Феодосьев В.И (823545), страница 60
Текст из файла (страница 60)
11.41Пример 11.12. Определить увеличение диаметра цилиндрического бака (рис. 11.41, л) в зависимости от давления р. Диаграмма растяжения материала задана (рис. 11.41, d); D — 1800 мм, h — 10 мм.Меридиальное и окружное напряжения в стенках цилиндра равны-pDCx — Cm —4ft*4=°pD= 2h-Согласно формулам (11.30),- ei (£t — —c; \1_ ~ Cm2ИЛИ3pDEt —----------- —.8 tr,ftУвеличен ие диаметра3AD =Et-Dei =pD2h 'По формуле (11.25) находимflffg — у Cmу/з pDCmCt + Ct4h 'Построим теперь зависимость AZ) от давления р.
Задаваясь давлением р, вычислим с^ а по диаграмме испытания находим ц. Затем из467выражения (11.31) определяем ДР ипо точкам строим искомую зависимость(рис. 11.42).Полученное решение справедливов пределах небольших ДР, пренебрежимо малых по сравнению с диаметром D.В противном случае в выражениях дляах и ау необходимо было бы учитыватьизменение диаметра.Рис. 11.42Пример 11.13.Для определения силы ударной волны, возникающей при взрыве, часто применяют тонкие свинцовые мембраны(рис. 11.43). Под действием давления мембрана получает остаточный прогиб, по величине которого и судят о силе волны. Требуется определитьзависимость прогиба такой мембраны от давления.Решим задачу приближенно, полагая, что напряжения распределены по толщине мембраны равномерно и что форма изогнутой мембраныблизка к сферической поверхности.
Такое предположение, не сказываясьсильно на количественных результатах, значительно упрощает решение.МемЪранатРис. 11.43Обозначим через р радиус кривизны сферической поверхности, а через аполовину центрального угла сегмента (рис. 11.44). Очевидно,р — а/sin а, или, вследствие малости а, р Rs а/а, где а - радиус мембраны.гтotаа_Прогиб мембраны f = a tg — я; —. Окружное и меридиональноенапряжения в мембране468Vt — &т —pp _ pa^_2h4hf‘(11.32)Наконец, удлинения в мембране можно определить по разности длины дуги АС и хорды АВ‘._ pa — p sin a ~psina(11.33)3 а2'Теперь обратимся к соотношениям пластичности (11.30). Примема2 — 0, а % — amt~Тогда£i f ат — 1- „at—a< \2__ Ei(1£t — — ( at — — amai\2откуда_ 4 а{&т — — —3 £j12/г£Г<43 £<= - —2Подставляя о-т, и at в третье выражение (11.30), находим £:=-(ет +Подставляемех ввыражение интенсивности деформаций (11.26).
То~= е, поэтому с, = 2е, или,ГДа £j — —— x/Em T EmEt TV3согласно выражению (11.33),4 f2J a(11-34)Наконец, выражение a, (11.25) с учетом того, что а2 = 0, а ат = at,приводим к виду=4hf'(11.35)Порядок построения искомой зависимости выглядит следующимобразом. Задаемся прогибом /. По формуле (11.34) находим е<. Далее,по диаграмме растяжения tr, = /(е<) определяем а^, а по формуле (11.35)находим давление р, соответствующее принятому прогибу.
Так по точкамстроим искомую зависимость.Пример 11.14.Отожженную проволоку протягивают черезконическое сужающееся отверстие (фильеру). В результате диаметр проволоки меняется с размера D? на Di (рис. 11.45). Пренебрегая трениеми считая угол конусности малым, определить, во сколько раз при указанной схеме вытяжки можно уменьшить диаметр проволоки. Материалобладает свойством идеальной пластичности.469Рис. 11.46Рис.
11.45Обозначим через D текущий диаметр, а через р - контактное давление и составим уравнение равновесия для элемента проволоки длиной dz(рис. 11.46):(tr + da-) — (D 4* 2ot dz)7 — <r---- 1- pirDa dz = 0,где a - половина угла при вершине конуса. После преобразований получимda4а ,.Л+ *р-( + ₽) = о.Так как материал обладает идеальной пластичностью, то интенсивностьнапряженного состояния ст, постоянна и равна <гт.
Но в данном случае= tr, ах = ау = —р, тХу — Тух — тХх = 0. Поэтому, согласно выражению(11.25), получаем а + Р =а так как D = D\ + 2az, то уравнениеравновесия примет видda __4аатdzDi + 2az'Интегрируя, получима = — 2trT(ln(Di + 2az) — In С].Постоянную С подбираем из условия, что при входе в фильеру, т.е.при D = Б?, напряжение а = 0. Тогда получима = О2erT 1In —■—.Напряжение на вытягиваемом участке<Т1 = о2<тт 1InНо tri не может быть больше ат, иначе этот участок будет продолжатьудлиняться и сужаться, поэтому£>2Г< у/ё — 1,65.Естественно, что упрочнение материала и учет сил трения могут заметно изменить эту оценку.470Глава 12ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ12.1.
