сматривать как неподвижное, с тем чтобы работа всех сило­вых факторов, приложенных к левому торцу, была равна ну­лю. Точка приведения сил в правом сечении вследствие де­формации элемента получает некоторые малые перемещения,на которых совершается искомая работа.

Очень важно, чтокаждому из шести силовых факторов соответствуют такие пе­ремещения, на которых ни один из остальных пяти работыне совершает. Так, под действием момента Мк возникает уголповорота сечения относительно оси z. На этом угловом переме­щении работа совершается только этим моментом Л/к. Линей­ное перемещение вдоль оси у возникает вследствие действиясилы Qy, и только эта сила совершает работу на этом пере­мещении. Следовательно, потенциальную энергию элементаможно рассматривать как сумму независимых работ каждо­го из шести силовых факторов, т.е., иначе говоря, как сумму8*227энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига:dU = dU(Mj + dU(Mx) + <Я/(М„)++dU(N) + dU(Qx) + dU(Qy).(5.1)Естественно, такое разделение работ возможно лишь приопределенном выборе осей. В частности, точка приведения силдолжна совпадать с центром тяжести сечения.

Иначе нормаль­ная сила N вызовет поворот сечения, и изгибающие моментысовершат работу на угловом перемещении, вызванном этой си­лой. Оси х и у должны быть главными. В противном случаемомент Мх вызовет поворот сечения относительно оси у, и бу­дет произведена взаимная работа на угловых перемещениях,вызванных двумя изгибающими моментами.Выражения для первых четырех слагаемых нам уже из­вестны:jrr/ix \ M^dzкM%dzdU<M=2u’.,-Mj dzdU(Ms)=-jn-,, № dzd^N^-—.Остается найти энергию сдвига dU(Qx) и dU(Qv).Рис.

5.4Для определения dU(Qy) рассмотрим элементарную приз­му с площадью основания dF и длиной dz (рис. 5.4). Энергия,заключенная в этом объеме, равна U^dFdz^ где Uq - удельная потенциальная энергия при сдвиге. Согласно выражению228(2.3), Uq = r^/(2G). Таким образом, UodFdz — -^L-dFdz. Инdz f отегрируя по площади F, находим dU(Qy) —I Ту dF. Но,„Qys*согласно формуле Журавского (см. § 4.3), Ту = —*■Jxbвательно,Qv dzСледо-Q«dz F fSt2dFsf dFb2FОбозначимF Г S;2dF.J2 J P ~ *s(5-2)FТогдаQ2 dzdU(Qy) = ky.ЛигАналогично получимда(Сх) = *>^.Z(jr ГКоэффициенты kx и ky пред­ставляют собой безразмерные ве­личины, зависящие от геометри­ческой формы сечения.

Напри­мер, для прямоугольного сеченияс размерами Ь и h (рис. 5.5) стати­ческий момент 5* заштрихован­ной площади относительно оси хравен S*= 2 \Т “ У Jлее, dF = bdy^ F = bh^ Jx =ние. 5.5= bh?/12. Производя преобразова­ния, по формуле (5.2) получаем к = кх = ку = 6/5. Для сплош­ного круглого сечения к = 10/9. Для тонкостенного круговогопрофиля к = 2 и т.д.229Выражение (5.1) теперь принимает вид_ M2dz M2dz M2dz N2 dzQjdzQ$dzdU2GJX + 2EJX + 2EJV + 2EF + x 2GF + * 2GF 'Чтобы получить потенциальную энергию всего стержня,это выражение следует проинтегрировать по длине:[Mtdz . [M2dzfM2dzJ 2GJKJ 2EJXJ 2EJ~ +ItIfN^dz.

f kxQ2 dz , f kyQ2 dz+ J 2EF + J 2GF + J 2GF ’ (5.3)/IIЕсли конструкция сложная и состоит из нескольких эле­ментов, имеющих форму стержня, то после интегрирования впределах каждого стержня должно быть произведено сумми­рование энергии по числу составляющих элементов.В выражении (5.3) не всегда все слагаемые являются рав­ноценными.

