Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Схема лквадратж Для уравнения переноса и, + и„г' часто используется схема «квадрат» (в теории переноса излучения эта схема получила название «алмазная»): ( +1+ л+! л + л) 1' л+1 + л л+!+«л ) т1 2 2 / л1 2 2 ) и+Вг Опуская несложные выкладки, приведем выражение для спектральной функции: ил) (1+ 'л ~л л)/(' — '!а л) Очевидно, !Л(р)! =1. Таким образом, эта схема безусловно-устойчива. На первый взгляд она неявная, так как в каждое разностное уравнение входят две величины,с верхнего слоя. Однако решение уравнений на верхнем слое в данном случае столь просто выписывается в «явном» виде, что подобные схемы относят к явным. В самом деле для, уравнения переноса и, + и„= / математически корректной является задача с начальными данными и одним краевым условием на левой границе. Пусть для простоты задано (ч.
! основы вычислительной ылтвмлтикв значение и на левой границе: и(г, О) = !р(!), т.е. при переходе со слоя л на слой л + 1 известны величины ил и значение и" +'. В этом случае уравнения верхнего слоя разрешаются явно слева-направо (такие алгоритмы получили название «маршевых»). Из разностного уравнения легко выразить неизвестное и"++!! через известные уже л л л+1. ии им+! И ии «+1 л т !! л+! л «+!гг Л» 1 !» 1 (!л л ) 1 тУ» 1 Заметим, что «маршевый» алгоритм (последовательного вычисления и!+1, и" +', ...) вычислительно-устойчив, так как модуль «коэффициента усилению накопившейся погрешности при переходе и'„'+' к и"",'1! есть ~(т — й)/(!+ Ь) ~ < 1.
Кстати, при попытке решать по этой схеме «неправильную» краевую задачу, когда авданы значения и на правой границе области (т.е. известны ил ), мы легко получим формулу «маршевого» алгоритма, действующего справа-налево, однако в этом случае коэффициент усиления погрешности есть (Й+ г)/(й — т) и такой «марш» вычислительно-неустойчив. Содержательный смысл спехтральной устойчивости. Выясним, что, собственно, следует из спектральной устойчивости или неустойчивости разностной схемы. Покажем, что, если схема спектрально-неустойчива, она непригодна для решения задач„так как погрешности в начальных данных катастрофически нарастают н портят решение до такой степени„что оно становится полностью бессмысленным. Если схема спектрально-устойчива, этого не происходит.
Пусть проведен расчет по какой-то разностной схеме, начиная с начальных данных и", лг Е ( — л, с»), и этот расчет дает решение ил, л = О, ..., Ф. Расчет, начинающийся с начальных данных с малой погрешностью и» = и~ + Ь~, ~!Ь~~~ а з, дает возмущенное решение й". В силу линейности задачи й" = и" + Ь'„', где Ь'* — расчет по той же схеме, начинающийся с Ь~~. Нас интересует величина ! й" — ил ~.
Если она мала, то все в порядке: погрешности в начальных данных приводят х малым последствиям. Рассмотрим погрешности, малые в норме 1г: пг !!Ьо)) ~ (Ьо )г СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ гг1 5 12! Используя теорию дискретного преобразования Фурье, разложим сеточную функцию в интеграл Фурье1 ги ЬО )гс(,р) е1мо а1~р о Здесь с(р) — фурье-образ сеточной функции Ьо. Функция с(р) вы- числяется по формуле с( р) = т ~, Ьо е ' т, где т — нормирующий множитель, для дальнейшего несущественный (у = О(1) ). Важным является равенство Парсеваля 112 2Н 1!2 !!Ьо!! = ~ (Ь )2 = ~ ~с( )!2 ('р ~т о Предположим, что задача решается по разностной схеме со спектральной функцией Х(т, Ь; ~р).
