Феодосьев В.И (823545), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Если а = 90°,секущая площадка совпадает с другой главной площадкой изтого же семейства (точка С на окружности).Рис. 7.14Показанная на рис. 7.14 окружность построена для семей­ства площадок, параллельных вектору а}. Аналогичным обра­зом можно построить круги Мора и для семейств площадок,316параллельных векторами <73. В этих случаях круги строятсоответственно на отрезках <72 — <?з и <71 — <73 как на диамет­рах. Таким образом может быть построено три круга Мора.Поскольку знак т не оговаривают, обычно ограничиваются по­строением только верхней половины круга (рис.

7.15)*.Для площадок,параллельныхоси хДля площадок,параллельныхДля площадок,параллельныхоси zРис. 7.15Каждой точке любой окружности соответствует опреде­ленная секущая площадка в соответствующем семействе. По­нятно, однако, что точки, расположенные на трех кругах, неисчерпывают всего множества секущих площадок. Площадки,не параллельные ни одной из главных осей, не вписываются врассматриваемую схему.Можно показать, что секущим площадкам соответству­ют на плоскости а, г точки, лежащие внутри заштрихован­ного криволинейного треугольника BCD^ образованного тре­мя совмещенными кругами Мора (рис.

7.16). Имеются такжеРис. 7.16317и методы определения напряжений в соответствующих пло­щадках.Поскольку ни одна из точек не выходит за пределы за­штрихованного криволинейного треугольника, наибольшее ка­сательное напряжение равно радиусу наибольшего круга_ <Т1 - <73ттах —2Это напряжение возникает в площадке, равнонаклоненной кглавным площадкам, на которых действуют максимальное иминимальное из главных напряжений, что уже было устано­влено ранее (см. выражение (7.14)).Круговая диаграмма может быть построена не только, ко­гда заданы главные напряжения.

Достаточно знать напряже­ния в двух любых площадках из рассматриваемого семействаплощадок, параллельных главной оси. Положим, например,задано напряженное состояние, показанное на рис. 7.17, а. Осьу является главной. Среди семейства ей параллельных площа­док есть две, в которых напряжения известны. Это площад­ки I и II. Следовательно, на круговой диаграмме могут бытьРис. 7.17найдены две соответствующие им точки.

Эти точки должнырасполагаться на противоположных концах одного диаметра,так как угол между площадками равен 90°, а на круговой диа­грамме он удваивается. Однако, поскольку знак напряженийт не оговаривали, ординаты обеих точек откладываем вверх.На форме круговой диаграммы это не скажется (рис. 7.17, б).318Из круговой диаграммы легко определить главные напря­жения:г"-*огде R - радиус круга, R =Таким образом,После того как напряжения ст' и ст" найдены, их сопоста­вляют с Сту, и все главные напряжения переименовывают наСт1, Ст2 и стз в порядке убывания.Пример 7.4. Определить главные напряжения для напряжен­ного состояния, показанного на рис. 7.18.

Напряжения заданы в условныхединицах.Рис. 7.18В предложенном примере одна из главных площадок и одно из глав­ных напряжений заданы. Следовательно, не прибегая к решению куби­ческого уравнения (7.8), можно остальные главные напряжения опреде­лить из круга Мора для семейства площадок, параллельных оси х (см.рис.

7.18).Наносим на диаграмму точки, соответствующие площадкам I и II, истроим круговую диаграмму:а = 20 - х/зО2 + 302 = -16;а" = 20 + \/202 + 302 = 56.Следовательно,ctj= 56, ст = 50, Стз = —16.319При определении главных напряжении можно было бы пользоватьсятакже формулами (7.16). При этом необходимо особое внимание обращатьна то, чтобы не ошибаться в индексации напряжении по осям. Рассмотримеще один пример.Пример 7.5. Определить главные напряжения в случае напряжен*кого состояния, показанного на рис. 7.19.

Напряжения даны в условныхединицах.Напряженное состояние - плоское.Площадка Л является главной.Дведругие находятся в семействе площа­док, перпендикулярных первой. С тем,чтобы воспользоваться непосредствен*но формулами (7.16), направим ось уперпендикулярно главной площадке (см.рис. 7.19). Тогда= —30, <гх = 50,г = 30. По формулам (7.16) находимо7 = —40, а" = 60. Переименовывая на­пряжения в порядке убывания, получаемРис. 7.19tri = 60, сгз = 0, егз = —40.7.5.

