Феодосьев В.И (823545), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Первым из них является предположение о неизменности нормали, или так называемая гипотеза Кирхгофа. Принимается, что точки, расположенныена некоторой прямой, нормальной к срединной поверхности додеформации, после деформации снова образуют прямую, нормальную к деформированной поверхности.
Такое предположение, как и гипотеза плоских сечений стержня, выражает тотфакт, что угловыми деформациям оболочек можно пренебречьпо сравнению с угловыми перемещениями. Это приемлемо втой мере, в какой толщина пластины мала по сравнению с другими ее размерами.Будем, далее, считать, что нормальные напряжения всечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимомалы по сравнению с изгибными напряжениями, т.е. надавливание между слоями пластины отсутствует.
Аналогичноедопущение принимали ранее при выводе формул поперечногоизгиба стержня и при исследовании напряженного состоянияоболочек по безмоментной теории.Перейдем теперь к определению напряжений в круглыхпластинах. Рассмотрим пластину, имеющую постоянную толщину h, нагруженную силами, симметрично расположенными407относительно оси пластины z (рис. 10.16).
Деформации, перемещения и напряжения, возникающие в пластине, будут такжесимметричны относительно оси z.Прогиб пластины обозначим через w, а угол поворота нормали - через 1? (рис. 10.17). Величины w и И являются функциями только радиуса г и связаны между собой очевиднымсоотношениемЛdw(10.8)drЗнак минус берется в соответствии со схемой прогиба, показанной на рис.
10.17. С уменьшением прогиба w угол 1? возрастает. Впрочем, этот знак не является принципиальным иопределяется только направлением прогиба.На рис. 10.18 показано осевое сечение пластины. Точки,расположенные на нормали, после изгиба пластины образуют нормаль AjBp повернутую на угол 1?. Нормаль А^В^повернется на угол fl + dtf.Отрезок CD, расположенный на расстоянии z от срединной поверхности и имеющий радиальное направление, получает удлинениеz (1? + dti) - zti = z dti.Относительное удлинение будет£r~Zdr'(10.9)Относительное удлинение в точке С в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, может быть найдено из408Рис.
10.18Рис. 10.19сравнения длины соответствующей окружности до и после деформации. До изгиба пластины длина окружности, проходящей через точку С, была равна 2тгт, а после изгиба - 2тг (г+ztf).Следовательно, относительное окружное удлинениеа= Z-.т(10.10)Двумя осевыми сечениями, проведенными под углом d<pодно к другому, и двумя цилиндрическими поверхностями срадиусами т и г 4- dr (см. рис. 10.16) выделим из пластиныэлементарную призму, показанную на рис.
10.19. Посколькув сечениях, параллельных срединной плоскости, нормальныенапряжения отсутствуют, связь между удлинениями и напряжениями определяется законом Гука в следующем виде:Если выразить напряжения через деформации, то получим°г — -------- 9 (ёг + М£/);1 — /х2;------- 9 (£t + м£г),1 — /z2(10.11)или, согласно выражениям (10.9) и (10.10),Ez1 - р2409На гранях призмы (см.
рис. 10.19) возможно возникновение не только нормальных, но и касательных напряжений. Изусловий симметрии, очевидно, они могут возникать только наплощадках, перпендикулярных к радиусу г и только в вертикальном направлении.Рассмотрим теперь условия равновесия выделенной призмы. Для этого найдем сначала равнодействующие силы награнях элемента. На грани(см.
рис. 10.19) касательные напряжения дают равнодействующую поперечнуюсилу, направленную по оси 2. Силу, приходящуюся на единицу дуги rdip, обозначим через Q. Поперечная сила на грани AiB^A^B^ будет Qrdip, а на грани А2В2А^В^ будет равна(Q + dQ) (г + dr) dip (рис. 10.20).Поскольку напряжения в верхних и нижних слоях одинаковы, но различны по знаку (см.
формулы (10.12)), нормальные силы на гранях элемента отсутствуют. Нормальные напряжения аг и 07 на соответствующих гранях приводятся кравнодействующим моментам в вертикальных плоскостях.Интенсивность моментов, возникающих на граняхА^ВуА^Ву и А1В1А2В2) т.е. моменты, приходящиеся на единицу длины сечения, обозначим соответственно через Мг иMt- Величины Мг и Mt в дальнейшем будем для сокращенияназывать просто моментами, a Q - поперечной силой.410Зная напряжения ог имоменты на гранях:определяем равнодействующие+A/‘Mt dr = dr J atz dz.+Л/2MTrd<p = rdip J aTzdz\-h/2-h/2Используя выражения (10.12), получимh/2E fdtiMT = 11----- д22 \ 7Гdr—h/2= ~1----2— /jtZД-h/2Но+h/2Л3Z dZ=~&2j-h/2следовательно,Мгdi?i?~T~dr + Д ~r)(10.13)гдеEh3(10.14)Эта величина называется цилиндрической жесткостью пластины (или оболочки).В число сил, приложенных к элементу (см.
