Феодосьев В.И (823545), страница 42
Текст из файла (страница 42)
7.28, б). Для этого надо найти перемещение точки А по направлению д и разделить его на dL. Это дает уголповорота отрезка dL в плоскости 2/д. Затем все то же самоепроделываем для отрезка, расположенного по оси д. Сумманайденных углов дает искомый угол сдвига в плоскости i/Од.Но этих выкладок мы уже делать не будем. Главное ясно.
Деформированное состояние в точке определяется шестью компонентами.Теперь вернемся к выражению (7.17) и сравним его с найденным ранее для напряжения ау выражением (7.4). Эти соотношения имеют общую структуру, и все, что было полученоранее из выражения (7.4), можно получить и из (7.17). Достаточно только во всех формулах заменить ах,az на £х, £у,£г, а 2тух, 2тхх, 2тху _ на 7ух, 7ХХ, 7ху*Таким образом, анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогичными свойствам напряженного состояния. Среди множестваосей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системекоторых угловые деформации отсутствуют.
Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе - главными деформациями.Главные деформации определяются из кубического уравненияJ%e — J3 — О,328коэффициентами которого являются инварианты деформированного состояния:<71 =ех +tH**Дсчэ>1г -нII1СЧ тН 1СЧH»-1— 1СЧнw(7.18)«NNг-1СЧечнн1Из сопоставления этих выражений с соотношениями (7.8)и (7.9) видно, что аналогом нормального напряжения здесьявляется линейная деформация, а аналогом касательного напряжения - половина угла сдвига в соответствующей плоскости. Продолжая эту аналогию, можно, подобно кругам Мора внапряжениях, построить круги Мора в деформациях.Анализ деформированного состояния основан на чистогеометрических соотношениях, и поэтому все сказанное остается справедливым для любого однородного тела, независимоот механических свойств материала.Наряду с линейной и угловой деформациями в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда объемнуюдеформацию^ т.е.
относительное изменение объема в точке.Линейные размеры элементарного параллелепипеда dx, dy иdz в результате деформации меняются и становятся равнымиdx (1 + £х), dy(l +и dz(l + £г). Абсолютное приращениеобъема определяется, очевидно, разностьюДV = dx dydz(l + £х) (1 + €у) (1 + £2) - dx dydz.Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций как величинами, малыми по сравнению с их первыми степенями, получаемДУ =dx dy dz (et+ ey+329Относительное изменение объема, обозначается буквой е иравно сумме линейных деформаций по трем осям:ДУе —---- — £х + £ v + £z*(7.19)vС поворотом осей относительное изменение объема е в точке, очевидно, не меняется.
Это - один из инвариантов деформированного состояния (см. формулу (7.18)).7.7. Обобщенный закон Гукаи потенциальная энергия деформациив общем случае напряженного состоянияДо сих пор напряженное и деформированное состояниярассматривали независимо одно от другого и не связывали сосвойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного - сдругой, существует определенная зависимость.
В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носитназвание обобщенного закона Гука. Наиболее простую формуобобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. Вэтом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке.Для того чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, воспользуемся принципом независимостидействия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие награнях элементарного параллелепипеда (рис.
7.29).330Рве. 7.29В любой из координатных плоскостей, например yOz,угловая деформация определяется только соответствующимкасательным напряжением 7уж = ryt/G. Две другие пары касательных напряжений, а также нормальные напряжения небудут влиять на 7уж, что является следствием свойств изотропного материала.Сказанному можно дать следующее объяснение. Допустим, что на гранях элемента возникают только касательныенапряжения тху = тух (рис.
7.30, а). Спрашивается, можетли при этом появиться угловая деформация yyz в плоскости,перпендикулярной плоскости действия касательных напряжений тху?Рис. 7.30Если эта деформация возникает, то указать ее знак дляизотропного материала невозможно, поскольку “предпочтительность” того или иного направления для тху не обнаруживается, а в свойствах материала она отсутствует. Положим,например, что сдвиг происходит в направлении, указанном нарис. 7.30, а.
Тогда, поворачивая элемент на 180° относительнооси z, получаем точно ту же систему сил тху и противоположный знак 7гу (рис. 7.30, б). Ясно, что указанное противоречие устраняется только в том случае, если уух = 0. Следовательно, принимая принцип независимости действия сил, можносказать, что угловая деформация уух от тху не зависит. Аналогичным образом доказывается, что она не зависит от всехпрочих компонент напряженного состояния, кроме ту2.
