Феодосьев В.И (823545), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

10.33 это ось у):Q dydx — dMx dy.откудаdMx(10.36)dxОстальные уравнения равновесия вследствие симметрииудовлетворяются тождественно при любых значениях действу­ющих усилий.Теперь преобразуем полученные уравнения. Из уравне­ний (10.33) исключаем £о, а из (10.35) и (10.36) - поперечнуюсилу Q.

В результате получимEhNy = ^w + pNx}it(10.37)d2MzNydx2 ~PR‘Исключаем из этих уравнений Ny‘.d2MxEh= P~ -тзг w? R2dx2426цNx.R- —Наконец, воспользовавшись первым выражением (10.34),приходим к уравнению относительно одного неизвестного - пе­ремещения w:rf4w ,..4dx4РDPN*RD(10.38)где_ Ih_ _ 12(1 ' R?D ~R?h?’(Как видим, решение рассматриваемой задачи сводится кдифференциальному уравнению (10.38), которое было полу­чено для изгиба стержня на упругом основании (см. § 4.7).Родственность этих задач несомненна. Цилиндрическую обо­лочку можно рассматривать как совокупность совместно из­гибающихся полосок, связанных между собой упругими сила­ми (рис.

10.34). При симметричном нагружении все полоскиизгибаются одинаково, и радиальная составляющая сил Ny вкаждом сечении, как и для стержня на упругом основании, про­порциональна местному прогибу w.Рис. 10.34Если уравнение (10.38) решено и функция w найдена, то поформулам (10.34) определяем моменты Мх и Л^, из уравнения(10.37) - силу Ny, а из (10.36) - поперечную силуd3w(10.40)427Наибольшие напряжения находим по формулам (10.32)при 2 — +h/2 или 2 — -hfaаИсключив отсюда при помощи выражений (10.33) и (10.34)величины (со + /zw/Я), (м£о + w/й), а также drw/dx2 и/2d2w/dz2, находимТаким образом, через перемещение w мы выразили внутренниесилы, а затем и напряжения.Решение уравнения (10.38) имеет видw = e~^x(Ci sin кх 4- С% cos Az)++е+*х(Сз sin кх + С4 cos Az) + w*.(10.42)где w* - частное решение, которое находится в зависимости отзакона изменения р вдоль образующей.Для определения четырех постоянных необходимо задатьчетыре граничных условия и затем решить систему из четырехуравнений.

В большинстве случаев эта система оказывается,как говорят, слабо связанной и распадается на две системыиз двух уравнений. С достаточной степенью точности посто­янные Ci и С2 можно определить независимо от постоянныхСз и С4. Объясняется это тем, что слагаемые, входящие вфункцию (10.42), имеют различный характер. Первое слагае­мое представляет собой быстро затухающую функцию, второе- является функцией быстро возрастающей.Если длина цилиндра I достаточно велика, и функцияe“*x(Ci sin Az + C2C0S Az)при значениях z, близких к /, принимает исчезающе малые зна­чения, то можно считать, что деформация цилиндра в окрест­ности второго торца не зависит от условий в окрестности428первого.

Таким образом, для достаточно длинного цилиндраимеется возможность проанализировать напряженное состоя­ние в области малого х, пренебрегая возрастающей функциейе+*х(Сз sinfcx 4- C^cosfcx), т.е. полагая С3 = С4 = 0. Точнотак же, полагая Ci = С2 — 0 и сохраняя только возрастаю­щее слагаемое, можно проанализировать напряженное состоя­ние цилиндра при значениях х, близких к I.Применение выведенных формул рассмотрим на конкрет­ном примере.Пример 10.9. Длинная цилиндрическая труба, имеющая наконце жесткий фланец, нагружена внутренним давлением р (рис. 10.35).Требуется определить изгибные напряжения в окрестности фланца.Рис. 10.35Будем считать, что осевая растягивающая сила Nx равна нулю.

Таккак давление р от х не зависит, частное решение уравнения (10.38) имеетвидw « = —Р‘—.D*4kПодставим ш* в выражение (10.42):w = e“*r(Ci sin кх 4- Сз cos кх) + е+*х(Сз sinfcz 4- С< cos кх) 4-Л п-4kD*При достаточно большом значении х перемещение w должно быть, оче­видно, величиной постоянной. Этому условию явно противоречит наличиеслагаемогоe+fcl((73 sjn(j4 cosкоторое неограниченно возрастает с ростом х. Из возникающего затруд­нения легко выйти, полагая Сз = С< = 0. Тогдаw = e~* x(Ci sinкх 4- Сз cosfcz) 4-429Постоянные Ci и С? подберем так, чтобы в начале отсчета z, т.е. в местесопряжения цилиндра с жестким фланцем, перемещение w и угол поворотаdw/dx обращались бы в нуль.

Тогда получаемар(sin кх + cos tz)1—еWй = с’ = -;г7гD*4kТак как 4к4 = Eh/(R?D)t тоw[1 Eh Г(sin кх + cos кх)(10.43)График этой функции показан на рис. 10.36.При достаточно большом х функция w принимает видpR2W “ Uh '(10.44)Нетрудно установить, что это не что иное, как увеличение радиуса ци­линдра при свободном растяжении в окружном направлении. В самомделе, при нагружении внутренним давлением в цилиндре, как мы виделив предыдущей главе, возникает окружное напряжение <т< = pR/h. Соот­ветствующее удлинение= pR/(Eh).Чтобы определить увеличение радиуса цилиндра, следует умножитьst на Я, в результате чего приходим к выражению (10.44).На основании выражения (10.43) легко проследить, сколь далековдоль образующей распространяется влияние защемления у фланца.