Поскольку функции )1"( р) е1"'Р удовлетворяют разностному уравнению, можно сразу же выписать решение: Ь" = ~ )1'(р) с( р) е1 т 11 р. о Проанализируем зту основную формулу. Пусть схема спектрально-устойчива, т.е. имеет место равномерная по т оценка ~)1( р)! ц 1 + Сс. Тогда 2% Пг !!Ь"!!= ~ !Л"(р) с(рмг 1~ о Далее, ! )10( р) ! ц (1 + Ст)" ц (1 + Ст)тн (при т- О). И наконец, 2 112 11Ьч11,~ ест ~ ! с(р) ~г,У,р ц ест11Ь011 о Таким образом, погрешность в начальных данных в процессе решения может увеличиться не более чем в ест раз; эта оценка остается справедливой, когда т-ьО, а число шагов ж Во, как т!т. Итак, спектральная устойчивость схемы означает непрерывную зависимость решения разностной задачи по начальным данным с оценкой, равномерной по т- О. 1ч,1 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Пусть схема спектрально-неустойчива, т.е.
существует д > 1, не зависящее от т, н ) Ц рр) ! в д при некотором р я [О, 2и1. В силу непрерывности Х(р) существует малая окрестность Ь, в которой ~Х(р) ! в д'>1, р Е Ь. Рассмотрим возмущение Ь", порожденное фурье-образом с(р) = (О при р Ю Ь; е/шез Л при р Е Ь): Ьо = ~ с( р) е '"т <1 р. 0 Очевидно, ~~ь~б = е. Оценим последствия такого возмущения.
Как уже отмечалось, онн имеют внд Ь" =* ~ Х" ( р) с( р) е' т Ы р. а Вычислим норму ИЬ,ВЕ ~ ~)ч(, )1г ~ (, )~з 1 в (о)ъ, ИЬо~~г а Прн достаточно малом т число шагов М становится сколь угодно большим и множитель (и')ги- м прн т-+В, Итак, при расчете по спектральна-неустойчивой схеме сколь угодно малая погрешность в начальных данных приводит (при достаточно малом т) к сколь угодно большим погрешностям в решении. Мы рассмотрели последствия специально сконструированного возмущения начальных данных. Более илн менее очевидно, что почти любое начальное возмущение имеет фурье-образ с(р) ~ О в Ь и такое возмущение тоже будет катастрофически нарастать: чем меньше шаг т, тем сильнее будут сказываться последствия неустойчивосгн, Перейдем к обсуждению спектрального признака устойчивости и практики его применения в реальных ситуациях.
Рассмотрим два вопроса. 1. Мы уже знаем, что устойчивость метода приближенного решения — это, грубо говоря, непрерывная зависимость решения от исходной информации, которой являются функции, входящие в начальные данные, краевые условия и в правую часть уравнения.
Спектральный признак оценивает только устойчивость по начальным данным. В более или менее общем случае из такой устойчивости следует устойчивость по правой части (дело в том, что начальные данные можно трактовать, как правую часть, имеющую характер Ь-функции). Устойчивость по краевым условиям — свойство совсем иного характера, она не связана однозначно с устойчивостью по начальным данным. Краевые условия требуют отдельного, самостоятельного исследования, Теоретические основы такого анализа шз еиект»Альный пгизнАк гстойчивости з 1з) были разработаны И. М.
Гельфандом, К. И. Бабенко. Технически это более сложные исследования. 2, Почему при исследовании устойчивости мы ограничились функциямн Х'е' «для р Е [О, 2я[2 Ведь зта функция будет решением линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами при любом р, в том числе и комплексном, и спектр будет совсем другим. Мы ограничились вещественными р потому, что при комплексных ртзкаяфункцнядля л = О, т.е. е' «, ужесодержитбесконечные [при т — + м) значения. И если такие начальные данные приводят к очень большим решениям Х" е' », тут нет ничего удивительного и этот факт не компрометирует схему.
