Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Но мы не знаем з)„знаем только оценку для нее и то, что это есть величина сколь угодно малая, если шаги сеткя достаточно малы. Мы не имеем права утверждать, что из совпадения (с точностью до погрешности аппроксимации) уравнений следует, что и их решения совпадают с точностью до величин порядка погрешности аппроксимации. Это право мы получим, если докажем устойчивость разност ной задачи. Разностная задача называется устойчивой, если из Ьзи, = Г, + в',, следует, что Зи, — иД а С(яв'З+ Зв"З), причем постоянная С не зависит от сетки з (т.е.

от т, Л). Установить устойчивость обычно бывает очень трудно. Но для линейного уравнения теплопроводиости это можно сделать. Устойчивость явной схемы. Рассмотрим уравнение с теми же краевыми условиями и начальными даннымн: —,= — х(г, х) — +у(г, х). ви вГ ди1 9111 интеп'НРОЕАние УРАВнениЯ с члсзиь$ми ИРОизеодными 109 Это есть линейное уравнение с переменнымн козффициентами. Прежде всего заметим, что нужно конкретизировать вид норм. Устойчивость можно устанавливать в разных нормах. Здесь мы используем самую наглядную и надежную: ««2«« =шах «Г(С, х)«, ««и«« =шах «и(С, х)«и тд.

С,к С,к Введем аналогичные нормы для сеточных функций: ««и,«« =шах «и,"„«, ««и"««шах «и" «н т.д. ,л Сл Основой для установления устойчивости является следующая лемма. Лемма 1. Нормы сеточных функций и" и и"+' связаны между собой неравенством Ци" Ц ай!пах (Ци" Ц + т««1'««, ««ср««), ««ср««штах (««ср1ср1««, ««~рзсрз««), если выполнено условие Куранта ««х««тсссзн1/2 (мы ограничимся случаем «31 > О; в случае Ц = О, а = 1 оценки проще). Доказательство. Имеем соотношение +! л лл — «х" лп2(и" +, — и" ) — хл и (и" — и",) «+ ~'", и = — '2х -Сгзи,+ ~ — —,х -!сз — '2н +,сз и + СС Сс Л сл+ 2 лс+ 1 Отсюда следует (так как «и" «и ««и" ««, х > 0) « "+'« — ', х",с «« "««+ — ', 21" +,сз««и"««+ к! лс И + 1 — —,(х",С2+ х" +па) Ци"««+ т«Я.

СС2 Условие Куранта дает важное соотношение ! к л л 1 2 (Хсл-1/2+ Нсл+!/2)1 = 1 — 2 (Хли !я+ ХИЧП2), и мы получаем «ц"„+' «и ««и" ««+ 2«Я, т = 1, 2, ..., М вЂ” 1. Заметим, что ««и"+'««=(либо шах «и" '«, либо «ив+!«, либо «им~1«). сл 1, .... М - ! основы вычнслнткньной млтвмлтнкн ыо В первом случае имеем Ц и"т'Ц И Ци" Ц + тЦу'Ц, Во втором случае используем краевое условие: (а, + лр,)и" ~' = аи",~'+ Ь р,"+', аы Ц, > О. Вели Цил+1Ц [иат![ то [и"т'[ И [ит~'[, (а, + Й[3~) [и$+'[ И а,[и"+'[ + Ь[ р"+'[ т.е. Цй"Ц=[<"'[ [р,""~В[ ЦрЦ. Такую же оценку мы получим и в случае Ц и" "'Ц = [и„"+'[.