Еслидовольствоваться точностью в пределах 5 %, то можно сказать, что зо­на влияния простирается примерно до такого значения х, при которомe-ix(sin tz + costs) < 0,05. Сумма sin tz 4-costs не может быть больше\/2. Следовательно, е"* х < 0,035, откудакх > 3,34,430или, согласно выражению (10.39),3,34\/ЯА® 2,7л/ЯЛ.У3(1 - д’)Таким образом, эона влияния краевого защемления распространяет­ся на участок цилиндра длиной 2,1\/Rh. За пределами этой эоны можносчитать, что напряжения с достаточной для практических целей точно­стью соответствуют беэмоментной теории.

Величина \/Rh обычно малапо сравнению с длиной цилиндра, и поэтому иэгибные напряжения но­сят явно выраженный местный характер. Эта особенность распределениянапряжений около контура является общей для оболочек вообще и носитназвание краевого эффекта.Пользуясь формулами (10.34) и (10.43), определим изгибающий мо­мент МхМх = 2DЬп(cos kx — sin fcz),k2еилиЛ/pRhMx = ---- e2^3(1-д’)(cos kx — sin fcz).Эпюра Мх изображена на рис.

10.36. Наибольшее значение изгибающиймомент имеет в заделке:д/mixМхpRh— ---- 7==^=*2/3(1—д2)Поскольку Nx = 0, меридиональное напряжение (rXi согласно форму­ле (10.41), принимает значениеx*mх__ рЛ— "7-------- /3—ru 1 on pR-= ~ 1, ОХ —Г—.А х/3(1 - д’)АИэгибное напряжение в меридиональном направлении оказывается в1,82 раза больше расчетного напряжения по беэмоментной теории. Крае­вой эффект, как видим, приводит к заметному повышению максимальныхнапряжений.

Еще более резкое повышение напряжений имеет место в зонесопряжения оболочек, например, цилиндра, соединенного со сферическимднищем (рис. 10.37, а). Здесь, как показывают подсчеты, при одинаковойтолщине оболочек местное эквивалентное напряжение, __ pR [r.<Гэм.-1,05-^-^.Это напряжение уже по порядку величины больше того, что дает безмоментная теория. С тем, чтобы снизить краевой эффект, в зоне сопряжения431Рис.

10.37делают плавные переходы, как это показано, например, на рис. 10.37, б.В этом случае напряжение изгиба заметно снижается. По подсчетама?" = 0,145Л рчто не дает заметного отличия от напряжении, определенных с использо­ванием беэмоментной теории.Из всего сказанного не следует делать вывод о непримени­мости беэмоментной теории в случаях, когда в оболочке имеет­ся краевой эффект. Выше было указано, что, если в оболочкеотсутствуют резкие переходы или жесткие контурные защем­ления, определение напряжений с использованием безмоментной теории оказывается достаточно точным для всех точек обо­лочки.

Когда же имеются местные защемления, безмоментнаятеория оказывается неприменимой лишь для областей, распо­ложенных в зоне краевого эффекта, и дает опять же вполнеприемлемые результаты для точек общего положения.Не всегда вычисленные выше изгибные напряжения сле­дует рассматривать как расчетные. Дело в том, что эти на­пряжения носят явно выраженный местный характер.

Меж­ду тем известно, что для пластичных материалов резкие пе­ренапряжения в узкой области при статическом нагружениине сказываются существенным образом на несущей способно­сти системы. Так, в рассмотренной цилиндрической трубе взоне сопряжения с фланцем при увеличении давления произо­шло бы местное пластическое обмятие материала, а несущаяспособность трубы не пострадала бы.

Вместе с тем местныенапряжения имеют существенное значение для хрупких мате­риалов, а также в случае изменяющихся во времени нагрузок.Этот вопрос специально будет рассмотрен в гл. 12.432Глава 11ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВКОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ11.1. Отличительные особенности расчетаи схематизация диаграммы растяженияВсе рассмотренные до сих пор вопросы относились к рас­чету элементов конструкций в пределах упругих деформаций.Однако многообразие возникающих на практике задач дале­ко выходит за рамки, очерченные законом Гука, и сплошь ирядом приходится рассматривать вопросы, связанные с пла­стическими деформациями тел. Сюда относятся в основномзадачи исследования некоторых технологических операций, та­ких, например, как навивка пружин или штамповка различныхизделий.

С учетом пластических деформаций рассчитываютсильно напряженные элементы конструкций типа оболочек ра­кетных двигателей и многие другие.При решении подобного рода задач закон Гука теряетсвою силу, и прямая пропорциональность между напряжения­ми и деформациями заменяется некоторой более сложной зави­симостью, определяемой видом диаграммы растяжения. Если433в обычных задачах деформации не превышают величины О А(рис. 11.1), то при расчете с допуском пластических деформа­ций такое ограничение снимается, и величина £ оказываетсясущественно большей.

Вместе с тем она остается по-прежнемупренебрежимо малой по сравне­нию с единицей. В таком случаеговорят, что расчет ведут в пре­делах малых пластических дефор­маций. Понятно, что можно так­же ставить вопрос и о расчетахпри больших пластических дефор­мациях. Такие задачи возникают,например, при анализе кузнечно­прессовых и вытяжных техноло­Рис. 11.1гических операций. Этих вопро­сов, однако, мы касаться не будем,В связи с малостью пластических деформаций к классузадач, рассматриваемых в настоящей главе, полностью при­меним принцип неизменности начальных размеров, и при со­ставлении уравнений равновесия можно считать, что пласти­чески деформированная система мало отличается от недеформированной.Рис. 11.2Что же касается второго основополагающего принципа,т.е.

Характеристики

Список файлов книги