Обзор различных типовнапряженных состоянийПри исследовании вопросов прочности при сложном на­пряженном состоянии существенное значение имеет вид на­пряженного состояния. Большинство материалов по-разномуразрушается в зависимости от того, являются ли напряжениярастягивающими или сжимающими. Как показывает опыт,все материалы без исключения способны воспринимать весь­ма большие напряжения в условиях всестороннего сжатия, в товремя как при одноосном растяжении разрушение наступаетпри сравнительно низких напряжениях. Имеются напряжен­ные состояния, при которых разрушение происходит хрупко,без образования пластических деформаций, а есть такие, прикоторых тот же материал способен пластически деформиро­ваться.В связи со сказанным очевидна необходимость более по­дробно остановиться на типовых признаках напряженных со­стояний и проследить, в каких условиях возникает то или иное320состояние.

На основе такого обзора в дальнейшем проще бу­дет ориентироваться в вопросах прочности и легче дать оцен­ку степени опасности напряженного состояния для материа­ла. Выше было произведено деление напряженных состоянийна трехосное, двухосное и одноосное. При решении вопросовпрочности, однако, такая классификация не является достаточ­ной и принято делить напряженные состояния на три класса взависимости от знака главных напряжений.Рис. 7.20К первому классу относят трехосные растяжения^ т.е.такие напряженные состояния, в которых ни одно из глав­ных напряжений не является сжимающим. Круговые диаграм­мы для этого класса напряженных состояний располагаютсяв правой части плоскости аОт, (рис. 7.20).

В частном слу­чае все три главных растягивающих напряжения могут бытьравными; такое напряженное состояние называется чистымтрехосным растяжением. Оно возникает, например, в цен­тральной части сплошного шара, быстро нагреваемого извне(рис. 7.21, а). Расширение внешних нагретых слоев приводитк тому, что внутренняя ненагретая область шара оказываетсяпод воздействием всестороннего “растягивающего давления”.Круговые диаграммы при чистом трехосном растяжении вы­рождаются в точку (см.

рис. 7.21, а). Трехосное растяжение,при котором два главных напряжения равны, но отличны оттретьего, возникает в точках, лежащих на оси растянутогообразца, имеющего кольцевую выточку (рис. 7.21, б). Весьмачасто встречается напряженное состояние, в котором= 0,т.е. двухосное растяжение, также относящееся к рассматрива­емому классу. Двухосное растяжение, при котором/ ^2,11 В. И. Феодосьев321Рис- 7.21возникает, например, в быстровращающихся тонких дискахпостоянной толщины (рис.

7.21, в). Равное двухосное растяже­ние (ai = ^2) возникает в точках, расположенных у внешнейповерхности сферического сосуда, нагруженного внутреннимдавлением (рис. 7.21, г). К рассматриваемому классу напря­женных состояний относится, наконец, и простое одноосное322растяжение, возникающее в однородном стержне при его ра­стяжении или чистом изгибе (рис. 7.21, J).Второй распространенный класс составляют такие напря­женные состояния, в которых ии одно из главных напряженийне является растягивающим. Это - так называемые трехос­ные сжатия.

Для напряженных состояний этого класса кру­говые диаграммы располагаются в левой части плоскости аОт(рис. 7.22).Рис. 7.22Чистое трехосное сжатие возникает в любом теле, незави­симо от его формы, при всестороннем гидростатическом дав­лении (рис. 7.23, а). Неравномерное трехосное сжатие харак­терно для точек, расположенных в окрестности контактирую­щих тел, таких как, например, ролики и обоймы подшипников,втулки и валы (рис. 7.23,6). Пример возникновения двухосно­го сжатия показан на рис. 7.23, в. Двухосное равное сжатие(ст2 = оз) возникает при нагружении давлением вала, имею­щего свободные торцы (рис. 7.23, г).

Одноосное сжатие такжеотносится к рассматриваемому классу напряженных состоя­ний и возникает, в частности, при чистом изгибе и сжатииоднородного стержня (рис. 7.23, д).К третьему классу относятся так называемые смешанныенапряженные состояния^ в которых наибольшее и наименьшееиз главных напряжений имеют разные знаки. Напряжение а2может быть как положительным, так и отрицательным. Кру­говые диаграммы напряженных состоянии этого класса распо­лагаются в средней части плоскости аОт (рис. 7.24). Смешан­ное трехосное напряженное состояние возникает, например,11*323Рис. 7.23при нагружении толстостенного цилиндра внутренним давле­нием (рис. 7.25, а). Для изгибаемого и одновременно закру­чиваемого стержня характерно возникновение двухосного сме­шанного напряженного состояния (рис.

