Феодосьев В.И (823545), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Рассмотрим задачи, связанные с определением397изгибных напряжений в простейших случаях нагружения пла­стин и тонкостенного цилиндра.10.2. Определение напряжений в симметричныхоболочках по безмоментной теорииРассмотрим симметричную оболочку толщиной h(рис. 10.3). Обозначим через рт радиус кривизны дуги мери­диана ее срединной поверхности, а через pt - второй главныйрадиус, т.е. радиус кривизны нормального сечения, перпенди­кулярного к дуге меридиана. Этот радиус равен отрезку нор­мали, заключенному между срединной поверхностью и осьюсимметрии (см. рис.

10.3, а) Радиусы рт и pt являются в об­щем случае функцией угла 0 между нормалью и осью симмет­рии.SРис. 10.3Двумя парами меридиональных и нормальных коническихсечений (см. рис. 10.3, б) выделим из оболочки элемент, пред­ставленный на рис. 10.4. Будем считать, что на гранях эле­мента возникают напряжения ат и at- Первое будем называтьмеридиональным напряжением. Вектор этого напряжения на­правлен по дуге меридиана.

Второе напряжение at назовемокружным. Напряжения ат и ст/, умноженные на соответству­ющие площади граней элемента, дадут силы amh d&2 и athпоказанные на рис. 10.4. К этому же элементу приложена си­ла нормального давления pds\ds2- Проектируя все силы нанормаль, получимр dsi ds2 —398ds2 d6 — ath ds\ dtp = 0.&MstAdstd6ptfci&id^MsjdmMst+dfdmhdSt)Рис. 10.4Так какPtPmто в итоге имеематPm°t _ РPt(10.1)Это соотношение известно под названием уравнения Лапласа.Для элемента, показанного на рис. 10.4, можно составитьеще одно уравнение, проектируя все силы на направление осиоболочки. Удобнее это делать, од­нако, не для элемента, а для частиоболочки, отсеченной коническимнормальным сечением (рис.

10.5).Обозначив через Р осевуюравнодействующую внешних сил,получимam2Trrh sin в — Р.(10.2)Отсюда легко найти меридиональное напряжение ат. Такимобразом, согласно безмоментной теории, напряжения ат и atв оболочке можно определить из уравнений равновесия.Третье главное напряжение - напряжение надавливаниямежду слоями оболочки - предполагаем малым, и напряжен­ное состояние оболочки считаем двухосным. Действительно,наибольшее значение радиального напряжения по абсолютной399величине равно нормальному давлению р, в то время как ати at, согласно уравнению Лапласа, имеют значения порядкаppm/h И ppt/h.Прежде чем перейти к конкретным примерам расчета сиспользованием безмоментной теории, докажем две следующиетеоремы.Теорема 10.1.

Если на какую-либо поверхность дей­ствует равномерно распределенное давление, то, независимо отформы поверхности, проекция равнодействующей сил давле­ния на заданную ось равна произведению давления р на пло­щадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярнуюк заданной оси.Положим, задана поверх­ность F (рис. 10.6), на ко­торую действует равномер­но распределенное давлениер. Требуется определить про­екцию на ось х равнодейству­ющей сил давления.Этапроекция Рх будет, очевидно,равнаРх = J р cosFгде ср - угол между нормальюлгк поверхности и осью х. Пло­Рис. 10.6щадь проекции элемента dFна плоскость X, перпендикулярную к оси т, равна dF1 == dF cos ср. Следовательно,Рх = р j dF1 — pFf.FТаким образом, для того чтобы определить проекцию рав­нодействующей сил давления на ось х, нужно предварительноспроектировать поверхность на плоскость X, а затем умно­жить давление на площадь этой проекции, что и требовалосьдоказать.400Теорема 10.2.

