Феодосьев В.И (823545), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Этопозволяет получить на машине решение даже при числе неизвестных, из­меряемом тысячами.В рассматриваемом примере система уравнений приобрела диаго­нальную структуру в результате рационального выбора основной систе­мы.Понятно, что рассматриваемый пример особенно прост. Коэффи­циенты вдоль диагоналей остаются неизменными, поскольку расстояниемежду опорами неизменно и жесткость пролетов одна и та же. Но основнаяпростота - именно в диагональной, или ленточной, структуре уравнений.Эго приятное следствие такого выбора расчетной схемы было подмече­но давно.

Для многопролетного стержня уравнения можно обобщить наслучай различных длин пролетов и произвольной нагрузки. Такого ро­да уравнения называются уравнениями трех моментов и еще в недавнемпрошлом возводились даже в ранг “теоремы о трех моментах”. Лишьотносительно недавно, в связи с развитием машинной техники, была осо­знана общность подхода, далеко выходящая за рамки методов раскрытиястатической неопределимости систем.Но вернемся к уравнениям.

Положим, что Xi = Ла1, где А и а неопределенные величины, не зависящие от индекса i.Легко заметить, что при таком предположении будут удовлетворенывсе уравнения, кроме первого и последнего, если только1 + 4а + а3 =0.Определим корни этого уравнения: aj = — 2 + s/з", ад = —2 — \/3Теперь построим более общее выражение:Х{ “ Аа{ + Вд.Опять удовлетворены все промежуточные уравнения. Но теперь мырасполагаем двумя константами Л и В, которые можно подобрать так,чтобы были удовлетворены первое и последнее уравнения.287Подставляя в первое уравнениек Ха, получимА + В = М.Пусть крайняя правая опора имеет индекс п.

Перепишем последнее урав­нение нашей системы в видеХп—2 + 4Xn—i 4- Хп — Хп — О»откудаAai 4- Во? = 0.Решая совместно оба уравнения, получимА=Ма?.В = -Мп.а2 ~ а ”Таким образом,Но так как щаа = 1, то_П —1П— 1а2~ Д1а2 ~а1Решение получено для любого числа опор. В данном случае мы име­ем 10 опор и п = 9. Подставляя значения ai и аз, легко обнаружить, чтоизгибающие моменты на опорах с увеличением индекса t, т.е.

при счетеслева направо, имеют чередующиеся знаки и быстро убывают по абсолют­ной величине. Момент Xi примерно в четыре раза меньше момента М.На предпоследней опоре он оказывается равным Л//40545. Эпюра изгиба­ющих моментов показана на рис. 6.36.Рис. в.Зв2886.5. Плоскопространственные и пространственныесистемыРассмотрим основные особенности плоскопространствен­ных систем. Как уже указывалось выше, плоскопростран­ственными называются системы, плоские в геометрическом от­ношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендику­лярными плоскости рамы.

Примеры плоскопространственныхсистем представлены на рис. 6.37.Рис. 6.37Особенностью этих систем является то, что во всех по­перечных сечениях внутренние силовые факторы, лежащие вплоскости рамы, равны нулю. Доказывается это так же, как ипри рассмотрении свойств с учетом прямой и косой симметрии.Рис. 6.38Положим, имеется некоторая плоскопространственная ра­ма (рис. 6.38).

Разрезаем эту раму в произвольном сечении,превращая ее в статически определимую. Обозначим через Xi,Х2, Х3 силовые факторы, плоскость действия которых перпен­дикулярна плоскости рамы. Это - изгибающий и крутящиймоменты и вертикальная поперечная сила. Остальные три си­ловых фактора в сечении обозначим через Х4, Х5, Х$.

На10 В. И. Феодосьев289рис. 6.38 эти силовые факторы, возникающие в плоскости ра­мы, вынесены для ясности в сторону.Система канонических уравнений^11^1 + $12^2 + *1зХ 3 + <$14X4+ £15^5+ $16^6 =^21-^1 + ^22-^2 + ^23-^3 + ^24-^4+ ^25^5+ ^2бХб = ~<$2Pi631X1 + ^32-^2 +633X3+ 634X4+ ^35-^5 + ^ЗбХб ="^Зр!644X4+ 645X5+ 645X5 = —64^;651X1 + ^52 Хз + <$53 Х3 + 654X4655X5+ 655X5 = — 65 р]65X5 + 655X5 = — 65Р*641X1 + ^42-^2 + ^43-^3 +6б1Ху+ 654X4++ 653X3 + *633+распадается здесь на две независимых системы, поскольку приперемножении эпюр от первых трех факторов на эпюры оттрех последних получим всегда нуль:<$14 = <$15 = *16= <$24 = • • • = 0.При этом, естественно, предполагаем, что одна из главныхосей сечения расположена в плоскости рамы.Таким образом, получаем+*133= —^1р ;1**11+*1221**21+1**31+*322644X4+ £45X5 + 645X5 =654X4 +622X2655X5+ 633X3 =+633X3 = -бзр]+*566664X4 + 655X5 +“*2 р!4-*р;= “*5Р5655X5 = — 65р.Если внешние силы действуют в плоскости рамы, т.е.

