Феодосьев В.И (823545), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Там, где запрещены угловые смещения,2ввРис. в.10вводят моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X,, где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статическойнеопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Х{ являются взаимными. Если в каком-либо сечениирама разрезана, то равны и противоположные силы и моментыприкладывают как к правой, так и к левой частям системы.На рис. 6.11 показано пять возможных способов приложения неизвестных сил, соответствующих задающей основнойсистеме. Принцип приложения неизвестных силовых факторовстановится понятным без дальнейших пояснений.267Рис.
в.11Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.6.3. Канонические уравнения метода силОбратимся к конкретному примеру. Рассмотрим систему,представленную на рис. 6.12. Тем, что рассматривается конкретная семь раз статически неопределимая система, общностьрассуждений не будет нарушена.Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через 6^ обозначать взаимное смещение точек системы. Первый индекспри 6 соответствует направлению перемещения, а второй - силе, вызвавшей это перемещение.В рассматриваемой раме в точке А отброшена опора.
Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю иможно записать:<1(х1,Ха.-..Р) = °268Рис. в.12Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Xi, а индекс (Xi, %2i * * • 1 Р) показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так инеизвестных.Аналогично можно записать:Й2(ХЬХ2.....
р) = 0;^3(х1,ха,...,р) = °и т-д-Так как под величиной 6^ понимается взаимное смещение точек, то ^2 обозначает вертикальное смещение точки Вотносительно С, 63 - горизонтальное взаимное смещение техже точек, £4 - взаимное угловое смещение сечений В и С.Угловым смещением в рассматриваемой системе будет также^(Xi,x2.... Р)В точках А и D смещения 6^ являются абсолютными.Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения,взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтомупринятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений 6цхъх2^Р):61(Хг,Х2......
Р)—=+ ^lx2 + ^lx3 + ^lx4 + ^1х6 + ^1х6 + ^1х7 + ^1р = 0;^2(XlfX2....,P) =— ^2Хх + ^2Х2 + ^2х3 + ^2х4 + ^2х6 + ^2Х6 + ^2Х7 + &2Р = 0.Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений:каждое из слагаемых 6^) входящих в уравнение, обозначаетперемещение в направлении силы, указанной в первом индексе,и под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку269каждое перемещение пропорционально соответствующей силе,Sixk можно записать в следующем виде:*ixk = Ькк*(6.1)Что касается перемещений dip, 62Р и тто под Р в индексебудем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной. Поэтомувеличины dip, d2p,...
в уравнениях оставим неизменными. Теперь уравнения примут видdii%i + ^12^2 + *133+*144+ *155ie+6*1**21+ *22+ *233+*244+ *255++ *177++d26^6 + *2771**71+ dj2^2 + *733+ *744+*755+ $1р = 0;+hp = 0;(6.2)+-l-djgXe + *77+ d7p = 0.Эти уравнения носят название канонических уравненийметода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. Как увидим далее, в случаях, когда имеетсявозможность сразу указать значения некоторых неизвестных,число совместно решаемых уравнений снижается. Остаетсятеперь выяснить, что представляют собой коэффициенты d,*.
икак следует их определять. Для этого обратимся к выражению(6.1). Если Xjt — 1, то**:х= &ik’Следовательно, коэффициент 6^ есть перемещение по направлению i-ro силового фактора под действием единичногофактора, заменяющего k-й. фактор. Например, коэффициентdgi уравнения (6.2) представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек В и С, которое возникло бы в раме, если бык ней вместо всех сил была приложена только единичная силав точке А (рис. 6.13). Если, например, вместо сил Х2 приложить единичные силы, а все прочие силы снять (рис. 6.14), то270Рис. 6.13Рис. 6.14угол поворота в сечении D под действием этих сил будет Л72 эгоризонтальное перемещение в точке А будет £12 и т.д.Весьма существенно отметить, что в проделанном выводесовершенно не обусловливается то, каким образом возникаютперемещения 6^.
Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может бытьотнесено вообще к любой системе, работающей на кручение,растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.Обратимся к интегралам Мора (см. § 5.3). Для того чтобы определить <5,^, следует вместо внешних сил рассматриватьединичную силу, заменяющую А-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы ЛГкр, МхРу МуРу NPy QxP и QyP в выражении (5.8) заменим на^ук^Qxk и Qyk> понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного /с-гофактора.
