Феодосьев В.И (823545), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Момент от единичной силы М\ = Я(1 — cos^). Искомое240Рис. 5.16взаимное смещение2ir.f МРМ1 dz PR3 f„.2 .0л= —Try—=~ЁТ /(1~cos*’' “*’•Iклкf, PR?°Л = 3~* ЁТ'0Пример 5.6. Определить взаимное смещение точек А в такомже кольце (см.
предыдущий пример)} но нагруженном силами, действующими перпендикулярно плоскости кольца (рис. 5.17, а).Рассмотрим кольцо в плане (рис. 5.17, б). В сечении В возникаетне только изгибающий, но и крутящий момент. Первый равен моментусилы Р относительно оси у, а второй - моменту той же силы относительнооси z (см. рис. 5.17, б). Очевидно, Му = PPsiny», Мж = РЯ(1 — cosyi).Прикладываем в точках Л единичные силы взамен сил Р.
Тогда Myi == Psin^, Л/К1 = Я(1 — costp). Обращаясь к выражению (5.8), оставляем внем два первых интеграла и получаем=82ТАGJ. J1О2тPR3 [EJ jо241или6А = irPR33GJ*1+ EJЗдесь искомое перемещение определяется жесткостью кольца как на кручение, так и на изгиб.Из рассмотренных примеров видно, что при определенииперемещений для стержня, изогнутого по дуге окружности,приходится брать интегралы от простейших тригонометрических функций в различных комбинациях.
В табл. 5.1 данынаиболее часто встречающиеся при решении подобных задачинтегралы.5.4. Способ ВерещагинаОсновным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составленияаналитического выражения подынтегральных функций. Этоособенно неудобно при определении перемещений в стержне,имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждогоучастка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить.
Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.Положим, на участке длиной I нужно взять интеграл отпроизведения двух функций /1(г) * /2(2):IJ=j■ f2(z)dz,(5.10)опри условии, что по крайней мере одна из этих функций - линейная. Пусть /2(2) = b + kz. Тогда выражение (5.10) приметвидIj=fi(z)dz + k У z/i(z)dz.0242IОТаблицаИнтегралы от простейших тригонометрическихфункций5.1.»/231Г/2/ fM<i<pfM002Tff(v>)<iv>/ f(v) <i<P0f00sin tp1 — COS p1210COS рsin ip10-10sinp1 f~ 1 V1 .
n \sm 2<p )TK42—T4□COSpif1 . _\-^+-Mn2^1Г1ГЗэг42T1 - 2Vjsm120122 ~1*ЯЗтг„------ 243k1 — cos p(1 — cos^?)(1 — cossin p32-pjtsin ip.1 .— 2 sin ip + - sin 2^4i1 — COS ip—- 2—i Sinip(.ip1 .Sin ip-------- — 81П 2p24233irTJT0,T+19k2x2T+23k2120k |сч243(1 — COS ¥?) cos ipip —*4 чsin p cos p-1. 2—XПервый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой fi(z) (рис. 5.18), или, короче говоря, площадь эпюры fi(z\.IУ fl(z)dz = Sl1.ОВторой интеграл характеризует статический момент этой площади относительно оси ординат, т.е./Уzfi(z)dz =П12ц.т,Огде гц<т - координата центра тяжести первой эпюры.
ТеперьполучаемJ = flj(6 + Азц.т).Но b + kzKtT= /з^ц.т)-Следовательно,J = П1/2(2ц.т)*Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры наординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.В случае, если обе функции /i(z) и /2(2) - линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности.В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой244эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.В каждый из интегралов Мора (5.8) входит произведениефункций M2PMZ^и т.д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов, и перемножение эпюр проводится одинаково, независимо от того, построены эти эпюрыдля изгибающих и крутящих моментов и нормальных и поперечных сил.
Разница заключается лишь в том, что результатперемножения делится не на жесткость EJ, как при изгибе, ана жесткость EJ,*если речь идет о кручении, или на EF илиGF - при растяжении и сдвиге.На первый взгляд может показаться, что способ Верещагина не дает существенных упрощений. Для его применениянеобходимо вычислять площадь эпюры моментов и положениеее центра тяжести, что при сложных эпюрах все равно потребует интегрирования, как и в методе Мора.
Однако встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов могут быть,как правило, разбиты на простейшие фигуры: прямоугольник,треугольник и параболический треугольник (рис. 5.19), для которых площадь fl и положение центра тяжести известны. Прикручении, растяжении и сдвиге эпюры оказываются еще болеепростыми: они, как правило, линейные и состоят из прямоугольников и треугольников в различных комбинациях.S2-lhQ=jlhРис. 5.19Пример 5.7.При помощи правила Верещагина определитьперемещение точки А для стержня, показанного на рис. 5.20, а.Строим эпюру изгибающих моментов от заданных сил Р(рис.
5.20, б). Затем, полагая внешние силы равными нулю, прикладываем в точке А единичную силу и также строим эпюру (рис. 5.20, в и г).Далее проводим перемножение эпюр.245Рис. 5.20На участке ВС площадь эпюры моментов заданных сил О = PZa/2.Ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры моментовзаданных сил для этого участка будет= 1/6.Перемножая эти величины, находим ПЛ/хц.т = PZ3/6.Участок BD нельзя рассматривать целиком, так как на этом участкеэпюра моментов единичной силы является ломаной.