Другое дело, когда при вещественном р из ограниченных всюду начальных данных получается бесконечно большое решение — это уже дефект разностной схемы. В функции е' «параметр р определен с точностью до 2я, поэтому ограничимся только интервалом [О, 2я[. Кстати, упоминавшийся выше анализ устойчивости по краевын условиям приводит к изучению, например, полуограниченной части осн х (гп > 0).
В этом случае ограниченные начальные данные дают все р, для которых ке г р ж О. Но среди таких р нужно отобрать те, для которых функция е' «удовлетворяет рассматриваемым разностным краевым условиям (однородным). Устойчивость нелинейных разностных схем. Спектральный признак устойчивости используется для анализа самых сложных задач. При этом руководствуются правилом, получившим несколько высокопарное название «принцип замороженных коэффициентов». Имеется в виду следующий рецепт. Все входящие в уравнение коэффициенты, зависящие от г, х и самой искомой функции, полагаются постоянными, и разносгная схема становится линейной с постоянными коэффициентами.
Правые части игнорируются, краевые условия переносятся в бесконечность (в форме требования ограниченности решения) и получается схема, допускающая исследование спектральным методом. Найдем условие устойчивости, в которое входят «замороженные» коэффициенты. Используя «принцип замороженных коэффициентов» и,явную схему, например, для уравнения теплопроводности с(1, х, и) и, = [х(К х, и) и„[„ + /(г, х, и) получаем как обьект исследования разностную схему ««! « х н условие устойчивости Куранта хт и 0.5сиз. Возвращаясь к реальной схеме, нужно решить вопрос: какие же значения с и и следует брать 1ч 1 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ при выборе т? Ответ прост: шаг т должен быть таким, чтобы условие Куранта выполнялось при всех значениях н и с, встречающихся в данном расчете.
Счет с автоматическим выбором шага. Как выбрать т, когда коэффициенты с н н зависят от и, а эта функция с самого начала нам неизвестна? И здесь рецепт прост и очень полезен. Рассмотрим ситуацию стандартного шага: (и") известны, надо вычислить и"+'. Расчет начинается с того, что находится хп„, х, и") О= шах сп„, х, и"! ЗатЕМ ВЫЧНСЛЯЕтСЯ ШаГ Т„тпм ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ ПЕРЕХОД От г„к ~ н = Г + Т»+пз: Т„„! — — 62/2Ь; далее все делается стандартно. В схемах с «нелинейностъю с верхнего слоя» поступают так же, так как и"+' мало отличается от и". В некоторых задачах может оказаться, что одно узкое место определяет слишком малый шаг т, хотя в остальной части условие Куранта допускает гораздо больший.
Это неприятно, и понятен интерес к безусловно-устойчивым схемам, в которых шаг т может выбираться без учета требования вычислительной устойчивости. К сожалению, такими являются лишь неявные схемы, Практика исполъэования спектрального признака. Практика показала, что в большинстве случаев ситуация такая: а) если схема спектрально-неустойчива, она для расчетов заведомо непригодна; нелинейность, переменность коэффициентов и прочие факторы, которые не учитывались прн спектральном анализе, только усугубляют неустойчивость; б) если схема устойчива по спектральному признаку, то это в реальной схеме, конечно, не гарантия, но очень серьезный довод в пользу ее устойчивости; наиболее серьезные коррективы вносят краевые условия.
В целом исследование спектралъного признака позволяет отбрасывать подавляющее большинство неустойчивых схем, осталъные исследуются, в частности, и экспериментально. Наиболее типичной причиной фактической неустойчивости схемы, устойчивой по спектральному признаку, является неустойчивость разиосгной реализации краевых условий. Внешне она проявляется а том, что численное решение оказывается испорченным большими пилообразными возмущениями (В первую очередь около соответствующей границы об- з 1з1 спвкт»Алъный пгизньх гстойчивости ласти). Особенно хорошо это видно на начальной стадии расчета, при больших л это возмущение распространяется на всю область.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