В итоге получимykMytdz . f MxkMxj dz*GJ+JEJXEJy1l1, f NfaN^dz ( f kxQxkQxi dz ( f kyQykQyi dz+ J~EF~ + JGF+JGF’ (6,3}IIIгде AfKi, Mx{, ... - внутренние моменты и силы, возникающиепод действием г-го единичного фактора. Таким образом, коэффициентыможно получить как результат перемноженияг-го и /с-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и к непосредственно указывают, какие факторы должныбыть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рамасостоит из прямых участков и можно пользоваться правилом*кМ271Верещагина, то 6^ представляет собой результат перемножения 2-х единичных эпюр на к-е единичные эпюры.Очевидно, что S# = 6^.
Это следует, с одной стороны,непосредственно из выражений (6.3), а с другой - из теоремывзаимности перемещений (см. § 5.6), поскольку перемещенияивозникают под действием одной и той же силы, равнойединице.Величинывходящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1,2,..., возникающие под действием заданных внешних сил в основной системе. Они определяются перемножением эпюры заданных сил насоответствующие единичные эпюры.Еще раз напомним, что в подавляющем большинстве случаев перемещения, связанные с изгибом и кручением элементов рамы, значительно превышают перемещения растяженияи сдвига.
Поэтому в выражении (6.3) последними тремя интегралами, как правило, можно пренебречь (см. § 5.1).Пример 6.1. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.15.л Lлг-* -----гРис. 6.15Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силамиXi, Х2 и моментом Хз (рис. 6.16). Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:6цХ1 + 613X2 + 61ЭХ3 = —621X1 + 633X2 + 633X3 = “бзр,631X1 + 632X2 + 633X3 = —63р.Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюрыизгибающих моментов от заданной силы Р и от трех единичных силовыхфакторов (см.
рис. 6.16).272Ill II li 11 III 111!lItltlIlf It 111;©Рис. 6.16Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ. Величину 6ц определяем перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждогоучастка берем, следовательно, площадь эпюры и умножаем на ординатуэтой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:6и " EJР I7Р“ 3EJ'2 ' 3Заметим, что перемещения 6^ при i = к всегда положительны, посколькуплощади эпюры и ординаты имеют общий знак.Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая соответствующие эпюры:ы22EJ'2/3612 = 621 = ЁГ613 = 632 =И231ЕГ5РР6EJ'.Р1361P = “2£J:г8/3622 ~ 3EJ1.Р126зр ~ ~2EJ'Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения.После сокращений получаем21X1 + |/Ха +2Х3 =+2/Ха + |.¥з =3zZ3о+2/Х3 +ЗХ3 =Решая эти уравнения, находим Xi = —Р/4, X? = 7Р/16, Хз = Р//12.273Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением наэпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в Xi, X? и Хз раза.
Суммарная эпюра изгибающих моментовпредставлена на рис. 6.17. Там же показана форма изогнутой оси рамы.Рис. 6.17Рис. 6.18Пример 6.2. Определить усилия в стержнях статически неопределимой фермы (рис. 6.18, а). Жесткости EF всех стержней одинаковы.Длины стержней равны I или 1у/1 в соответствии с рисунком.Ферма два раза статически неопределима: один раз внешним и одинраз внутренним образом. Выбираем основную систему, заменяя правуюшарнирную опору катком и разрезая стержень 5 (рис.
6.18, б). Канонические уравнения имеют вид+^12X2 = —^21-^1 + 622X2 —Определяем коэффициенты этих уравнений. Стержни работают нарастяжение и сжатие, поэтому перемещения 6^ будут определяться нормальными силами, возникающими в стержнях. Так как по длине каждогостержня нормальная сила не меняется, то построение эпюр становитсяизлишним, и мы просто составим табл.
6.1 для усилий, возникающих встержнях от сил Р и от первой и второй единичных сил. Определение силпроводим из условий равновесия узлов. Далее, учитывая, что_ f NjNkdzNjNkl„,кJEF~ EF 'Огде 1п ~ длина стержня с номером п, вычисляем значения для произведений NiNfcln и результаты снова сводим в табл. 6.1. Затем, суммируя по274275столбцам таблицы! находим10zr.1052<$п=утг^1п=~Ёр''/>гJbrflsl^12 = ^21 = ЪТЬг61p=TF^NpN1,n=^'52^i№^n=="7FFlПя12Ъг6iP4&^Nprhln=~^rn=ln=lКанонические уравнения принимают видХ2 = -ЗР;3X1 -XXХ1 + 2 (1 + VT) Х2 = V2 Р,откуда110 + 12У711 + 12VT’2зТг„11 + 12V2Теперь, чтобы найти усилия N в каждом из стержней, надо к силеNr добавить силы Ni и Na, увеличенные соответственно в Xi и Ха раза.Результаты этой операции приведены в последнем столбце табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