Надо взять половинур/2jj5PZ3участка, т.е. отрезок АВ. Здесь Q = ——, Л/1П.Т = - Z, ОМ1Д.Т =.2816Складывая полученные выражения для QMiSlT, находим (□Mis.T)Ac =23PZ348Для участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение и, разделив его на EJ, находим искомое перемещение_ 23PZ3” 24EJ ‘Пример 5.8. В системе, показанной на рис. 5.21, а, определить,на какое расстояние разойдутся точки А под действием сил Р.Строим эпюры моментов от заданных сил Р и от единичных сил,приложенных в точках А (рис.5.21, 6 и в). Очевидно, результат перемно-246Рис.
8.21жения эпюр на вертикальных участках будет равен нулю. Для горизонтального участка получим Я = Pl\ Mi„.r = I. Следовательно,Pl3Пример 5.9. Определить перемещение точки А консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой д (рис. 5.22, а).Рис. 5.22Строим эпюры моментов от заданных сил и от единичной силы, приложенной в точке А (рис. 5.22, б и в).
Перемножение эпюр должно быть247проведено по участкам - для правой и левой половим стержня. Но длялевой половины эпюра моментов заданных сил представляет собой параболическую трапецию, площадь и положение центра тяжести которой намнеизвестны. Поэтому проводим так называемое “расслаивание эпюры”.Вместо эпюры, показанной на рис. 5.22, б, строим отдельно эпюры от нагрузки, расположенной справа, и отдельно от нагрузки, расположеннойслева от точки А (рис.
5.22, г). Теперь на левом участке взамен параболической трапеции имеем простые прямоугольник, треугольник и параболический треугольник. Для всех этих фигур площади и положение центровтяжести известны.Произведение эпюр для правого участка равно нулю. На левомучастке соответственно для прямоугольника, треугольника и параболического треугольника получаем следующие слагаемые:ql3 1ql3 Iql3 3116 4*16 3*48 8 ’откуда£ =2L1Lл384 EJ'Пример 5.10.
Рассмотрим пример пространственной системы.Определим перемещение точки А в направлении к для пространственногостержня (рис. 5.23, а). Жесткость для элементов при изгибе в одной идругой плоскости равна fJ. Жесткость иа кручение равна GJ.*Рис. 5.23Основными перемещениями в системе являются перемещения, связанные с изгибом и кручением стержней.
Строим эпюры изгибающих икрутящих моментов от заданных сил и от единичной силы (рис. 5.23, би в). Перемножаем эпюры изгибающих моментов, причем только эпюры, лежащие в одной плоскости. Это следует из выражения (5.8), где подинтегралами перемножают только моментыи MypMyit но неМхрA/yi и МурMxi •248Приведем результат перемножения эпюр нагибающих моментов, соответствующих участкам ABt BCt CD к DE:'рр22 Л'*32f3'2 *’Так как жесткость на изгиб в обеих плоскостях для всех участководна и та же, все эти величины следует сложить и разделить на EJ.
Тогдаполучим2 Р/33 EJ‘Эпюры крутящих моментов перемножаются только на участке CD.Моменты имеют общий знак. Поэтому получаемИскомое перемещениеДля стержня круглого сеченияСЛ = 7(пЬ27“о'™!Л5.5. Определение перемещений и напряженийв витых пружинахВитые пружины принадлежат к числу наиболее распространенных упругих элементов машиностроения. Их применяют в самых различных конструкциях в качестве аккумуляторов упругой энергии амортизирующих, возвратно-подающихи многих других механических устройств.Вопросы расчета и проектирования витых пружин относятся к курсам деталей машин и приборов. Однако в силуустановившихся традиций основные расчетные формулы выводят обычно в курсе сопротивления материалов, посколькупримеры расчета пружин дают наглядную иллюстрацию методов определения перемещений.249Витую пружину можно рассматривать как пространственно-изогнутый стержень, осевая линия которого в простейшем случае представляет собой винтовую линию.
Геометрическая форма осевой линии определяется диаметром витка 2?, числом витков п и углом подъема а (см. развертку нарис. 5.24). Подъем витка можно характеризовать также шагомпружины6 = irD tga.Для всех встречающихся на практике пружин шаг з многоменьше тг!?, и угол а, следовательно, можно считать малым.Обычно а < 5°. Свойства пружин зависят также от формыпоперечного сечения витка. Как правило, пружины навиваютиз круглой проволоки. Обозначим диаметр сечения проволокичерез d (рис. 5.24).аРис. 5.24Рис.
5.25В зависимости от вида воспринимаемых рабочих нагрузок витые пружины подразделяют на пружины растяжения(рис. 5.25, а), пружины сжатия (рис. 5.25, б) и пружины кручения (рис. 5.25, в). В первых двух случаях пружина нагружается силами, равнодействующая которых направлена вдоль ееоси. Пружина кручения нагружена двумя моментами в плоскости, перпендикулярной оси пружины.Конструктивной особенностью пружин перечисленныхтипов является отделка концов. Концевые витки пружины растяжения и кручения отгибают с таким расчетом, чтобы могло250быть осуществлено ее крепление к смежным деталям. У пружины сжатия крайние витки поджимают и сошлифовывают сторцов, чем обеспечивается создание опорных плоскостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