Понятие об усталости материаловМногие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени. Например,детали кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания (рис. 12.1) находятся под действием периодически меняющихсясил. Закон их изменения определяется видом индикаторной диаграммы икинематическими особенностями механизма.Ось вагона, вращающаяся вместе с колесами (рис. 12.2), также испытывает циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы остаются неизменными.
ПроисРис. 12.1ходит это в результате того, что471частицы вращающейся оси оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах.Рис. 12.2Для оси вагона на рис. 12.2 показана эпюра изгибающихмоментов. В точке А поперечного сечения (рис. 12.3, а) имеема = My/Jz. Расстояние у от точки А до нейтральной осиD .меняется во времени по закону у — — smut, где и - угловаяскорость вращения колеса. Следовательно,, ч = —PaD.a(t)— smutv 72JZТаким образом, нормальное напряжение в сечениях осименяется по синусоиде с амплитудой (рис.
12.3, б)_ PaD°а ~ 2JX ‘Рис. 12.3Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит.472Число циклов до момента разрушения зависит от <ха и изменяется в весьма широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5... 10 циклов. Этохорошо видно хотя бы на примеремногократного изгиба куска проволоки (рис. 12.4). При меньшихнапряжениях деталь выдерживаетмиллионы и миллиарды циклов, апри еще меньших - способна работать неограниченно долго.После разрушения на поверхности излома детали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны (рис. 12.5 и 12.6).В одной зоне кристаллы можно различать невооруженным глазом с большим трудом.
Микроповерхность излома сглажена.В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения, кристаллы имеют острую огранку и блестящую чистую поверхность.Рис. 12.5473Рис. 12.6В целом создается впечатление, что подобного рода разрушение связано с изменением кристаллической структуры металла. Именно этим и объясняли в свое время разрушение прициклических напряжениях.В настоящее время установлено, что структура металлапри циклических нагрузках не меняется. Разрушению предшествует многократно сменяющаяся прямая и обратная пластическая деформация в наиболее слабых плоскостях наименее удачно расположенных кристаллов. Это приводит к тому,что кристаллическое зерно, сохраняя в основном свою формуи связь с соседними зернами, постепенно разделяется на частиполуразрушенными разрыхленными прослойками, имеющимиопределенную кристаллографическую ориентацию.Из рис.
12.5 видно, что разрушение вала произошло в результате развития трещины, образовавшейся у края сечения.Разрушение рельса (см. рис. 12.6) обусловлено развитием трещины, образовавшейся внутри сечения в зоне местного порока.По характеру излома можно судить о направлении развитиятрещины. Обычно хорошо видны линии торможения (“отдыха”) трещины, связанные как с изменением режима работыдетали, так и с особенностями структуры материала в сечении.474В настоящее время, однако, физические основы теориитвердого тела не находятся еще на такой стадии развития,чтобы на их базе можно было создать методы расчета на выносливость. Поэтому приходится, сохраняя все предпосылкимеханики сплошной среды, идти по пути накопления экспериментальных фактов, из совокупности которых можно былобы выбрать подходящие правила как руководство для расчета.
Объединение и систематика экспериментальных данныхи представляют собой в настоящее время содержание теориисопротивления усталости.12.2. Основные характеристики циклаи предел выносливостиРассмотрим вначале случай одноосного напряженного состояния.йтАААт~г_1----- 1—А—о-■■tРис. 12.7Закон изменения главного напряжения а во времени представлен кривой, показанной на рис. 12.7.Наибольшее инаименьшее напряжения цикла обозначим через crmax и crmin.Их отношение называется коэффициентом асимметрии цикла-.^min°"тахВ случае, когда amax = — amin, Rff = -1, и цикл называется симметричным.
С таким циклом, в частности, мы ужепознакомились, рассматривая пример вращающейся оси вагона. Если crmin = 0 или же атах = 0, цикл называется пульсационным (рис. 12.8). Для пульсационного цикла Rff = 0 илиRff = -оо. Циклы, имеющие одинаковые показатели Ra, называются подобными.475tСимметричныйциклПульсационныеЧ^лыРис. 12.8Любой цикл может быть представлен как результат наложения постоянного напряжения ат на напряжение, меняющееся по симметричному циклу с амплитудой аа (см. рис. 12.7)Очевидно, при этомO'max + Omjn/Т_ — ■ ■■ ■ ■■—*Omax — OminГТ - — --------------------------Процесс образования трещины при переменных напряжениях связан с накоплением пластических деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
