Феодосьев В.И (823545), страница 50
Текст из файла (страница 50)
9.1), нагруженное так, что внешняя нагрузка являетсяосесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется. Размеры цилиндра могут быть произвольными, и на соотношениемежду внутренним и наружным радиусами цилиндра ограничений накладывать не будем. Длину цилиндра пока также379будем считать произвольной.Вдальнейшем по этому поводу будутсделаны некоторые оговорки. Каждая точка цилиндра при его деформации получит какие-то перемещения. По условиям симметрии этиперемещения, очевидно, будут происходить в радиальных плоскостях.Точка может перемещаться по направлению радиуса и вдоль соответствующей образующей.Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через п. Величина и является функцией текущего радиуса т и не изменяется по длине цилиндра.
За положительноенаправление для г примем направление от оси цилиндра (см.рис. 9.1). Что касается перемещений вдоль оси, то будем считать, что они возникают только как следствие общего удлинения или укорочения цилиндра. Если осевые перемещения существуют, то они распределены так, что поперечные сеченияцилиндра остаются плоскими.Обозначим через ет и et относительные удлинения в цилиндре в радиальном и окружном направлениях и выразим ихчерез перемещение и.ПослеРис. 9.2Для этого рассмотрим элементарный отрезок АВ = Jr,выделенный в радиальном направлении (рис.
9.2), до и посленагружения цилиндра. Точка А получает перемещение и, аточка В - перемещение и + du. Легко установить, что новая380длина элемента будет равна dr + du, а его относительное удлинениеdu(9-1)£r ~ dr'Рассмотрим, далее, длину окружности, проведенной внутрицилиндра до и после его нагружения (рис.
9.3). Длина окружности до нагружения цилиндра равна 2ят. После нагружения радиус увеличится на и и длина окружности будет равна2тг(г + и). Относительное удлинение ее составит2тг (г + и) — 2ят2тггилиEt = и/т.(9-2)Исключая и из равенств (9.1) и (9.2), получаем4; (€tr) - £Г = 0.атОбратимся теперь к уравнениям равновесия.(9.3)нагруженияРис. 9.3Выделим из цилиндра элемент в форме криволинейногошестигранника (рис. 9.4). Длины сторон этого элемента равныdr, dz и т dtp.В осевых сечениях цилиндра (плоскость ABCD элемента) по условиям осевой симметрии касательные напряженияотсутствуют и сохраняются только нормальные напряженияat, называемые окружными.
В поперечных сечениях цилиндра381(поверхность CDEF элемента) касательные напряжения также предполагают равными нулю. Основанием этому служитусловие независимости перемещений и от координаты z. В поперечных сечениях могут существовать нормальные (осевые)напряжения а*, которые возникают как следствие нагруженияцилиндра силами вдоль оси. Эти напряжения предполагаютнеизменными как по оси, так и по радиусу цилиндра.Поскольку площадки ABCD и CDEF являются главными, главной будет также и площадка ADEG. Напряжение наэтой площадке обозначим через аг.
Оно называется радиальным напряжением. При переходе от радиуса г к радиусу r + drнапряжение аг получит приращение dar.В рассматриваемой постановке, как видим, задачу определения напряжений и перемещений в теле вращения можнорешить в функции только одного независимого переменного радиуса г.Проецируя силы, действующие на элемент, на направление радиуса, получаем следующее условие равновесия:(сгг 4- dtrr) (г + dr) dipdz — атт dipdz —drdzdip = О,откудаdaT<Гт + -3—Г dr= о,или— (агт) - at = 0.(9.4)Остальные уравнения равновесия для элемента удовлетворяются тождественно.Согласно обобщенному закону Гука, напряжения бтг,исвязаны с удлинениями £г и следующими соотношениями:£г =+ <’’*)];£t =+(9.5)Будем считать, что напряжениенам известно из условий загружения цилиндра осевыми силами по торцам.Подставим £г и £< в выражение (9.3).