Если на какую-либо поверхность дей­ствует давление жидкости (рис. 10.7), то вертикальная состав­ляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, располо­женном над поверхностью.Рис. 10.7Вертикальная составляющая сил давления для площадкиdF? согласно теореме 10.1, будет равна произведению давле­ния, действующего на эту площадку, на проекцию площадкина уровень жидкости, т.е.

pdF.*Так как р = 7а:, где 7 плотность жидкости, то вертикальная сила, действующая наплощадку dF, будет ух dF1.Но х dF1 - объем элементарной призмы, расположеннойнад площадкой dF, Суммарная искомая сила будет, следова­тельно, равна весу жидкости в объеме, расположенном над по­верхностью F.Поясняя полученный результат, следует указать, что най­денная сила не зависит от формы сосуда, удерживающего жид­кость.

Так, во всех трех случаях, представленных на рис. 10.8,сила, приходящаяся на дно сосуда, будет одной и той же,Рис. 10.8401равной весу жидкости в объеме вышерасположенного цилинд­ра ABCD>Рассмотрим некоторые примеры определения напряженийв тонкостенных сосудах.Пример 10.1.

Сферическая оболочка радиусом R и толщинойh находится под действием внутреннего давления р (рис. 10.9, а). Опреде­лить напряжения( возникающие в оболочке.Рис. 10.9Для сферической облочки рт = Pt = Я. Из условия полной симмет­рии следует trm = (ц. Согласно формуле Лапласа (lO.l)j имеем___pRНапряженное состояние является двухосным (рис. 10.9, б), поэтомуНаименьшее напряжение стз принимаем равным нулю. По теории Мора,независимо от величины kt(Тэжв — (Г1 — А(Тз —(10.3)Пример 10.2.

Цилиндрический сосуд (рис. 10.10, а) находитсяпод действием внутреннего давления р. Радиус цилиндра Я, толщина А.Определить напряжения.Рис. 10.10402Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра (рис. 10.10, б) и со­ставляем для нее уравнение равновесия (10.2):(7m 2irRh — Р.Осевая составляющая сил давления, независимо от формы днища,согласно теореме 10.1, будет равна Р =Таким образом,pRДля цилиндра рт =находимPt = R- Поэтому из формулы Лапласа (Ю.1)pRт.е. окружное напряжение оказывается вдвое большим меридионального.Элемент ABCD, выделенный из цилиндрической оболочки, находит­ся в двухосном напряженном состоянии (рис. 10.10, б):(71 = (7t;(72 = (7m;(7з = 0.Эквивалентное напряжение<7ЭК1 = (71 - fc(73 =л(10.4)Для цилиндра, как видим, эквивалентное напряжение оказывается вдва раза большим, чем для сферической оболочки того же радиуса и тойже толщины.Пример 10.3.

Полусферический сосуд радиусом R и толщинойh (рис. 10.11, а) заполнен жидкостью, плотность которой 7. ОпределитьНормальным коническим сечением с углом 2ф при вершине отсекаемнижнюю часть сферической оболочки (рис. 10.11, , б) и составляем для нееуравнение равновесия (10.2), где Р - равнодействующая сила давленияжидкости. Согласно теореме 10.2, сила Р равна весу жидкости в объеме,расположенном выше отсеченной части оболочки.403Введем вспомогательный угол ф и определим объем ABCED (см.рис. 10.11, б):V»j 2irR3 sin 0 cos3 040,оилиJ1гЯ3(1 — cos3 ^).Таким образом, находим7(1 - cos3 <р)\Р= IJ(7m =7 Я3 1 — cos3 ipЗАsin3 ip(10.5)Обращаемся теперь к уравнению Лапласа (10.1):Рт = pt = Я;Р — yRcoBip.Подставляя ат, находим из этого уравнения7Я3_1 — cos3 103 cos tp-------г-?-----sin ip(10.6)Согласно выражениям (10.5) и (10.6), строим эпюры ат и o*t, пред­ставленные на рис.

