Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 22
Текст из файла (страница 22)
й 12. Сцеитраиьный признак устойчивости Рассмотрим основной аналитический аппарат исследования устойчивости разностных схем, который имеет дело не с реальной вычислительной схемой, а с некоторой ее моделью. Он связан с более нли менее обозримой и выполнимой аналитической работой, благодаря чему и получил самое широкое распространение.
Хотя этот метод исследования не дает точного ответа на вопрос аб устойчивости, он позволяет отбраковать подавляющее большинство заведомо неустойчивых схем, а схемы, признанные на основе спектрального признака устойчивыми, как правило, на самом деле являются таковыми. Начнем с двух упрощений, которые приходится произвести, чтобы можно было применять аппарат спектральной устойчивости. Имеются в виду: а) линейные, однородные с посюянными коэффициентами схемы; б) задача Коши на всем пространстве, без краевых условий (нх место занимают условия тина «ограниченности на бесконечности»). Итак, если нас интересует разностная схема для общего уравнения теплопроводностн — — и(с, х, и) — "„+ у(с, х, и), то исследование проводится для уравнения ди ди — = и — + аи, и, а сопз!.
ас ах' СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ Й !21 Рассмотрим явную разностную схему (1.!0): и" +1 — и" и" — 2и" + и" «1, ии х 2 +аи, Т ЛЗ т = О, + 1, ..., + м, и = О, 1, ..., М = Т/т. Исследование основано на следующем общем факте: все линейные однородные разностнне уравнения с постоянными коэффициентами, заданные на всем пространстве (с условием ограниченности на бесконечности), имеют универсальное полное семейство частных решений ии ЛВЕ™Т 0 И ~р И 2я Здесь р — параметр семейства, Л(т, Ь, «схема»; р) — функция, зависящая от шагов т, й, параметра р и вида схемы.
Каждая схема характеризуется своей функцией Л( р) (остальиые аргументы (т, й, «схема») мы будем всегда иметь в виду, не выписывай их явно). Функция Л( р) называется спектральной функцией схемы. Совокупность значений, пробегаемых точкой Л(р) (в комплекснои плоскости), когда р пробегает )О, 2я), называют спектром разностной скемы. Введем формальные определения.
Разностную схему называют спектрально-устойчивой, если ) Л( р) ) и 1+ Ст, Ч р Е )О, 2л), (2) где С вЂ” не зависящая от т постоянная. Другими словами, спектр устойчивой (по спектральному признаку) схемы должен лежать в Ст-расширении единичного круга. Разностную схему называют спектрально-неустойчивой, если существуют а> 1 (а не зависит от т) и р ~ )О, 2я), такие, что (3) Это пока чисто формальные определения. Сейчас мы научимся вычислять спектр разностных схем, а затем выясним содержательный смысл введенных понятий.
Он будет простым: спектрально-неустойчивые схемм не годятся для вычислений, расчеты по хаким схемам юпровождаются катастрофическим нарастанием последствий погрешностей вычислений (т.е, погрешностей машинного представления чисел, округления и т.п.). Примеры вычисления спектра. Рассмотрим примеры вычисления спектра для различных разностных схем с учетом вышеприведенных определений. 1ч. г основы вычислительной млтемлтнкн Явная схема. Вычисление Х( р) проводится просто: нужно решение и" = Х"е'"т подставить в разностные уравнения. для явной схемы имеем гыыеее« вЂ” 1«е""т Ге~'" нт — ЗРен'т+ Ге" +Не Сокращая на Х"е'"'т, получаем Л вЂ ! е ч-3+ее» Используем соотношение е 'т — 2+ е'г = — 4з!пг(р/2), В результате спектральная функции явной схемы принимает вид Л(р) =1 — 4 — 'з1п х.
Л Легко видеть, что 2( р) вещественна и Ци) = 1 — 4т//гз < Х(,р) < 1 Л(0) Итак, спектр есть отрезок 11 — 4т//гз, 1]. Условие устойчивости: ! 1 — 4т//гз и — 1, и т % /гз/2. Это есть условие Куранта, которое нам уже знакомо. Таким образом, явная схема для уравнения теплопроводности устойчива при выполнении условия Куранта (условно-устойчива). Неявная схема. Проведем те же вычисления: Гее«т(1 — О ° ~ ° е'« — а+е ч ~ л"е мтй т * После очевидных преобразований получаем Х( р) = 1 + 4 — ' з!пз х Л~ Очевидно, Х( р) Е 10, 1), 'т' т, Ь. Неявная схема безусловно-устойчива (по спектральному признаку).
Этот факт (правда, с другим пока смыслом термина «устойчивость») нам уже известен. Схе.ча «кресел» для волнового уравнения ин = и,, Схема имеет вид спектРАльный пРизнАк хстойчизости ф 2г! !27 ПОдетаВЛяя и«!!"Е1"'Т И СОКращая На Л" 'Е'вт, ПОЛуЧаЕМ 22 — гг+! Х . 2« = -4 — з!и 2 Л2 г' т.е. )! есть решение квадратного характеристического уравнения 3Р— 2 1 — 2 — 'з!ПЗМЛ+! О. — л2 г/ Исследовать спектр можно, не решая уравнения.
