Феодосьев В.И (823545), страница 54
Текст из файла (страница 54)
рЯ23,= ё (3 + Д) “П“.ОП- *ГГзНаибольшие прогибы, согласно выражениям (10.22) и (10.24), в первом и втором случаях будут равны соответственнот.ж= PS>64£>’х*т_ 5 4- д рЯ41 -|- д 64РПример 10.6. Определить напряжения и прогибы в дисковойпружине, показанной на рис. 10.23, а.аРис. 10.23Задача, очевидно, сводится к расчетной схеме пластины, нагруженной по контурам распределенными силами интенсивности Р (рис.
10.23, б).Осадка пружины определяется прогибом одной пластины, увеличенным вп раз, где п - число пластин в пружине.Определяем сначала поперечную силу Q. Из условия равновесия центральной части пластины (рис. 10.23, б) имеемQ ■ 21П- = Р;Q=~2хгИз уравнения (10.18) находим$416тР4xD ГIn г —(10.25)Заменив постоянную С\ на С{, перепишем это выражение в следующемвиде;0 = С{г + — --^rln-.(10.26)г4irDаПостоянныеи Сз подбираем из условий, чтобы изгибающий радиальный моментобращался в нуль при г = а и г = Ъ Это дает два уравнения:откударС1(1 + */) = 4гр1.2L_ оа С1 + /*)1п-+1■_ zчс2(1 - д) Теперь подставивРа 2Ь 2 ... 6ft2 _ а2 С1 + м) In -■С[ и Сз в выражения (10.13), получимЭпюры моментов представлены на рис.10.24.имеет место у внутреннего контура. ЗдесьНаибольшее напряжение6Л/4т“0экв —— ----- Г5----- jгдеМ4т“ =2b2Tj----- г (!+<)*tr — а?ПППШПшИШН—’Ъ,In- + 1- да.лШШШПть.Рис.
10.2414 В. И. Фсодосьсв417Интегрируя уравнение (10.26), находим, согласно выражению (10.8),„, г , Рт2 I\ г1\w = C3-Ciy-Caln- + 5;5^n---j.Постоянную Сз определяем из условия, чтобы при г = Ъ перемещение wобращалось в нуль. Тогдаw = С[ ~ (Ъ2 - г2) + Сз In - 4- —(т2 In - - b2 In - +2г8jtD \аа.2JПолагая г = а и подставляя С[ и Сз, находим прогиб одной пластины:Р” 8тгР1(J2 _ e2) +1+£ 2d’62 .
j Ъ2 1 4- /*’1-/1 Ь3-а2 П аДля рассматриваемой пружины эту величину нужно увеличить в п раз.Пример 10.7. Определить прогиб н наибольшие напряжения впластине, нагруженной сосредоточенной силой в центре (рис. 10.25).Как н в предыдущем примере, Q = Р/2тгг.Поэтому выражение (10.26) сохраняет свою силу.
Перепишем его:i? = Cr+ —--4-rln-.1г4xDRВ центре (при г = 0) угол1? = 0. С ледов ате л ьно, пог = 0, постоскольку 1-lim г 1In —Г —*0Лянная Сз = 0. ПостояннуюС{ подбираем так, чтобы функцияобращалась в нуль приг = Я. Это дает С[ = 0. Таким образом,пР1 R1? = -—Г In —.4irDтИзгибающие моменты, согласно выражениям (10.13), будут равны(1 + /1)1П - - 1ГЭпюры, построенные по этим формулам, представлены на рис. 10.25.Как видим, в центре изгибающие моменты обращаются в бесконечность,что является следствием того, что здесь обращается в бесконечность поперечная сила Q. В центре, таким образом, имеет место, как говорят,неустранимая особенность.
В реальных условиях сосредоточенных в точ418ке сил не существует - это лишь схема. Сила действует на небольшуюплощадку (рис. 10.26) в зависимости от размеров которой будут возникатьбольшие нлн меньшие напряжения.Прогиб в центре пластины при сосредоточенной силеимеет конечную величину, исхематизация реальных условий приложения сил не вноситздесь противоречий:Рг3 ДR1\“' = Сз"87п(1п7 + 2>)Так как при г = R прогиб w == 0( тоСзPR216ttZ? 1откудаw—Р8т D1_(R222,In —яВ центреРЯаwm“ ----------- .16xZ>Пример 10.8.