рис. 10.20),включена также и внешняя сила pr dip dr. Проектируя все силы, действующие на элемент, на ось симметрии, получим{Q + dQ) (г + dr) dip — Qr dip — pr dip dr = 0,откудаdpr= dr(10.15)411Возьмем сумму моментов всех сил относительно оси у, касательной к дуге круга радиусом г в срединной плоскости:dr(Мт + dMT)(r + dr) dtp - MTr dtp - pr dr dip —-—Mt dr dip + (Q + dQ) (r + dr) dip dr = 0.Пренебрегая величинами высшего порядка и переходя к пределу, имеемMt - 4- (MTr) = Qr.(10.16)drОстальные уравнения равновесия удовлетворяются тождественно вследствие условий симметрии.Подставляя Мг и Mt из выражений (10.13) в уравнение(10.16) и полагая жесткость D постоянной, получимdr2drготкудаd 1 dч(10.17)уdr г drПоследнее преобразование легко проверить простым дифференцированием.После двукратного интегрирования выражения (10.17) находим(10.18)где С} и С*2 - произвольные постоянные интегрирования, которые определяют из граничных условий в каждом конкретномслучае.Поперечная сила Q может быть найдена из уравнения равновесия (10.15).
Впрочем, поперечную силу гораздо удобнееопределять, рассматривая условия равновесия центральной части пластины, выделяемой цилиндрическим сечением, радиускоторого г. Этот способ нахождения поперечной силы будетпоказан ниже на конкретных примерах.После того как функция найдена, с помощью выражений (10.13) определяют изгибающие моменты Мт и Mt, а поформуле (10.8) - прогиб w.412Зная изгибающие моменты, легко найти и напряжения.Сравнивая выражения (10.12) и (10.13), видим, что_ Ez Мт_ Ez Mf°т ~~d"'at“~d"Подставляя выражение для D (10.14), находим12Mr°т~ h? Z;12MtOt~ h3 Z‘Наибольшие напряжения имеют место при z — ±/i/2.
Поэтому„max6МЛ2 ’„ maxа<GMth?(10.19)10.4. Определение напряжений и перемещенийв круглых пластинахПроследим на примерах последовательность применениявыведенных формул.Пример 10.5. Определить прогибы и напряжения в пластине,нагруженной равномерно распределенной нагрузкой р, в двух случаях закрепления пластины: а) при защемлении контура, б) при свободном опирании пластины на контуре (рис. 10.21). Радиус пластины Я, толщина Л.Рис. 10.21Решение задачи начинаем с определения поперечной силы Q. Дляцентральной части пластины радиусом г (см. рис. 10.21), независимо отспособа закрепления на внешнем контуре, уравнение равновесия даетQ • 2лт = ртгг2,или(?=£413Из выражения (10.18) после двукратного интегрирования находимл _ г , , Са _ V?_в_Схт+ r16D-Как в первом, так и во втором случае угол поворота В в центре пластины(при г = 0) должен быть равен нулю. Но это возможно только при С? — 0.Таким образом,рг316D"(10.20)Теперь рассмотрим случаи закрепления раздельно.
В первом случаепри г = R угол в = 0, откудаС' = ?Й'1 = ^’ЛСогласно выражениям (10.13), получаем161Mt''/J(10.21)= £(Я2(1+м)-г2(1+Зд)].10Далее, из выражения (10.8) находимw=Р16Di Я2 г2 + 24где Сз - постоянная) определяемая из условия w = 0. ТогдаС3 = ^Л4;(10.22)w= -P-(R2-r2)2.64D ' 'Пластина, как видим, изгибается по поверхности четвертого порядка.Во втором случае закрепления пластины радиальные напряжения <тг(или момент Л/г) на контуре обращаются в нуль. Следовательно, согласнопервому выражению (10.13), при г = R— = ^ =0drгИз этого условия определяем постоянную Сь Уравнение (10.20) даетг3₽а2 + н (гpR2 V пС1-1бТ + /*1 С1_1бд) -°’откудаpR2 3 + д16D 1 + р’414Р16DR г-т3Согласно выражениям (10.13), определяем изгибающие моменты:Мг = £(3 + д)(Я3-г3);= тт (3 + д) (я3 -г3).\10J т Д(10.23)jВыражение для перемещения имеет видз + д Яаг31+д 2W=-L_16DПостоянную Сэ снова подбираем из условия, чтобы на контуре перемещение w обращалось в нуль:_ Я4 5 + д4 1 + д’следовательно,w=Р / 116D \4 1 + Д2 Нд4(10.24)Согласно выражениям (10.21) (10.23), строим эпюры изгибающих моментов (рис.
10.22).яшшиииHHIHHHflWffl!!вРис. 10.22В случае защемленного контура наибольшие растягивающие напряжения возникают у верхней поверхности вблизи контура. Согласно формулам (10.19),<Т1 = <Тг =2рЯ3 616 fc2’2дрЯ3 6ff2-£r‘16fc2-а эквивалентное напряжение__tr3K> —_ 3 рЯ3(Г\ — К(Уз — —. э .4 ЛВ случае свободно опертого контура наибольшие растягивающие напря415жения возникают в центре у нижней поверхности пластины. Здесь3 + дрЯ26,а1=аа = —----- JJ5-,0-эж. =<Г1<гз=0,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