Тогда в дополнениек уравнению равновесия получим(^г) - от = 0.382(9.6)Складывал и вычитая почленно уравнения (9.4) и (9.6), получим два новых уравнения:d— [(а< + ar) г] + ar) = 0;ard— [(at - ar) r] + *(a - ar) = 0.arРешая их, находим2Bat + ar = 2A; at - ar = -y,rxгде А и В - произвольные постоянные.Далее определяемат = А т 4(9.7)tг(верхнему индексу соответствует верхний знак, нижнему нижний).Перемещение и можно найти из выражения (9.2), если £tопределить предварительно по формулам (9.5):и=(9.8)9.2. Определение перемещений и напряженийв толстостенном цилиндреРассмотрим цилиндр с внутренним радиусом а и внешним Ь (рис. 9.5). Для общности будем полагать, что цилиндрнагружен одновременно и внутренним Давлением ра и внешним pj.
В дальнейшем, принимая pj = 0 либо рл = 0, можнобудет проанализировать отдельнослучаи действия только внутреннего и только внешнего давления. При этом надо еще учесть,что если цилиндр имеет днище(рис. 9.6, а), то в нем возникает38SРис. 9.6осевая растягивающая сила, равнаяpeira2 - pjffft2.Осевое напряжение az будет следующим:_ Ра а2 - Р4^2°z'It-а2(9.9)‘Длину цилиндра при этом предполагают достаточно большой для того, чтобы можно было считать, что напряжение а2распределено по поперечному сечению равномерно и что удерживающее влияние днищ на радиальные перемещения цилиндра ничтожно мало.Кроме указанного, рассмотрим случай, когда= 05 как,например, для цилиндра, показанного на рис.
9.6, б.Возвращаясь к формулам (9.7), определяем постоянные Аи В из следующих граничных условий: сгг = — ра при г = а;<тт = —при т = i, т.е.ВВА ^2 — Ра 1’откудал _ раа2 - РъЬ2А ~ b2-a2 ’384_S~а2Ь2_ а2 (РаРь^'В итоге вместо (9.7) и (9.8) получаем_ Ра«2 “ Pit2 «2Ь2 Ра ~ РЪЬ2-а2 ¥ Г2 62 — а2'(9.10)1 - р раа2 - РьЪ21 + р а2Ь2 ра - рь(9.И)ЕЬ2 — а2Ег Ь2 — а2Наличие осевого напряжения crz сказывается только на радиальном перемещении и, В случае, если цилиндр нагруженсилами давления в осевом направлении, то, согласно выражениям (9.9) и (9.11), получаем£j_ 1 - 2р раа2 - рьЬ21 + р а2Ь2 ра -рьЕЬ2 — а2Ег Ь2 — а2Если осевая сила отсутствует, то_ 1 - р Раа2 - рьЬ21 + р а2Ъ2 ра - РъU~ ЕЬ2 -а2 Г + Ег Ь2 — а2'Теперь рассмотрим два частных случая.Цилиндр нагружен внутреннимдавлением.
В этом случае ра = р, р^ = 0. Формула (9.10)принимает видра?стг =(9-14)Ь2 — а2На рис. 9.7 показаны эпюры изменения радиального и окружного напряжений по толщине цилиндра при нагружении внутренним давлением. Окружное напряжение, как и следовалоРис. 9.713 В. И. Феодосьев385ожидать, является растягивающим, а радиальное - сжимающим.
У внутренней поверхностидостигает наибольшегозначения:Ь2 + а2~РЬ2-а2'Радиальное напряжение при этом равно — р.Согласно теории наибольших касательных напряжений (вслучае отсутствия осевой силы, т.е. при аг = 0),^экв —Ь2 + а2~ &3 “ Р ^2 _ а2ИЛИ^экв —Р ^2.'.2р2_ д2 *(9.15)Проследим, как изменяются напряжения аг ипо мереуменьшения толщины цилиндра.
