Феодосьев В.И (823545), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

11.25, а). Осво­божденная лента принимает в дальнейшем форму спирали (рис. 11.25, б).Определить уравнение этой спирали, если свойства материала характери­зуются диаграммой идеальной пластичности.Рис. 11.25При навивке лента изогнута по спирали Архимедаdhт — 2 + 2тгде т и ip - полярные координаты, d - диаметр сердечника, h - толщиналенты (см. рис 11.25, а).Так как толщина ленты h невелика и спираль, следовательно, имеетнебольшой шаг, можно считать, что полярный радиус равен радиусу кри­визны: р » г. Тогда из уравнения (П.13) получаем изгибающий моментпри навивке:М = 1 bfc2<rT - 1 fc43 ЛПодставляя далее М в уравнение (11.17), находимЭто выражение и представляет собой искомое уравнение спирали.452С увеличением угла у остаточная кривизна уменьшается. При не­которомона может оказаться равной нулю.

Это значит, что в этомсечении и на остальном внешнем участке ленты пластические деформа­ции при навивке не образуются, и лента остается прямой.11.4. Кручение стержня круглогопоперечного сечения при наличиипластических деформацийДля исследования деформации стержня в условиях упруго­пластического кручения необходимо располагать диаграммойсдвига материала, т.е. зависимо­стью угла сдвига 7 от напряжения т(рис. 11.26).

Будем считать, что та­кая диаграмма у нас имеется. Онаможет быть получена путем испыта­ния на кручение тонкостенных тру­бок. В дальнейшем мы покажем, чтоэта диаграмма может быть определе­на путем перестройки обычной диа­граммы растяжения а = /(е).Принимая, как и при обычном кручении, гипотезу плоскихсечений, получим7 = рв(11.18)(см. формулу (2.5)). Крутящий момент в сечении равенЯМк = 2тг У тр2 dp.ОВведем в это выражение взамен радиуса р переменное 7 со­гласно (11.18). ТогдаTmaxМк =У т72</7,(11.19)Огде7шах = Лв.(11.20)453Интеграл в выражении(11.19) представляет собой нечто иное, как момент инер­ции криволинейного треуголь­ника О АВ (рис.

11.27, а) отно­сительно оси т. Для заданнойдиаграммы он может быть за­ранее определен как функция7тах (РИС. 11.27, б).Теперь легко по точкам по­строить зависимость удельногоугла закручивания 6 от момен­Рис. 11.27та ЛГК.Задаваясь значением в, определяем, согласно выражению(11.20), 7maxj а затем с помощью графика значение интегра7m ахла ! ту2 dy. Затем по формуле (11.19) находим ЛГК. Такимообразом, мы определили одну точку зависимости в от ЛГК.

По­вторяя эту операцию несколько раз, получаем полную кривую0 = /(Мк). При малых значениях момента, когда кривую7m ахj ту* 1 dy = /(7max)0нельзя построить точно, следует воспользоваться обычной ли­нейной зависимостью в пределах закона Гукав=^ТLj Jp(1121)Все последующие операции по определению закона распре­деления напряжений в поперечном сечении стержня, а также понахождению остаточных напряжений и остаточных углов со­вершенно аналогичны тем, которые были рассмотрены в пре­дыдущем параграфе для изгиба стержня. Поэтому, здесь этиоперации повторять не будем, а проиллюстрируем их на кон­кретном примере.454Пример 11.6.

Витая цилиндрически пружина (рис. 11.28, а) сжи­мается до полной посадки витков (рис. 11.28, 0). Требуется определитьшаг пружины после разгрузки, если до нагрузки ои был равен s = 10 мм.Размеры пружины следующие: D — 20 мм, d = 4 мм. Модуль сдвигаG = 0, 77 • 105 МПа. Диаграмма сдвига материала задана кривой, пока­занной на рис. 11.28, в.Рис. 11.28Осадка пружины на одни виток равна Ai = s — d. Но Ai =гдеI - длина витка, равная irD.

Таким образом,(11.22)s-d= |D0.*Отсюда определяем угол закручиванияпри посадке витков: в = 0,00955 мм"1.Находим, далее, 7mxx =который возникает в проволоке& = 0,0191. Откладываем 7т» на диа­грамме сдвига (см. рис. 11.28, в) и путем разбиения на площадки опреде­ляем момент инерции треугольника ОАВ относительно оси т. В резуль­тате подсчетов получаем7иахj rj d'l = 0,455 • 10-3 МПа.ОПо формуле (11.19) находим крутящий момент2» • 0,455 • 10~3м 0,00955—-------------’= 3280 НммПо формуле (11.21) определяем угол закручивания при упругих де­формациях328——-т— = 0,001070 мм-1.7700» • 44/32455Теперь, согласно выражению (11.22), находим упругую “отдачу”пружины после разгрузкиJe„ - d =202 • 0,00170 = 1,07 мм.Искомый шаг пружины sOCT = 1, 07 + 4 = 5, 07 мм.Для полноты картины определим закон распределения остаточныхнапряжений в поперечном сечении пружины (рис.