7.25, б). Чистый сдвиг324Рис. 7.24S6Рис. 7.25также представляет собой смешанное двухосное напряженноесостояние (рис. 7.25, в).7.6. Деформированное состояниеИзменение формы тела связано с перемещениями его то­чек. Расстояние между положением некоторой точки А до ипосле изменения формы тела (рис. 7.26) называется ее полнымперемещением. Составляющие вектора полного перемещенияпо осям ж, у и z обозначаются соответственно через u, v и w.325Рассмотрим элементарныйотрезок АВЧ направление которо­го совпадает с направлением осих (рис. 7.27, а). Расстояние меж­ду точками А и В обозначим че­рез dx. Составляющие вектора пе­ремещения в точке В отличаютсяот составляющих в точке А на ве­личины, соответствующие изме­нению координаты х.

Так, еслиточка А перемещается вдоль осиz на w, то точка В перемещаетсяРис. 7.26dw ,на w + -г— dz и т.д.Рис. 7.27диПриращение длины отрезка АВ составляетdx. Следо­вательно, относительное удлинение в точке А по оси х будетди.€х = —. Аналогичнодхdvdw= —; £г = —.дуdzУгол поворота отрезка АВ в плоскости xOz равен отно­шению разности перемещений точек В и А вдоль оси z к длине-отрезка ах, т.е. 71 = —. Угол поворота отрезка АС в плосахдикости xOz (рис. 7.27,6) равен 72 =Сумма углов 71 и 72UZпредставляет собой изменение прямого угла ВАС, т.е. уголсдвига в плоскости326xOz ъх =owдидхdz.— + —.

Аналогично могутбыть написаны выражения для углов сдвига в двух другихкоординатных плоскостях.В итоге имеем следующую связь между перемещениями идеформациями в точке:_ ди_ ди_ dw£х ~дё£у~ ы£t ~ аг_ dv dwdw du_ du dv',vt~d^+ ~dy ’ 7** ~ Th + Th' ~dy**7+ dx'Совокупность деформаций, возникающих по различнымосям и в различных плоскостях, проходIX через данную точ­ку, носит название деформированного состояния в точке, аех> £у, Ex, 7yzi 7zx и 7xy называются компонентами деформи­рованного состояния.Возникает естественный вопрос, достаточно ли этих ше­сти компонент, чтобы определить деформированное состояние,т.е.

можно ли по этим шести компонентам найти удлинениепо любой оси и углы сдвига в любых плоскостях, проходящихчерез данную точку?На этот вопрос можно ответить утвердительно. Рассмо­трим некоторую ось 1/, проходящую через заданную точку(рис. 7.28, а). Направляющие косинусы прямой и будут /, тп, п.Выделим на этой прямой малый отрезок О А = dL и построимна нем, как на диагонали, параллелепипед со сторонами dx, dy,dz (рис. 7.28, б).Рис. 7.28Если параллелепипед получает удлинение £с, точка А сме­щается вдоль оси х на ех dx, а диагональ О А получает абсо­лютное удлинение AdZ = exldx. Относительное удлинениедиагонали получим, разделив это произведение на dL = dx/l.327В итоге обнаруживаем, что удлинение ех вносит в удлинениеслагаемое ех/2.

Аналогичные слагаемые дают удлиненияЕу и е2. Теперь положим, что нижняя грань параллелепи­педа dx dy остается на месте, а верхняя вследствие сдвига вплоскости xOz получает вдоль оси х перемещение ухх^2* Этоудлиняет диагональ dL на у2Х dz 1\ делим это произведение наdL = dz/n и видим, что сдвиг *f zx приводит к увеличению €уна 72Хп/. Остальные слагаемые можно написать по аналогии.Суммируя их, получаем£*/ = €х12 + Еут2 + £хп2 + yyzmn + yzxnl + yXylm.(7.17)Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости,определяемой двумя взаимно перпендикулярными прямыми ри д (см. рис.

Характеристики

Список файлов книги