Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Оценим ресурсы памяти. На первый взгляд кажется, что требуется (Ф + 1) (М+ 1) ячеек памяти. Но нетрудно видеть, что можно обойтись и 2(М+ 1)-й ячейкой, если заметить, что предшествующие слои больше не понадобятся и могут быть «забыты». Приведем схему счета, в которой используются только два одномерных массива и9(6:М), и1(И:М). Можно обойтись и одним, используя на языке РОКТКАХ оператор Е(41ЛЧА).ЕНСЕ (и6(6), и1(2)). Разумеется, перенос массива и! наместо и9 (см.
схему) в этом случае делается обратным циклом. Обратны внимание на то, что печатаются и просматриваются не все полученные в расчете числа, а только некоторые слои и", соответствующие времени р, 2р, Зр и т.д. Реализация неявной схемы. Здесь мы сталкиваемся с характерной для всех неявных схем проблемой — необходимостью решения так называемых уравнений на верхнем слое.
В самом деле, пусть слой и" известен, Выписывая уравнения для точек (л + 1)-го слоя и перенося неизвестные в левую часть, из (2) — (4) получаем — 'и"+' — 11+ 2 — ') и""+ — ' и"+' =-и" + тУ« (а, + АВ,) и"+' — а,й+' = Аф,'+), (аз+ АИ,) ии+' — азй~", = Ать" 6 1!! ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Реализация явной схемы. Счет по слоям (ч. ! ОСНОВЪ| ВЫИИСЛИТВЛЬНОИ МАТЕМАТИКИ (т = 1, 2, ..., М).
Это уже знакомая нам система уравнений с трех- диагональной матрицей (матрицей Якоби). Она может быть решена методом щюгоики с затратой О(М) операций. Реализация неявной разностной схемы отличается одним новым моментом: стандартный шаг, переход от известного л-го слоя к (и+ 1)-му, требует решения системы (обмчно высокого порядка М Х/й) линейных алгебраических уравнений со специфической матрицей. Для решения используется специальный алгоритм.
Это характерная черта современных методов решения уравнений с частныыи производными. В иих большую роль играют именно неявные схемы (аппроксимация пространственных производных «на верхнем слое»), и в связи с этим возникают проблемы решения «уравнений на верхнем слое». Причины, побуждающие выносить аппроксимацию пространственных производных «на верхний слой» будут обсуждены чуть позже. Обобщения на нелинейные задачи.
Характерной особенностью метода сеток является легкость перехода к гораздо более сложным задачам. Правда, речь идег о формальной операции, и не надо эту легкость понимать саппком уж буквально. Пусть нужно решать гораздо более сложную нелинейную задачу: С(Т, х, И) »1 = 1 И(1, х~ и) +У(1~ х и) с теми же самыми начальными и краевыми условиями. Есть простой способ справляться с нелинейным характером уравнений, аппроксимируя нелинейные зависимости на нижнем слое: л+1 « «л ил -ил — И л А~и»цг ь и -пг — х — +У где сл = С(гл, х, ил), У„",=Лг„, х, и"„), к +х +, и" +и" +, И" +!П-И Тл "2" 2 Все функции, в которые и входит нелинейно, вычисляются по нижнему л-му слою, т.е.
при реализации шага они вычисляются через уже известные зна~ения и" . В этом случае схема решения нелинейного уравнения теплопроводности ничем в сущности не отличаегся от явной схемы решения линейного уравнения. Точно так же можно записать и неявную схему с нелинейностью на нижнем слое: ил+! ил+' и«+! И«+!1 «л Ь И«!+1)2 А И«!-!!г Л ~ + Улл' и счет реализуется так же, как и в линейном случае. З ! ]] ннтвп«!говАннв !тдвнвнна с чАсгнымн пгонзводнымн 105 Итак„переход к нелинейным задачам дочти ничего не стоит. Так ли это? Действительно ли все так просго или есть какие-то скрытые от поверхностного взгляда сложности? Ответ, который можно дать уже здесь, такой: если нелинейный характер уравнений не порождает в решении каких-то особенностей, сложного характера функций, больших градиентов, высокочастотных осцилляцнй и т.п., то, как правило, решение нелинейных уравнений методом конечных разностей немногим сложнее решения линейных.
Таким образом, не нелинейность сама по себе, а связанные с ней возможные нарушения гладкости искомого решения и(г, х) (их может и не быть) осложняют фактическое решение нелинейных задач. Этим разъяснением мы пока и ограничимся. Нелинейные уравнения на верхнем слое. В некоторых ситуациях приходится часть нелинейных зависимостей «выносить на верхний слойм Тогда возникают проблемы решения нелинейных уравнений (с большим числом неизвестных) на верхнем слое.
