Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

И. Бабенко и И. М. Гельфандом. Он относится к той же упрощенной схеме, которая была использована для исследования спектральной устойчивости. Однако учитывается то, что схема имеет дело с сеточной функцией, определенной при нг = О, 1, ..., М, и стандартные уравнения во внутренних узлах сетки дополнены краевыми условиями.

Практический рецепт таков; нужно исследовать спектральную устойчивость трех задач, вычислить три спектра..Если все 129 спзкгюльный нгизнАк гстойчизости 9 121 три задачи устойчивы, схема оказывается устойчивой (по начальным данным и краевым условиям). Первая задача — зто стандартное исследование спектральной устойчивости. Перейдем ко второй задаче — к анализу разностной схемы на правой полупрямой, т.е. при т = О, 1, 2, ... устойчивость иссЛЕдувтея С ПОМОЩЬЮ тОй жс КОНСтруКцни ОбщЕГО рЕШЕНИя Ььз'"'9, НО теперь, как было указано, кроме р Е 10, 2я1, необходимо учесть р, которые совместимы с левыми краевыми условиями и для которых функции е' 9 не возрастают вправо, Точнее, следует учесть, что т ограничено величиной О(1/Ь), поэтому допустимы значения ~ е'9~ ч 1+ СЬ, где С, естественно, не завясит от Ь, т.е.

ке(гр) к СЬ. Поясним сказанное простым примером. Рассмотрим явную схему для уравнения теплопроводности с краевым условием и л — ~ — ~и" =О, или (! + Ьр)и" — и", =О. Ф ПОдетаяпяя В НЕГО )Ьчв' 9, ПОЛунаЕМ ураВНЕНИЕ дпя дОПОЛНИтЕЛЬНЫХ значений р: е'9= 1+РЬ, р=-.!н (! + РЬ) — фЬ, (1+(3Ь)па= 0(1). Вычислим для Р точку спектра по стандартной формуле: ч 2 ц~)-~;- — ',( ' — 2;- -'Ч=1к —;(~кИ вЂ” г:; — '~г) =!-:-К. Третья задача аналогична второй, только рассматривается разностная задача на левой полупрямой т = О, — 1, — 2, ...

Итак, схема оказалась усгойчивой по краевым условиям, согласно критерию Бабенко — Гельфанда. Связь этой формальной усгойчивости с содержательной, те. с оценкой роста вычислительных погрешностей, составляет существо этой весьма нетривиальной теории, развитие которой (С. К. Годунов, В. С. Рябенький) привело к выделению тонких и нестандартных в классической спектральной теории понятий (спектр семейства разностных операторов и др.). Заметим, что вычислительная устойчивость схемы имеет место как при р > О, когда исходная дифференциальная задача действительно устойчива, так и при В < О, когда она неустойчива.

В последнем случае, если р меньше некоторого рз < О, решение дифференциальной задачи растет, должно, соответственно, расти и решение разиостной задачи, но этот рост не имеет катастрофического характера, его темп от т практически не зависит. Таким образом, следует отличать неустойчивость решения разностного уравнения, являющуюся аппроксимацией неустойчивости решения дифференциальной задачи, от вычислительной неустойчивоз — ~взз 1зо основы вычислвтвльнои млтвмлтики сти разностной схемы, которая является неприемлемым недостатком данной разностной схемы и к дифференциальной задаче отношения не имеет.

Рекомендуем читателю провести численное решение задачи с разными р, а также проверить, что краевое условие и« вЂ” 2и, = 0 вычислительно-неустойчиво. Однако это лишь методический пример, так как он соответствует аппроксимации физического краевого условия с ненормальным значением р = — 2/Ь. Устойчивость и погрешности расчетов.

Итак, мы выделили два основных свойства разностных схем: аппроксимацию н устойчивость, наличие которых по теореме Рябенького — Филиппова обеспечивает точность расчета. Однако не секрет, что часто расчеты дают неверные результаты. Более того, практически каждый достаточно сложный расчет не имеет никаких гарантированных (в математическом смысле) оценок точности.

Даже в тех относительно простых ситуациях, когда имеются оценки точности, ими лучше не пользоваться: они настолько завышены, что могут привести к незаслуженной дискредитации полученных результатов. В сущности, любая теорема о сходимости содержит оценку погрешности вида, например, 0(т«+ пг), и при желании ее можно превратить в реальную оценку типа С,т«+ С Ьг, однако постоянные С,, С столь велики, что авторы подобных теорем о сходимостн предусмотрительно не вычисляют их. (Во всяком случае, автор ни разу не видел, чтобы подобные оценки доводились до числа в том или ином расчете.

Замечательным исключением являются работы К, И. Бабенко и его последователей по так называемым «доказательным вычислениям». Но это тема отдельного обсуждения.) Выше было указано, что установление факта аппроксимации— стандартная элементарная выкладка, ошибиться в ней трудно.