Построить эпюры изгибающих моментов длясплошной пластины, защемленной по контуру и нагруженной силой Р,распределенной по окружности радиусом а (рис. 10.27).Пластину следует рассматривать как состоящую из двух участков.На первом участке Q = 0 и, согласно выражению (10.8), получаемпричем сразу можно сказать, что С? = 0, поскольку в центреТаким образом,di = Ст= 0.(10.27)На втором участкеЗдесь, согласно выражению (10.26),+ —--^rrln-.т14*4icD(10.28)а419Рис. 10.27Постоянные С\, С{ и Съ определяем из условий сопряжения участков.При т = а имеем= <9? и Mr\ —т.е.
углы поворота и изгибающиемоменты на контуре сопряжения участков должны быть одинаковыми.Условие равенства моментов можно переписать в видеНо так как tfi =та, тоТретье условие будет, очевидно, следующим: при г = Ъ угол поворо= 0. Таким образом, получаем три уравнения:РЬ . 64irD П а = 0,Cia = C{a + ^;аиз которых находим1__ 1\2 Ь22J ’12 62 у ’Ра8irDНа первом, центральном, участке пластины изгибающие моменты, согласно выражениям (10.13) и (10.27), равны;420Mr = Mt =1 a22 63~ **-4*= const.На втором участке, учитывая выражение для fa (10.28), получимр Г/h1 «3 \Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 10.27. Если радиус амал, то наибольший изгибающий момент возникает в центральной частипластины.
При больших значениях а наибольший момент имеет место уее контура. По моментам легко подсчитать и напряжения.Таким образом, задача о расчете пластины, имеющей несколькоучастков, не содержит в себе принципиальных трудностей. Однако здесьприходится большей частью производить довольно громоздкие выкладки.10.5. Изгиб прямоугольных пластинЗадача о расчете пластин с прямоугольным очертаниемконтура оказывается значительно более сложной, чем симметричных круглых пластин. Получается это, прежде всего, потому, что прогибы и напряжения несимметричной пластиныопределяются в функции не одного, а двух независимых переменных. Для прямоугольной пластины (рис.
10.28) в качестветаких переменных берут обычно хи у в прямоугольной системе координат. Дифференциальное уравнение некруглой пластины является уравнением в частных производных и решается, как правило, в рядах. Не останавливаясьна этой задаче, приведем тольконекоторые окончательные результаты теории прямоугольных пластин.Если пластина свободно оперта по четырем сторонами находится под действием распределенного давления р, то421наибольший прогиб имеет место при х = у = 0 (см.
рис. 10.28)Wmax =Eh3'где а - коэффициент, зависящий от отношения Ь/а\ а - меньшая сторона пластины.Наибольшие изгибающие моменты Мх и Му, рассчитанные на единицу длины сечения, имеют место в той же точке иравныMxmax = @Ра 2, М™х = 7ра2.Коэффициенты а,/3 и 7 для некоторых значений 6/а при д == 0,3 приведены ниже:1,0а1,21,41,61,82345ооа....... 0,0433 0,0616 0,0770 0,0906 0,1017 0,1106 0,1336 0,1400 0,1416 0,14220....... 0,0479 0,0626 0,0753 0,0862 0,0948 0,1017 0,1189 0,1235 0,1246 0,12507....... 0,0479 0,0501 0,0506 0,0493 0,0479 0,0464 0,0404 0,0384 0,0375 0,0375Если пластина защемлена по четырем краям, то наибольший прогиб имеет место по-прежнему в центре пластины:Wmax=а Р?_1 Eh3Наибольший изгибающий момент возникает по серединамбольших сторон, т.е.