Итак, либо Цй+'Ц к Цф), либо Ци"+'Ц и ЦйЦ + тЦД. В любом случае Ци"+1Ц ишак (Ци"Ц + тЦуЦ ЦфЦ) Теперь докажем следующую теорему. Теорема 1. Явная линейная разностная схема при выполнении условия Куранта ЦнЦт/Ьз < 1/2 устойчива по начальным данным, краевым условиям н правым частям. Докаэатлельства Используем лемму 1 рекуррентно, обозначая ради простоты и" ш Ци" Ц, У вЂ” ЦУЦ и т.дл и» ~$ шах (ип — 1+ ту 1р) к и шах (шах [и" з+ ту р[+ ту ~р) = =шах (и" т+2т/, 1р+ ту) и к шах (шах [й '+ т/, та[ + 2ту, р + ту) = =шах (и" з+Эт/, ~у+ 2тУ) < к 1пах (ио+ нт~, ~у+ (л — 1)ту) Так как лт и Т, получаем результат Ци" Ц И Ци'Ц+ ТЦУЦ'+ Ц РЦ. Обозначая ЦттД = ЦиоЦ + ТЦД+ Цф~, запишем оценку в форме ЦиД и ЦттД, т.е.

ЦХ,, 'Ц к 1. Мы установили оценку нормы решения разностной задачи через нормы начальных данных, правых частей и краевых условий. Это еще й !11 интеггиговАние л«внений с чАстными нгоизводными 111 не совсем то, что нужно. Нам нужно установить, что при малых возмущениях начальных данных, правых частей и краевых условий решение изменится соответственно мало. Но это следует из линейности задачи (как известно, ограниченность и непрерывность для линейных операторов — это одно и то же).

Воспроизведем это рассуждение. Если г.,и, = Г„г,,й; = .и, + т!„ то в силу линейности г.,((1, — и,) = т!, из ограниченности г,, ' получаем Цс!', — и«Ц а Цг!,Ц. Таким образом, для линейных разностных задач устойчивость есть равномерная (по всем сеткам) ограниченность обратного оператора. Устойчивость неявной схемы. Покажем, что неявнав схема дает разностную задачу безусловно-устойчивую, т.е. для ее устойчивости не требуется выполнения условия Куранта.

Ограничимся доказательством следующей леммы, Лемма 2. При любых шагах Л, т, нормы сеточных функций и" и и" +' связаны неравенством Ци"+!Ц и шах (Ци"Ц + тЦЯ, ЦгрЦ). Доказательство, Имеем альтернативу: Ци«+!Ц = (либо 1и«е+1~, либо !и"„+!1, либо п!ах (и"+!!). В двух первых случаях, как было установлено выше, Ц и"+1Ц ж Ц!рЦ. Нужно исследовать третий случай.

Для неявной схемы имеем « ~ + г (и — !!г+ и +!гг) Л -тг«.! и«з «««! з «« «+! — +" + г'! -!!га -!+ г" +итие+!. Л Л Пустын — внутренняя точка, для которой Ци"+'Ц = 3 и" «1~. Тогда с +лг(и.". не+и."+иг) Ци""Ц и ж Ци"Ц + тЦУЦ + — '(и«нгЦи"+'Ц + и«! Ци"+'Ц) нли, после сокращения, Ци«+!Ц а Ци"Ц + тЦЯ, На этом мы закончим исследование устойчивости неявной схемы. Еще раз подчеркнем, что она носит безусловный характер: схема всегда устойчива. В этом ее отличие и решающее преимущество перед явной схемой, счет по которой возможен лишь при 1ч.! ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 112 ! с < 0.5Л9~~иЙ. В других задачах, как мы увидим, тоже появляется. зто характерное условие: явные схемы устойчивы лишь пря некоторых ограничениях на шаг по времени ж он должен быть достаточно малым относительно шага по пространству Л.

Переход к неявным схемам, как правило, либо снимает условие устойчивости, либо су1цесгвенно его ослабляет. Возникает естественный вопрос: действительно ли условие Куранта существенно для явной схемы (ведь оно было необходимо для проведения достаточно простых оценок) нлн, может быть, оно связано с грубостью оценок, а не с существом дела? Оказывается, условие Куранта носит принципиальный характер, его нарушение делает результаты расчета совершенно бессмысленными.

Покажем зто на простом примере (который, кстати, иллюстрирует возможный экспериментальный прием исследования устойчивости разностной схемы: он состоит в фактическом вычислении последствий «единнчной погрешности в начальных данныхэ). Если в качестве начальных данных взять иа = О, то решение будет нулевым (мы не учитываем здесь краевых условий, считая, что задача решается на бесконечном интервале: — м < т «). Таблица 9 Теперь возьмем начальные данные с изолированной погрешностью: иа = 1, остальные ио = О, и станем решать задачу по явной схеме, нарушив условие Куранта.