еслирама является плоской в обычном понимании, то обращаютсяв нуль 61р, 62Р и бзр, и внутренние силовые факторы Xi, Хз,Х3 равны нулю. Это значит, что для плоской рамы возникаюттолько внутренние факторы, действующие в ее плоскости.Если же внешняя нагрузка перпендикулярна плоскостирамы, то равны нулю 64^, 65^, и 65р. Тогда равны нулю и Х4,Х5, Х6. В заданной для расчета раме, как видим, сохраняют­ся внутренние силовые факторы, плоскости действия которыхперпендикулярны к плоскости рамы.290При смешанной нагрузке (рис.

6.39), действующей на пло­скую раму, всегда имеется возможность разложить силы поплоскостям и рассмотреть отдельно плоскую и плоскопро­странственную системы. Внутренние силовые факторы опре­деляют в дальнейшем как результат наложения полученныхрешений.Рис. 6.39Перейдем к пространственным статически неопредели­мым системам. Исследование таких систем не содержит в се­бе принципиальных трудностей.

Понятно, что для простран­ственных систем задача раскрытия статической неопределимо­сти выглядит, как правило, более громоздкой, чем для плоскихсистем. Однако канонические уравнения метода сил остаютсятеми же, и их коэффициенты определяют при помощи тех жеприемов.Особого внимания при раскрытии статической неопреде­лимости пространственных рам требует проверка основной си­стемы на кинематическую неизменяемость. Случается, чтопространственная система представляет собой механизм, нообнаруживается это только при внимательном рассмотрении.Например, системы с пространственными шарнирами, пока­занные на рис.

6.40, являются кинематически изменяемыми.Рис. 6.4010*291Для каждой из них наложенные связи не препятствуют вра­щению системы относительно осей, отмеченных на рис. 6.40штриховыми линиями.Проверку пространственной системы на кинематическуюнеизменяемость проводят обычно при помощи проб, т.е. пу­тем последовательных попыток мысленно сместить раму илинекоторые ее элементы относительно неподвижных осей.В связи со сказанным следует в заключение отметить,что требование кинематической неизменяемости, которое под­черкивалось выше, вообще говоря, не всегда является обяза­тельным. В некоторых случаях кинематическая изменяемостьосновной системы может быть допущена, но этот вопрос ре­шают обязательно в связи с особенностями приложенных к си­стеме сил.

Так, в примере 6.5 кольцевая рама была рассеченадвумя сечениями (см. рис. 6.30). Части рамы получили приэтом возможность свободно перемещаться одна относительнодругой. Однако полученная кинематическая изменяемость неоказалась существенной, поскольку и система заданных, и си­стема единичных сил были уравновешены независимо одна отдругой.Пример 6.8. Раскрыть статическую неопределимость рамы,показанной на рис.

6.41, а. Жесткость составляющих стержней на изгибравна EJt а на кручение GJK.Рис. 6.41292Рама является плоскопространственной. Поэтому в любом ее по­перечном сечении силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равнынулю. Кроме того, рама симметрична. Следовательно, в поперечномсечении в плоскости симметрии обращаются в нуль кососимметричныефакторы ~ крутящий момент и вертикальная поперечная сила. Отлич­ным от нуля остается только изгибающий момент в вертикальной плос­кости.

Разрезаем раму по плоскости симметрии и прикладываем моментXi (рис. 6.41, 4). Строим эпюру моментов от заданных сил и единичногомомента (рис. 6.41, о и е) и находим коэффициенты канонического уравне­ния= 0.Получаем,212111 ~ EJ*,GJ. '_1я “,1sЗЕ JqPGJ. ’Тогда1qP l+3EJ/(GJ.)6 1 + EJ/(GJ.)'Если рама состоит нз стержней, имеющих круглое поперечное сечение, тоEJ— = 1+дй1,3;оXi =0,355gZ2.Суммарная эпюра изгибающих моментов дана на рис.

6.42.Рис. 6.42Пример 6.9. Раскрыть статическую неопределимость простран­ственной рамы, показанной на рис. 6.43, а. Жесткости на изгиб EJ и накручение GJ*для всех элементов рамы одинаковы.Рама симметрична относительно вертикальных плоскостей АВ иCD. Разрезая раму по первой плоскости симметрии, получаем в сеченияхтолько симметричные силовые факторы (рис. 6.43, б). Из условий равно­весия сразу видно, что нормальная сила в этих сечениях равна Р/2, а одиниз моментов равенОстается только один неизвестный момент Xi,возникающий в горизонтальной плоскости.293Рис. 6.44Для половины рамы строим эпюры моментов от заданных сил и отединичного момента (рис. 6.43, а и г). Перемножая эпюры, находим£2/41+£1Р~Р122EJ'Тогда_ Pl1Л1 “ 4 2 + *EJ/(GJYДля круглого сечения EJj(GJK) « 1,3;моментов дана на рис.

6.44.294я 0,076/4. Суммарная эпюра6.6. Определение перемещенийв статически неопределимых системахМы уже знаем, что в любой системе перемещение опреде­ляется как результат перемножения эпюры моментов от внеш­них сил на эпюру моментов от единичной силы, приложеннойв точке, перемещение которой надо найти. В статически не­определимых системах, очевидно, для построения эпюры мо­ментов от внешних сил нужно раскрыть статическую неопре­делимость и построить суммарную эпюру так, как это ужемногократно делалось в рассмотренных выше примерах. Ког­да к такой системе приложена единичная сила, снова возника­ет вопрос о раскрытии статической неопределимости.

Характеристики

Список файлов книги