при х = ±а/2 и у = 0:д/max _Коэффициенты qi и= 0,3 приведены ниже:а422для некоторых значений Ь/а при11,251,501,752ОО0,01380,05130,01990,06650,02400,07570,02640,08170,02770,08290,02840,083810.6. Изгиб цилиндрической оболочкипри симметричном нагруженииВыше были рассмотрены случаи растяжения оболочек безизгиба (безмоментная теория) и изгиба пластин без растяжения. Теперь остановимся на более общем случае, когда всечениях оболочки возникают и изгибающие моменты, и нормальные силы.Рассмотрим задачу об определении напряжений в симметрично нагруженном тонкостенном цилиндре.
Ее следует решать при тех же допущениях, что и задачу об изгибе пластин,т.е. принимать гипотезу неизменности нормали и предположение о ненадавливании слоев оболочки один на другой.Круговой тонкостенный цилиндр радиусом R и постоянной толщиной h находится под действием некоторой осесимметричной нагрузки (рис. 10.29). Деформации и напряжения,возникающие в оболочке, также обладают, очевидно, осевойсимметрией, и деформированный цилиндр представляет собойнекоторое тело вращения. Форма этого тела определяется формой изогнутой образующей цилиндра.Обозначим через w радиальное перемещение, а через г?угол наклона касательной к образующей срединной поверхности цилиндра (рис. 10.30). При этомdw—=(10.29)ахПеремещение w будем отсчитывать от оси цилиндра.Относительное удлинение ех отрезка АВ (рис.
10.31), расположенного на расстоянии z от срединной поверхности, складывается из двух составляющих: из удлинения £q срединной423поверхности и удлинения, обусловленного искривлением образующей цилиндра. Последнее слагаемое имеет вид zdti/dx. Полноеудлинение слоя АВ будет= £о + z -j-.(10.30)ахУдлинение в окружном направленииЕУ = w/R.(10.31)•Рис. 10.31Этим удлинениям соответствуют напряжения ах и <ту, связанные с ними законом Гука:или, согласно выражениям (10.30) и (10.31),Е /wdd\T^{Ca+>lR+zdi)'f+_+.di}\w(10.32)В сечениях цилиндра (как осевых, так и поперечных) возникают изгибающие моменты и нормальные силы.
Их определяют через напряженияианалогично тому, как этоделали для круглой пластины.Рассмотрим элемент цилиндрической оболочки с размерами dx и dy (рис. 10.32). Нормальные силы в площадках hdy иhdx, отнесенные к единице дуги сечения, будут+Л/2+А/2<Тх dz;Nx ~—h/2424~&у dz.—Л/2Рис. 10.32Рис. 10.33Определим в этих же сечениях изгибающие моменты4-А/24-Л/2Мх — j axzdz\Му = j Gyzdz.-Л/2-h/2Учитывая выражения (10.29) и (10.32), запишем силы Nx и Ny)моменты Мх и Му в зависимости от перемещения w:Eh/w\жгEhfw\(10.34)Eh312(1 - д2)’Теперь обратимся к уравнениям равновесия.
Снова рассмотрим элемент цилиндрической оболочки с размерами Л, dx,dy и к его граням приложим равнодействующие силы и моменты, которые равны произведению Nx, Ny и МХ1 Му на dyи dx соответственно (рис. 10.33). Кроме четырех перечисленных силовых факторов, прикладываем поперечную силу Qdy.Внешние силы характеризуются давлением р = р(х).При переходе от грани с координатой х к грани с координатой х + dx силы получают приращения. В осевых сеченияхгдеD=425по свойствам симметрии силовые факторы остаются одинаковыми. Проектируя силы на ось цилиндра, получаем первоеуравнение равновесияdNx = 0,Nx = const.Это значит, что осевая сила определяется условиями нагружения цилиндра на торцах. В дальнейшем будем считать этиусловия заданными и силу Nx - известной.Проектируя силы на направление радиуса, получим второе уравнение равновесияdw— Nydx — — dQ dy + pdxdy = 0,илиdQNy(10.35)~dx=P~~R'Наконец, третье уравнение равновесия составим, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно оси, касательной к дуге нормального сечения (на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