11.29, а). Для этого по­строим сначала эпюру напряжений при нагрузке. Согласно выражению(11.18), угол сдвига на расстоянии р от центра круга равен 7 = 0,00955р.Задаваясь несколькими значениями р, по точкам определяем напряжениет и строим эпюру, показанную на рис. 11.29, б. Из нее вычитаем напря­жения, определенные по формуле упругой разгрузки, т = Мр/Jp = 13,0р.мпавРазность между напряжениями нагрузки и разгрузки дает значениеостаточных напряжении (рис. 11.29, <з).11.5. Основы расчета по предельным нагрузкамПри расчетах конструкций на прочность наиболее широкораспространенным является метод расчета по напряжениям.Однако, как уже говорилось, этот метод не является единствен­ным.

В ряде случаев более предпочтительно ведение расчетапо разрушающим или предельным нагрузкам, от которых ра­бочие нагрузки составляют некоторую часть.Отношение предельной нагрузки к рабочей называется ко­эффициентом запаса по предельным нагрузкам. Его назнача­ют, как правило, в зависимости от особенностей проектируе­мой конструкции.На примере рассмотренных в настоящей главе задач мыуже имели возможность познакомиться с понятием предельнойнагрузки.

Так, для системы, состоящей из трех стержней (см.рис. 11.11), она оказалась равной/пред = <ТтР(1 + 2cosa),456а для стержня прямоугольного сечения предельный изгибаю­щий момент^пред = ~Обобщая полученные результаты, следует отметить, чтопод предельной понимается нагрузка, по достижении которойисчерпывается способность системы воспринимать дальней­шее ее возрастание, или нагрузка, при которой возникаютстоль заметные изменения геометрических размеров системы,что последняя перестает удовлетворять своему назначению.Усвоить приемы определения предельных нагрузок прощевсего путем решения конкретных задач.

Рассмотрим несколь­ко примеров.Пример 11.7. Определить разрушающую нагрузку для трех­стержневой системы (рис. 11.30) при условии, что диаграмма растяжениядля стержней имеет участок упрочнения и разрушение происходит принапряжении ст* (см. рис. 11.30).Уравнение упругого участка диаграммы имеет вид а- = Ее, Дляучастка упрочнения а — <гт = D (е — £т).За разрушающую примем ту нагрузку, при которой разорвется сред­ний стержень. Это произойдет тогда, когда удлинение е? станет равно ев.Определим, какое удлинение £i будет иметь при этом каждый из боко­вых стержней: A/i — A^cosa.

Учитывая, что /i = Z/cosy?, получим£1 = £2 COS2 а.Таким образом, к моменту разрыва среднего стержня боковые бу­дут иметь удлинения £i = £в cos2 а.Напряжения при этом будут:в среднем стержне <тв, а в боковых - либо <?i — <гт 4- D(eBcos2a ——£т), если £ft cos2 а > £т, либо же ffi = Еел cos2 at если £в cos2 а << £т •Предельная нагрузка РПрсд = а\Е + 2а\Е сова. Подставляя ctj, нахо­димРдред = ff»F + 2<rTF cos а 4- 2FD (св cos3 а — ст) сова457при £в COSоat > Ет илипред<raF 4- 2Ееа cos3 апри £в COS2 О! < £т .Пример 11.8.Определить предельную нагрузку для систе­мы, показанной на рис. 11.31, а.

Горизонтальный стержень предполага­ется жестким, а вертикальные имеют одинаковое поперечное сечение исделаны из одного и того же материала, диаграмма растяжения которогодана на рис. 11.31, б.аРис. 11.31Если постепенно увеличивать силу Р, то усилия в стержнях будутувеличиваться. При некотором значении силы Р в стержне 1 или же встержнях 3 и 4 напряжение станет равно <гт. Однако эта сила еще не бу­дет предельной. Предельной является та, при которой заметные пласти­ческие деформации возникнут и в стержне 2.

Тогда система превратитсяв механизм и горизонтальный стержень как жесткое целое повернется от­носительно точки А или В (относительно какой - это будет выяснено вдальнейшем).Положим сначала, что предел текучести достигнут в стержнях 1 и 2.Тогда, взяв сумму моментов всех сил относительно точки В (рис. 11.32, а),Рис. 11.32определяем предельную нагрузку. В этом случае2<rxF • 2а 4- атРа = Рпрея - а,458откудаРдред —текучести достигнут в стержнях 2, 3и j.

Определяем сумму моментов относительно точки А (рис. 11.32, 6):Допустим теперь, что предел4(ТтГ • 4а + <ттГа = Рпред - а,Jоткуда3Рпред = 7<ttF(1 4-4 cos а).4Из двух полученных значений Рпред выбираем меньшее. При любых углаха меньшим будет второе значение Рдред.Пример 11.9. Определить предельную нагрузку для стержня, по­казанного на рве. 11.33. Поперечное сечение - прямоугольное. Диаграммарастяжения имеет участок с идеальной пластичностью.Рис. 11.33Для решения задач такого типа следует ввести понятие пластичес­кого шарнира.Рассмотрим процесс распространения зоны пластических деформа­ций в стержне при увеличении нагрузки. Пластические деформации по­явятся сначала в точках, расположенных у верхней и нижней поверхностейв наиболее напряженных сечениях. Зоны пластических деформаций (принекотором значении силы Р) на рис.

Характеристики

Список файлов книги