Примем Ь = а + й, где 6 ~толщина цилиндра. Тогда(а + й)2 + а2at (г=а) = Р 6 (2а + 6) 1а2°'(г=а) = Р $(2а + $)'При малом значении йа^(г=а) ~ ^(г=Ь) * РуРадиальное напряжение аг у внутренней поверхности равно-р, а у внешней - нулю, независимо от толщины цилиндра.Таким образом, мы видим, что для цилиндра с малой толщиной стенки окружные напряжения распределены по толщине почти равномерно, а радиальные - малы по сравнению сокружными в той же мере, в какой толщина й мала по сравнению с радиусом.Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшиенапряжения в нем при неизменном давлении уменьшаются, ноне беспредельно. Рассмотрим случай, когда b -* оо, т.е.
когдацилиндр имеет бесконечно большую толщину. Тогда выражение (9.14) принимает вида2= ТР ~~2 •tТ386Рис. 9.8Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщинойстенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному (рис. 9.8), и при отсутствии осевых напряжений все точкинаходятся в состоянии чистого сдвига. Далее, напряжения, каквидим, находятся в обратно пропорциональной зависимости отквадрата радиуса г.
Если принять, например, т = 4а, то вточках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего 1/16 максимальных. Следовательно,когда можно довольствоваться точностью расчетов в пределах5...6 % (практически большая точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр сотношением b/а > 4 можно уже рассматривать как имеющийбесконечно большую толщину стенки. Существенно, что приэтом мы совершенно не связаны с формой внешнего контура.Если все точки внешнего контура удалены от оси внутреннегоотверстия более, чем на 4а, то форма внешнего контура оказывает влияния на распределение напряжений.
Расчет упругихтел, таких, например, как на рис. 9.9, сводится, очевидно, ксхеме цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки.Рис. 9.9Эквивалентное напряжение, согласно выражению (9.15),при Ь —► оо будет равно0ЭКВ “ 2р.387Следовательно, если, например, предел упругости материаларавен 600 МПа, то при бесконечно большой толщине цилиндрадеформации будут упругими при давлении, не превышающем300 МПа. О том, какие возможности имеются для обеспеченияпрочности при более высоких давлениях, мы скажем несколькопозже.Цилиндр нагружен внешним давлением.В этом случае ра = 0, ръ = р. Выражение (9.10) принимает видЭпюры напряжений по толщине цилиндра для этого случаянагружения представлены на рис.
9.10. Наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверхностицилиндра. При отсутствии осевой силып^экв —^3 — 0(I\2Ь2р ^2jJ ’или2b2Это выражение совпадает с тем, которое было получено дляслучая внутреннего давления.Рис. 9.10Если внутреннее отверстие отсутствует, т.е. а = 0, тонапряжения в цилиндре распределены равномерно:аг = ^ = -р.388Пример 9.1. Подобрать размер внешнего диаметра 2b цилиндра,предназначенного для удержания внутреннего давления р = 50 МПа, приусловии двукратного коэффициента запаса. Предел текучести материала(Гт.р = Стт.с = 500 МПа.
Внутрении диаметр задан: 2а = 10 см.Наиболее опасными являются точки, расположенные у внутреннейповерхности цилиндра. Согласно формулам (9.9) и (9.14), получаем<Гг --р;Ь2 + а2- р J2 _ ва;а2°* - р 4а _ да •Очевидно, tri = fft, ад = ffr. Отсюда аЭЖ1 = ai — аз = р26’------ г. Послег — а*подстановки числовых значений находим 2Ь — 2\/б/3 а = 12,9 см.9.3. Определение напряжений в составныхтрубахВыше мы уже показали, что увеличение толщины не может во всех случаях обеспечить необходимой прочности трубы.В пределе при бесконечно большой толщине аэкв = 2р.Если в толстостенном сосуде надо удержать высокое давление, например в 1500 МПа, необходимо, чтобы предел текучести материала был бы по крайней мере в два раза большим,т.е. 3000 МПа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