Для подавляющего большинства встречающих­ся на практике систем, где составляющие элементы работаютна изгиб или кручение, три последних слагаемых в выражении(5.3) оказываются существенно меньшими трех первых. Иначеговоря, энергия растяжения и сдвига, как правило, существен­но меньше энергии изгиба и кручения.Рис. 5.вВместе с тем возможны такие случаи, в которых рассмат­риваемые слагаемые оказываются величинами одного порядка.Например, для нецентрально-растянутого стержня, показанно­го на рис. 5.6, энергия растяжения и энергия изгиба являются230ПыопластРис.

5.7величинами одного порядка. При нагружении пластины, скле­енной из двух металлических листов с пенопластовым заполни­телем (рис. 5.7), энергия сдвига в заполнителе может оказатьсясоизмеримой с энергией изгиба.5.2. Теорема КастилианоВ основу определения перемещений стержня может бытьположена теорема Кастилиано: частная производная от по­тенциальной энергии системы по силе равна перемещениюточки приложения силы по направлению этой силы.Высказанная формулировка требует пояснения.

Условим­ся под перемещением в заданном направлении понимать проек­цию полного перемещения на заданное направление. Поэтомуперемещение точки приложения силы по направлению силынадо понимать как проекцию на направление силы полного пе­ремещения этой точки.Рис. 5.8Рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольной си­стемой сил и закрепленное тем или иным способом, но так,чтобы были исключены его смещения как жесткого целого(рис.

5.8). Пусть потенциальная энергия деформации, накоп­ленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна231U и выражена через силы. Одной из сил, например силе Рп,дадим приращение dPn. Тогда потенциальная энергия U по­дилучит приращение д — dPn и примет видОРпV+^iP'(5.4)n-Изменим теперь порядок приложения сил. Приложим сна­чала к упругому телу силу dPn. В точке приложения этой силывозникнет соответственно малое перемещение, проекция кото­рого на направление силы dPn равна d6n.

Тогда работа силыdPn оказывается равной dPndSn/2t Теперь приложим всю си­стему внешних сил. При отсутствии силы dPn потенциальнаяэнергия системы снова приняла бы значение СЛ Но теперь этаэнергия изменится на величину дополнительной работы dPn6n,которую совершит сила dPn на перемещении 6П, вызванномвсей системой внешних сил.

Величина 6П опять представля­ет собой проекцию полного перемещения на направление силыРп. Перед произведением dPn6n множитель 1/2 отсутствует,поскольку на пути 6П сила dPn остается неизменной.В итоге при обратной последовательности приложения силвыражение для потенциальной энергии получаем в видеU 4- dPn6n + — dPndSn.(5.5)£Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасываяпроизведение dPnd6n/2 как величину высшего порядка мало­сти, находим(5-6)" дРпСледовательно, дифференцируя потенциальную энергию по од­ной из внешних сил (при прочих неизменных силах), находимперемещение точки приложения этой силы по направлениюсилы.Если еще раз внимательно рассмотреть вывод, то легкоустановить, что в выражении (5.6) силу Рп можно трактоватькак обобщенную, т.е. как некоторый силовой фактор.

Тогда6П следует рассматривать как обобщенное перемещение, т.е.232как такой геометрический параметр, на котором обобщеннаясила Рп совершает работу. Например, если под Рп пониматьвнешний момент(см. рис. 5.8), то 6п представляет собойугловое перемещение в точке приложения момента по напра­влению момента. Если тело нагружено силами гидростати­ческого давления, то, дифференцируя потенциальную энергиюпо давлению, получаем изменение объема тела.При доказательстве теоремы Кастилиано мы не наклады­вали ограничений ни на форму тела, ни на систему внешнихсил.

Мало того, мы не ставили даже вопрос о том, подчиня­ется или нет материал закону Гука. Однако в скрытой формеэти ограничения все же присутствуют.Если зависимость между силами и перемещениями нели­нейна, то работа, совершенная системой внешних сил, зависитот того, приложена эта система до или после силы dPn.

Иначеговоря, слагаемые U в выражениях (5.4) и (5.5) различны, итеорема Кастилиано становится несправедливой.В подавляющем большинстве задач, с которыми прихо­дится сталкиваться на практике, зависимость между силами иперемещениями является линейной, и к решению таких задачтеорема Кастилиано полностью применима. Исключение со­ставляют системы, к которым не может быть применен прин­цип неизменности начальных размеров и принцип независи­мости действия сил. Примеры таких систем были приведеныранее (см. § В6).

Характеристики

Список файлов книги