Дляанизотропного материала приведенные соображения не имеют331силы. В итоге для трех угловых деформаций получаем7ух = “тг!7zx = “Tri7ху = “7Г*(7.20)Из этих выражений видно, что для изотропного тела главныеоси напряженного и деформированного состояний совпадают,поскольку одновременно с касательными напряжениями обращаются в нуль и угловые деформации.Подобно тому как угловые деформации не зависят от нормальных напряжений, линейные деформации не зависят откасательных напряжений. Это может быть довольно простопоказано при помощи приведенных выше рассуждений. Кроме того, это следует также и из теоремы взаимности работ(см. § 5.6).
Если нормальные напряжения не вызывают сдвига, на котором касательные силы могли бы совершить работу,то касательные напряжения не вызывают линейных смещений,на которых могли бы совершить работу нормальные силы.Относительное удлинение в направлении оси х, обусловленное напряжениемравно ах/Е. Напряжениям оу и ozсоответствуют удлинения по оси х обратного знака, равные—роу/Е hl —poz/E. Следовательно,Oz£хOzОу~Ё~^~Ё~^Ё'Такие же выражения получаем по аналогии и для еу и ez.В итоге£х ~ Ё£уД= 4 к» -/(**£г = -р++ *«)]»(7-21)- Д(стг +ст1/)]-Сложив левые и правые части этих равенств, получим выражение объемной деформации (7.19) в виде€ =1 - 2п ,~Ёах +(7.22)Полученные соотношения (7.20) - (7.22) являются аналитическим выражением обобщенного закона Гука для изотропного тела.332Выражение объемной деформации (7.22) позволяет установить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала.
Оно справедливо для любого напряженного состояния и применимо, в частности, приах — а у = а 2 = р. В этом случаеn 1 -2/zе = 3 —Р-При положительном р изменение объема е должно бытьтакже положительным, а при отрицательном р - отрицательным. Это возможно только в том случае, если /х < 1/2.
Следовательно, значение коэффициента Пуассона для изотропногоматериала не может превышать 0,5.Полученный вывод, несмотря на то, что он вытекает изчастного случая напряженного состояния, является общим, поскольку /z, является характеристикой материала и в пределахупругих деформаций от напряженного состояния не зависит.Перейдем к определению потенциальной энергии деформации в общем случае напряженного состояния. Очевидно,потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме,определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема. Нормальная силаdydz (см.
рис. 7.29) наперемещении €х dx совершает работу. Эта работа равна1. .- ах dydz • ех dxrгде ех - относительное удлинение вдоль оси я, вызванное всемидействующими силами.Аналогичные выражения работ дают и остальные нормальные составляющие. Касательная сила ry2 dy dx на перемещенииdz совершает работу12Tyz dy dx■ 7yzdz(см.
также § 2.1). Выражения для остальных слагаемых внутренней энергии получаем простой перестановкой индексов. Витоге имеемdU = | dx dy dz (ax£x + ay£y ++ ryxyyx + rIxyxx + Tty7iy).333Если энергию отнести, как это обычно делают, к единицеобъема и, кроме того, по формулам (7.20) и (7.21) выразитьдеформации через напряжения, то окончательно получим+ rj£ (Tyz +(7.23)или в главных напряженияхUo =[стf + а\ + <т% - 2д (ст2ст3 + ct3cti + ctict2)].(7.24)Для того чтобы найти потенциальную энергию во всемобъеме деформированного тела, выражение Uq следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объемутела:vВыведем выражения для так называемых энергии изменения формы и энергии изменения объема. Эти выражения потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных спластическими деформациями и предельными напряженнымисостояниями.Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным; в его основе лежитследующий принцип.Каждое из главных напряжений представляют в виде суммы двух величин:СТ1=р + ст;,ст2=р + ст2,стз=р + стз,(7.25)в результате чего напряженное состояние разбивается на два.Первое из них представляет собой всестороннее растяжение,а второе является дополнительным к нему до заданного напряженного состояния (рис.
7.31). Напряжения р подбирают стаким расчетом, чтобы изменение объема в дополнительномнапряженном состоянии отсутствовало, т.е."1“ 673 = 0334Рис. 7.31Складывая выражения (7.25), получаютР = |(а1 + ст2 + аз)-(7.26)При указанном условии система сил первого напряженногосостояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния.
Точно так же и силы второгонапряженного состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, поэтому внутреннюю энергию разбивают на две части, соответствующиедвум напряженным состояниям:Uq = Uqqq + #оф»где t/ооб ~ энергия изменения объема, а £7о ф - энергия изменения формы, или энергия формоизменения.Подставляя в выражение (7.24) вместо всех главных напряжений величину р из (7.26), получают для первого состояния^Ооб =(<П + а2 + ^з)2-(7.27)Энергию формоизменения можно найти, вычитая f/ооб изUq.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