В этом случае методы типа прогонки комбинируются с итерационными методами решения нелинейных уравнений. Как это делается, покажем на самом простом уравнении, в котором нелинейность входит только в правую часть. Пусть решается стандартная краевая задача для уравнения и, = и„„+ у(и) и по каким-то причинам используется неявная нелинейная схема в"+! — а" ц"«! -Зи«+г~- "+' т ю +1 лю т-! 1 г( « 6! 3й Здесь, как видим, система уравнений для неизвестных и" ' нелинейная.
Решается она методом итераций с линеаризацией по Ньютону. Обозначим 1-е приближение к искомому и« ' через и~']. Рассмотрим стандартную ситуацию: известны и" и и!!>, т.е. ю' итераций проделано. Надо найти и!!+!> (и! = О, 1, ..., М). Линеаризуем выражение /(и]!+г]), т.е. заменим его на у(иЯ> + (и<'+!> — и1о)) ж У(и~'>) + У„(иЯ>) (и<'+!] — и<!1). Теперь для определения ир+О мы имеем уже линейную систему: ив+о-й' «!!+ о — 2иа+ о+ «к+о +'+ У(иг!Э) +У (ии>)ии+Π— / (и!О) О>. (ч,! основы вычислительной митвмитнкн !ов Иногда используют более простую (но менее эффективную и надежную) схему простых итераций (см. в 1), основанную на принципе «нелинейность с предыдущей итерациейь: ив+'! — в" ив+» — Ъи!+!!«ив+о м ' ю ю ! т т+1 + у( (!!) т и! м Эти уравнения по своей структуре не отличаются от обычных уравнений на верхнем слое в неявной схеме.
Существенным фактором, аблетчающим решение нелинейных. уравнений, является навичие хорошего начального приблюкения. В качестве такового естественно взять иф1 = и„", (л! = О, 1, ..., М): за малое время т решение и(1, х) меняется мало, значит, и и" мало отличается от и" +'. Для таких итерационных процессов часто доказываются теоремы о сходимости при достаточно малом шаге т.
Обоснование метода сеток. Как обычно, нам нужно установить факт сходимостн численного решения к точному, т.е, сравнить и" с и(!„, х ) и получить оценку !и,"„— и(т„,х )~ цС(ти+Ьр) Иу пцТ~т, л!КХ/Ь, где С, не зависит от т, Ь и оценка относится к семейству решений, зависящему от шагов т, Ь сетки. Если такая оценка будет получена, будем говорить, что «разностная схема имеет порядок точности Ь по т и р по Ь»., В большинстве случаев в ирактнке решения сложных задач такую оценку получить не удается. Но в любом случае мы должны иметь если не полное обоснование метода, то хотя бы какие-то соображения, грубые оценки. И здесь появляется первое необходимое требование к разностной схеме: она должна аппроксимировать решаемую дифференциальную задачу.
Это минимальное требование. Напомним общую схему исследования аппроксимации. Дифференциальную задачу записываем в операторной форме: ли= р, где т. — оператор, У вЂ” искомая функция, Р— заданная правая часть. Аппроксимирующую задачу (точнее, семейство задач) представим в виде Здесь г — символ сетки (т.е. параметров Ь и т в нашем случае), и,— сеточное решение, Р, — сеточная правая часть, г., — оператор, действующий в пространстве сеточных функций. В 1]] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ]от Если она стремится к нулю (при Л - О, т - О), то говорят, что разностная задача аппраксимирует дифференциальную.
Если установлена оценка [[т],[[ а С(тч+ ЛР), то говорят, что разностиая задача (схема) имеет порядок аппроксимации д по т и р по Л. Обычно устанавливается так называемая формальмая аппроксимация, основанная на предположении такой гладкости решения, какая понадобится при оценке [[т][[. Это операция несложная, но нужна некоторая аккуратность и педантичность в оформлении задач в операторном виде. Итак, сначала надо описать оператор Е; отображающий функцию 1!', определенную иа [О, Х[ х [О, Т[, а аналогичную функцию, притом так, чтобы запись Ш = р включала все, что есть в задаче.
Положим !=И, х~ [И,Х[, Г Е (9, Т[, х Е (9, Х), х=И, г Е (И,Т[, х=х, ге(И,Т[. У(0, х), [1Г! — 1!'„„[(Г, х), [ — а!1l„+ р!1
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