Заметим, что свободный член есть единица, т.е. )11 1 = 1. Здесь имеются две возможности: а) если корни вещественны, то один корень меньше единицы, второй больше единицы, т.е. схема неустойчива; б) если корни комплексно-сопряженные, то «3!1« = ! 3 ! = 1, т.е. схема устойчива. Итак, схема устойчива, если корни комплексные, т.е.
если отрицателен (при всех р) цискриминант 1 — 2 — 'з!Пгх — 1 1 — 4 — 'з«пэ т -«-4 — 'з!П«х — 1 = „2 г! г «л г =4 — 'з!пг~(т з1пгй- ! Л2 г ! Л2 г Очевидно, что при всех г а !О, 2п) это выражение отрицательно только для т/Л и 1, Это н есть условие Куранта для схемы «крест».
Шахматпиал схема. Рассмотрим систему уравнений, описывающих распространение звука и,+22„=0, 221+и„=О. Поясним некоторые новые обьекты. Прежде всего удобно ввести так называемую шахматную сетку, т.е. определить сеточные Функции и и 21 в разных точках. Итак, введем «целые» точки, илн и-точки: Т„° лт, х ° п2Л. В этих точках определим и" . Введем «полуцелые» точки, нли 22-точки: /„+н — — (п+ 1/2)т, х +„— — (п2 + 1/2)Л.
В этих точках опРеделим 22"+ 11!22. На такой сетке удобно аппроксимировать систему: л+1 ил,в+1П,А+И »л+1П »л-1П 1» » +1П » -1П » +1П » +1П " +1 Обобщим конструкцию стандартного решения ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЛТЕМАТИКИ !!в !ч.! где у, )е — некоторые постоянные. Подставляя это решение в разностные уравнения, после сокрашения на )РСЬВТ и й" 'еп"'Тпг>Т получаем и —,+Р „=О, Р=,+и2=„— '=О, 2-1 ечгг — е 'Т~г Х-1 енп — е ЧЕг Система (относительно !1, !е) имеет нетривиальное решение при Это и есть уравнение, определяющее й( р): — ) +4 — з)п х=О, 1 г 2 ) ьг 2 г ),г — 22 ! — 2 — 'гйпгх~! + ! =О г 21 Такое уравнение мы уже исследовали в связи со схемой «крест» для волнового уравнения, и ответ нам известен: схема устойчива при условии Куранта т < л. Схема «рогеб» б!Вя уравнения нгеплолроводности.
Этот пример интересен тем, что он связан с поиском явных безусловно-устойчивых схем. Схема имеет вид Эта схема трехслойная, расчет требует задания двух начальных слоев иь и и' (и' можно вычислнтгч например, по явной двухслойной схеме).
В приведенном уравнении предполагаются известными значения и" ' и и", и"+! явно выражается через известные величины на двух предыдущих слоях. Стандартное исследование устойчивости приводит к характеристическому уравнению В ре-Ф 2т Ьг Обозначая г = йг/2Т, представим уравнение в другой форме: Хг — 2 еее Х Л + 1 " = О.
1+г !+е Решение выписывается просто: 1+е Ф 121 СПВКТРАИЬНЫЗ ПРИЗНАК УСРОЙЧИВОСТИ Рассмотрим два случая. а) созз р — 1 + гз < О. Корни комплексно-сопряженные, нх произведение ~ Л,1, ~ = ~ (1 — г)l(! + г) ! < 1, т.е. !Л, ! = ! Лз! < 1. б) рзш гз — (1 — созз р) > О. Очевидно, что р< г и корни Л< з = (соз 'р~ р)/(1+ г). Несложный анализ, основанный на том, что ~соз ф ж1, ! ~ р~ < г, показывает, что в этом случае корни ~ Л,! <1, ~Лз~ < 1.
Итак, схема «ромб» безусловно-устойчива. К сожалению, она не годится для решения уравнения теплопроводности, так как не аппроксимирует его. Причина этого состоит в замене значения и" на 0.5(и" +'+ ил '). Погрешность такой замены есть О(тз) и была бы допустимой в других ситуациях, но это среднее используется при аппроксимации второй производной, т.е.
в выражении, делящемся на ЬЗ. В результате в погрешности аппроксимации появляется член О(тз/ЛЗ), что делает такую схему допустимой лишь при очень малых т, например при т = 0(йз), т.е. мы не получаем серьезных преимуществ от безусловной устойчивости. Однако она представляет определенный интерес, особенно в задаче «на установление», когда решение уравнения теплопроводности (с не зависящими от времени правыми частями н краевымн условиямн) в пределе при /- м переходит в решение уравнения Пуассона. В этом случае детали процесса выхода решения на предел игнорируются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