Для иллюстрации удобно взять т = Лз. Тогда и«+' = и", — и" + и,"„„, В табл. 9 представлены результаты, полученные для п = 1, 2, ..., 6. Из таблицы видно, что решение возрастает почти в три раза за шаг и примерно через 20 шагов достигает катастрофического значения (порядка 1О«). А ведь в расчетах делаются сотни шагов по времени! Обратите внимание на характерный (по т) профиль функции и".

Он носит «пилообрааный» характер: и" ж (-3)"( — 1)"О", где еа — «гладкая» сеточная функция. Это характерный признак вычислительной неустойчивости. Обмчно вычислители просматривают 5 111 интзгеиговАниз г»лвнкний с чАсгными пгоизводнымн 1Ш полученные результаты, строят графики сеточных функций. Часто уже внешний вид таких функций содержит «намек» на какое-то неблагополучие, иа сомнительность результата.

На рнс. 11 показаны два примерных графика и", л! = 1, 2, 3, ... Первый, естественно, воспринимается как сеточная проекция «хорошей» функции, второй — типичный пример «подозрительного» решения. Общее качественное соображение носит простой характер: в методе конечнмх и разностей каждое «событие» должно быть , .'ьО разрешено несколькнмн точками. «Сабы- 'ь с''ч Р тием» мы называем колебание функции, в переход с одного уровня на другой и т.п. ° ' ' ° - ° ° ' Если такое «событие» происходит на одном ' и ° ° ' счетном интервале — зто явно подозрительно, настораживает, делает результаты »! сомнительными.

Вычислители очень не любят «пилооб- Рис. 1 1 разных» графиков. Однако не следует все абсолютизировать. Не следует думать, что если получены точки в", легко укладываююциеся на гладкую функцию, то имеется гарантия правильности расчета. «Пила» на решении — тоже не 100 7,'-ная гарантия ошибочности расчета, хотя ничего хорошего в этом нет, Появление «пилы» на графике сеточной функции часто является признаком вычислительной неустойчивости разностной схемы. Но настоящая вычислительная неустойчивость сопровождается еще и очень быстрым нарастанием амплитуды «пнлы», настолько быстрым, что за несколько шагов решение может вообще выйти за пределы машинной бесконечности.

Сходимость равностных схем. (Точнее, следует говорить о сходимости приближенного решения к точному при с, Л- О.) Установив устойчивость схемы н оценив погрешность аппроксимации, воспользуемся теоремой Рябенького-Филиппова и получим оценку 110,— и,11 = О(т+ Л). В явной схеме т О(Лз). Такое же соотношение во многих случаях приходится выдерживать по соображениям точности расчета и в неявных схемах (см. 5 21). Было бы желательно иметь в оценке О(т+ Лз), тем более что почти во всех узлах сетки невязка есть О(Лз); мешает только аппроксимация краевых условий с погрешностью О(Л). Улучшим ее, используя характерный прием. Выпишем погрешность аппроксимации (2) более аккуратно, используя ряд Тейлора: У~~ ~ У(1„, Л) = ЯВ„, О) + ЛУ„+ -»»" У „+ О(Лз). основы вычислитгльной млтвмлтики сс4 !ч.

! Тогда !со ! — а,, + Рсзо — Ч>," = — а,(с', + РУ вЂ” 1с! — — асЬУ„„+ 0(Ьа). Перенося главную часть погрешности — а,Ь!С„из правой части ! в левую н заменяя 4У„„разностной аппроксимацией, получаем аппроксимацию краевого условия второго порядка: — ' „'+ ВР;+ — „пс(и, «вЂ” Щ+ и«) — р!- = -а,!с„+ В,У вЂ” ~р, + О(Ь'). В реализации явной схемы никаких осложнений не возникает. В неявной схеме это приводит к нарушению трехдиагональной структуры уравнений на верхнем слое. Предоставим читателю внести необходимые дополнения в алгоритм решения уравнений на верхнем слое прогонкой.

Характеристики

Список файлов книги