Использование для расчетов схемы, не аппроксимирующей исходную задачу, маловероятно. Напротив, установление устойчивости очень сложно, и, строго говоря, в большинстве случаев прикладные расчеты проводятся по схеме, теоретическая устойчивость которой не установлена.

Можно ли из этого сделать вывод, что причиной ошибочных численных результатов является фактическая неустойчивость алгоритма? Нет. Дело обстоит как раз наоборот; неустойчивость схемы практически никогда не приводит к ошибкам, так как ее последствия носят столь катастрофический характер, что не заметить их невозможно. Часто их «замечает» ЭВМ, сигнализируя об этом «авосчом» из-за выхода чисел в область машинной бесконечности. Нелепость таких результатов столь очевидна, что они не рассматриваются как содержательно ценные.

Реальным источником погрешностей, иногда полностью обесценивающих расчет, является именно погрешность аппроксимации. 6 ~г1 спектРАльный НРизнхк устОЙчиВОсти Легко устанавливается наличие «формальной аппроксимации», т.е. оценка погрешности аппроксимации величиной типа О(т«+ ЬР) в предположении существования у искомого решения такого числа ограниченных производных, которое понадобилось для этой элементарной оценки. В теорему же Рябенького — Филиппова входит «фактическая погрешность аппроксимации», о точном значении которой а рпоп' мало что можно сказать, так как для этого часто не хватает данных о точной характеристике гладкости искомого решения.

Поэтому заранее, на основе теоретических оценок, трудно сказать, достаточно ли мал используемый в расчетах шаг сетки. Доверие к результатам расчетов обычно основано на других неформальных соображениях. Такими средствами контроля являются, например: сопоставление результатов на разных сетках нли результатов, полученных разными методами; сравнение с известными, иногда точными решениями, качественно близкими к найденным численно; сопоставление с данными экспериментов или с результатами расчетов, прошедших тщательный контроль и считающихся Р «эталонными». Проблема контроля численных результатов сложна, большую роль имеют опыт и неформальные знания в той области естествознания, к которой относится расчет.

Лннеаризация схемы и исследование устойчивости. Исследование спектральной устойчивости схемы предполагает переход к некоторой ее модели — к линейному однородному разностному уравнению с постоянными коэффициентами. Построение такой модели требует некоторой аккуратности, иначе можно получить модель другой схемы, а не той, которая нас интересует. Наиболее апробированный путь построения модели — это линеаризация разностной схемы. Речь идет о достаточно простой формальной операции. Пусть Е.,(и,) = Р, — разностная схема на сетке «з». Рассмотрим задачу для малого возмущения Р;.

Другими словами, рассмотрим решение возмущенной задачи, мало отличающейся от исходной. Это возмущение вызвано, например, погрешностями вычисления Р,, т.е. заменой его на Р, + ЬЯП В ЬЯ, можно включить и последствия погрешностей машинной арифметики. Такое возмущенное решение определяется уравнением для й, = и, + Ьи,: Е,(и, + Ьи,) = Я, + ЬГ,. Линсаризуя его (т.е. разлагая входяшие в него выражения в ряд Тейлора с точностью до первого члена), получаем Е,(и,)+Я, ЬИ,=Г,+ЬР;, где Я, — вычисленная на решении и, производная от Ь,. Итак, для Ьи, имеем линейную разностную схему «» Я, Ьи,= Ьг,.

(ч. г гзг ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Производя в ней «замораживание» коэффициентов, перенося краевые условия «в бесконечность» и игнорируя в ЬР, все, кроме возмущений начальных данных, получаем схему, поддающуюся спектральному анализу. Поясним это на простом примере. Пусть решается уравнение тенлопроводности с нелинейным источником В=э'.

~"( ) В~+а(-). Используя явную схему с источником «на верхнем слое»: и+1 л л л и и и -и ~( и+ — и и -и и+! = ь 1<«цг Й х"-цг ь 1+ '2(и» ) хт+цг получаем для Ьи схему + Д„(и~) Ьи~~+'+ хт«цг г хм-цг Полагая х„,+,и, х,'„«нг, Ци(и,"„) равными постоянным а, Б, с соответственно («замораживая» коэффициенты), приходим к следующей схеме для Ьи: Применяя технику вычисления спектра схемы, получаем для Х(р) выражение Х( р) = — 11 — 4 — ' а зшг х + 1 т Ь зш 1-ст ~ «а г Несложный анализ, который мы предоставим провести читателю, показывает, что мы, кажется, эря сгарались с аккуратной линеариэациеи: появляющиеся дополнительные члены (/т/Ь)Ь з!и р и ст определюот малые (порядка О(т)) поправки к величине 1 — (4т/Ьг) з1пг ( р/2), которая получается в более простой модели.

Характеристики

Список файлов книги