Феодосьев В.И (823545), страница 59
Текст из файла (страница 59)
11.34 заштрихованы. По мере ростаРис. 11.34нагрузки эти зоны расширяются. В качестве предельного можно рассматривать случай, когда в некотором сечении, где имеет место наибольшийизгибающий момент, эти зоны сомкнутся, как это показано пунктиром нарис. 11.34. Все сечение будет охвачено тогда пластической деформацией,459и изгибающий момент в нем достигнет предельного значения Afnp- Какуже было установлено в $ 11.3, для прямоугольного сеченияМпр = | атЬЛ2.Изгибающий момент не может стать больше предельного. Сечение, в котором возник предельный момент, можно уподобить шарниру с постоянныммоментом трения. Такой шарнир носит название пластического шарнира. Очевидно, если в стержне или раме возникнет несколько шарниров,система может стать механизмом.Возвращаясь к рассматриваемому стержню, обнаруживаем, чтоего предельное состояние характеризуется возникновением трех пластических шарниров (рис.
11.35).Изусловия равновесия половины стержня находимРи₽ = ^=£,(11.23)ИЛИРис. 11.35В дополнение к рассмотренному примеру на рис. 11.36 показано несколько статически неопределимых систем и соответствующих им шарнирных механизмов.Рис. 11.36460Для систем, показанных на рис. 11.36, а-г, соответственно имеем•Яр = ЗМ.р//;Рпр = 4Мпр//;РПр = 2Мвр//:9np =<аL±^.с—аРасстояние а подбираем из условия максимума изгибающего моментав шарнирах А.
Полагая, что на расстоянии а от опор поперечная сила Qравна нулю, находима = 1(72-1)-,g»p =(>/2 + I)2.При изменении формы поперечного сечения в полученных выражениях меняется только Л/ПредПример 11.10. Определить Л/пред для круглого и треугольногопоперечных сечений.Рис. 11.37В обоих случаях зона пластичности охватывает все сечение(рис.
11.37), и предельный момент представляет собой момент сил, выражающихся через постоянное напряжение <гт.гт7T(f2m2(iffTd3Для круга MDD = 2ffT —с. 1 ак как с = —. то ЛтПо = ------ .8ЗтгбДля треугольного сечения сначала необходимо найти положение осираздела, т.е, высоту hi. Ее определяют из условия равенства нулю нормальной силы в сечении или равенства площадей верхней растянутой инижней сжатой зон.Предельный момент равен сумме моментов сил в обеих зонах:Л/пр —11.6. Основы теории пластичностиДо сих пор мы имели дело с простейшими видами напряженных состояний.
Мы рассматривали либо одноосное растяжение или сжатие, либо чистый сдвиг. При этом характеристика материала для соответствующего напряженного состоя461ния считалась заданной, и в этих условиях решение задачи невстречало принципиальных трудностей.Если перейти к более сложным задачам, то прежде всеговозникает вопрос, как при других напряженных состоянияхсвязать аналитически напряжения и деформации, а главное,как по результатам испытания образца на растяжение перейтик зависимостям сложного напряженного состояния.В пределах упругих деформаций этот вопрос решить сравнительно просто.При растяжении справедлив закон Гука в простейшейформе:а = Ее.Для сложного напряженного состояния имеем линейныесоотношения обобщенного закона Гука:(11.24)£у =е2 =(ах + сту)],7ху =Условия перехода из упругого состояния в пластическоемогут быть определены по критерию пластичности.
Как мыуже знаем, в настоящее время имеется несколько критериев перехода из упругого состояния в пластическое. Наиболее приемлемыми являются: теория Мора, вытекающая из нее в частном случае гипотеза максимальных касательных напряженийи гипотеза энергии формоизменения. Наиболее удобной для нахождения соотношений пластичности является последняя.
Поэтой гипотезе переход из упругого состояния в пластическоепроисходит тогда, когда величина+6 (^2 + т* х + т2у),(11.25)называемая интенсивностью напряжений^ достигает пределатекучести.462В упругом состоянии интенсивность напряжений а, можетбыть выражена при помощи соотношений (11.24) через деформации. Тогда после преобразований получаем>/2аг = Е —г;------ г X2(1 + д)______* \/(еУ -£г)2 + (£г ~ £х)2 + (£г ~ £у)2 + | Ьуг + 7гт + 7 2 у) •Обозначим£‘ = 2(~1Т/Г)~+~ £х^ +~ £у^++ |(7уг + 7zi + 729)(11-26)и будем называть эту величину интенсивностью деформаций.Для упругого состояния справедливо следующее соотношение:а, = Ее<.(11.27)Это выражение можно рассматривать как одну из формобобщенного закона Гука.Теперь надо решить, как будет выражаться связь между компонентами напряжений и деформаций в пластическомсостоянии. Определение этих соотношений и решение на ихоснове ряда задач механики сплошных сред составляют содержание теории пластичности.Зависимости между компонентами напряжений и деформаций в зоне пластичности должны быть, очевидно, построены так, чтобы при упругих деформациях искомые соотношения переходили в соотношения (11.24).