10.12. Как видим, напряжения ат и at в нижнейточке сферы равны. В верхней точке at имеет отрицательное значение.Там, где ат и at будут одного знака, имеем ffi = <тта| аз = at, аз = 0,а3ка —— каз = ат. Там, где ат и at имеют разные знаки, cri = amiаз = 0, (Гз = (7t, (7ЭК* = ат — kat. Эпюра эквивалентного напряжения(см. рис. 10.12) имеет, таким образом, излом в точке, где at меняет знак.Если к > 1/2, расчетное напряжение для сосуда равно(I + *).где по-прежнему к = <тт.р/<тт.с.Рис. 10.12404Наличие в верхней части сосуда напряжений сжатия trt является вданном случае вполне закономерным.Меридиональное напряжение сгт в зоне закрепления является, оче­видно, растягивающим.

Так как давление р здесь мало, то равновесие вы­деленного элемента (рис. 10.13) возможно только при сжимающем окруж­ном напряженииЕсли бы сосуд был закреплен в нижней части, то этоявление не имело бы места, поскольку на верхней кромке ат равнялосьбы нулю.Рис. 10.13Возникновение сжимающих напряжений crt при внутреннем давле­нии свойственно не только сферическому сосуду. Например, в цилиндри­ческом баке, заполненном жидкостью (рис. 10.14), в эоне перехода от ци­линдрической части к днищу также могут возникать при определенныхусловиях сжимающие напряжения. Чтобы оболочка не теряла устойчи­вость, ее необходимо в этом месте укреплять.Пример 10.4. Определить напряжения в торообраэном бал­лоне, нагруженном внутренним давлением р.

Размеры баллона даны нарис. 10.15, а.Выделим сечениями, нормальными к поверхности, часть торообраз­ной оболочки (рис. 10.15, б). Составим для нее уравнение равновесия иопределим ст™:am2irh, (а + R sin ^) sin <р = р% [(а + Asin <р)2 — а2]-,ffrn_ pR 2а Asintp2h а Н- AsinОбращаясь к уравнению Лапласа (10.1), получаем_Рт — л;а + A sin <рPt — ----- ;-------- ■Sin <рПодставляя pmi pt и <гт в уравнение (10.1), находим ст* = рА/2А.405Рис. 10.15Наибольшее напряжение trm возникает во внутренних точках торо­образной оболочки при = — х/2:mix _ P-Д-Д£Гт “ 2А а - R 'Так как напряженияи at имеют общий знак, то_mix _ рЛ 2а — R(10.7)В частном случае( при а = 0, тор обращается в сферу и выражение(10.7) совпадает с выражением (10.3)) полученным для сферы.

При а = оотор обращается в цилиндр. Тогда выражение (10.7) совпадает с выраже­нием (10.4). При а = R периметр внутреннего круга обращается в нуль и= ОО.10.3. Изгиб круглых симметричнонагруженных пластинВыше было рассмотрено растяжение оболочки, не связан­ное с ее изгибом. Теперь рассмотрим случай изгиба, не свя­занного с растяжением. Удобнее всего это сделать на примереизгиба пластин.Теория изгиба пластин представляет собой детально раз­работанный раздел прикладной теории упругости. Ниже мыостановимся только на простейших задачах этого раздела.406Под действием внешних сил, перпендикулярных к средин­ной плоскости, пластина меняет свою кривизну.

Это измене­ние кривизны происходит, как правило, одновременно в двухплоскостях, в результате чего образуется некоторая слабо изо­гнутая поверхность двоякой кривизны, так называемая упру­гая поверхность. Форма упругой поверхности характеризует­ся законом изменения прогибов пластины. При расчете пла­стин считают, что прогиб w существенно меньше толщиныпластины h. Именно в этом предположении можно изгиб пла­стины рассматривать независимо от растяжения. Пластины,удовлетворяющие этому условию, называют иногда тонкимиплитами.Пластины, прогибы которых соизмеримы с толщиной,рассчитывают с учетом растяжения срединной поверхности.Теория изгиба пластин и оболочек основана на некоторыхупрощающих предположениях.

Характеристики

Список файлов книги