Но этого мало. Нужно,чтобы из тех же выражений как следствие вытекал принятыйранее критерий пластичности, т.е. в данном случае критерийэнергии формоизменения. Тогда искомые соотношения пластичности будут представлять собой логическое расширениеустановленных ранее закономерностей.Для законов пластичности удобно избрать ту же форму написания, что и для законов упругости. Так, вместо того чтобы463писать а = /(е), где /(е) есть функция, заданная графическидиаграммой растяжения, можно написатьа = £'е,(11.28)где Е1 рассматривается как функция деформации £.
Из диаграммы растяжения (рис. 11.38) видно, что Е* = <т/е. Приупругих деформацияхЕ1 = Е (см. рис. 11.38).Рис. 11.38При переходе к сложному напряженному состоянию весьмазаманчиво выглядит перспектива обобщить таким же образоми соотношение (11.27), принявсц = Е'е^(11.29)где Е1 снова рассматривается как переменная величина, а соотношение (11.29) сохраняется единым для всех видов напряженного состояния.При упругих деформациях выражение (11.29) принимаетвид (11.27). Переход же упругого состояния в пластическоехарактеризуется равенством ст, = стт.Согласно выражению (11.25), мы приходим, таким образом, к гипотезе энергии формоизменения.
Многочисленные эксперименты, поставленные для проверки высказанного предложения, показали, что оно является правильным для весьма широкого класса задач.Таким образом, было установлено, что вид функции(11.29) определяется в основном свойствами материала и почти не зависит от типа напряженного состояния.
Это положение является первым (исходным) положением теории пластичности.464Вторым положением теории пластичности является условие, что изменение объемаС=Ех + Су + £гостается чисто упругим. Это хорошо согласуется с экспериментами. При всех достижимых для современной техники давлениях не удалось с помощью всестороннего сжатия вызвать вматериале пластические деформации.При деформировании материала пластические деформации, как правило, заметно больше упругих. Так как е являетсявеличиной того же порядка, что и упругие удлинения, то обычно принимают, что при пластическом деформировании объемменяется незначительно. Тогда при выводе формул, связывающих компоненты напряжений и деформаций в пластическойзоне, принимают /л = 1/2.Теперь составим искомые соотношения. Прежде всего отметим, что при одноосном растяжении, когда■— (J,£r£,0у = 02 = ту2 — Tzx = Тху =Еу = Ег =7yz = 7гг —Oj'Уху =интенсивность напряженийи интенсивность деформаций£t обращаются соответственно в ст и £.
Значит, выражение(11.29) переходит в (11.28), а это есть аналитическое выражение кривой обычной диаграммы растяжения. Но, согласнопервому положению теории пластичности, зависимость (11.29)едина для всех напряженных состояний. Следовательно, онаничем не отличается от обычной зависимости, задаваемой диаграммой растяжения. Надо только откладывать по осям не сти £, а ст: и(рис. 11.39). Тогдат.е. мы получаем величину переменного модуля.465Теперь аналогично выражениям (11.24) выписываем соотношения пластичности:(11.30)° = 2(ПТ) с учетом того, что р = 1/2, т.е.Приведенные соотношения пластичности не являются совершенно точными и считаются верными по крайней мере длятех видов нагружения, при которых внешние силы в процессенагружения возрастают пропорционально некоторому параметру, например времени.
В этом случае, как можно показать,главные оси напряженного состояния при изменении внешнихсил сохраняют свое направление. Такой вид деформации носит название простой деформации^ а нагружение - простогонагружения.Рассмотрим примеры решения некоторых задач, для которых необходимо применение аппарата теории пластичности.Пример 11.11. Дана диаграмма растяжения а = /(е). Построитьсоответствующую ей диаграмму сдвига т = /(?).Диаграмму сдвига можно получить либо из прямого испытания накручение, либо же перестройкой диаграммы растяжения при помощи соотношений пластичности.Обратимся к формулам (11.25) и (11.26). Для растяжения ст,- = а, а£< = £. При сдвиге, полагая ц = 1/2, находим а, = г\/з\= 7/\/з~. Нозависимость er, = /(е) едина для всех напряженных состояний.
Поэтомузависимости сг = /(е) и т = /(7/^/3”) одинаковы. Перестройка диаграммызаключается, следовательно, в простой замене а на ту/З\ а £ - на 7/\/з~.Чтобы получить диаграмму сдвига, нужно в каждой точке диаграммырастяжения ординату уменьшить в у/З раз, а абсциссу во столько же разувеличить (рис. 11.40).466Рис. 11.40Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
