Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 26
Текст из файла (страница 26)
А такие поправки на выводы об устойчивости не влияют. Это наблюдается не только в рассмотренном простом примере, ио и в общем случае: спектральная устойчнвгсть как асимптотическое свойство определяется аппроксимацией «главных» дифференциальных членов решаемого уравнения, младшие члены вносят в характеристическое уравнение лишь малые (порядка О(т), О(Ь)) возмущения.
й !з! МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ !зз Все это так, если бы не следующее обстоятельство. Иногда приходится решать задачи, в которых в отдельных узких частях области определения решения коэффициенты прн младших дифференциальных членах становятся очень большими (например, порядка О(1/Л)). В этом случае младшие члены в характеристическом уравнении уже оказывают на Х(р) такое же влияние, как и главные, и их надо учитывать.
Пример такой ситуации — расчет ударной волны методом искусственной вязкости, который в дальнейшем будет описан подробно. Здесь укажем только, что речь идет о расчете разрыва в решении, который в вычислениях «размазывается», т.е. заменяется узкой зоной (порядка 4Л) непрерывного решения с большим градиентом О(1/Л), причем при т- О, Ь- 0 длина зоны размазывания тоже стремится к нулю, а Ррадиент решения всегда имеет величину порядка О(1/Л).
Наличие таких зон может привести к своеобразной неустойчивости за счет младших членов. 5 13. Метод переменных из!правлений Рассмотрим простейшую двумерную задачу для уравнения теплопроводности. В области Оцх жХ, 0 ~ уж У, Оц1 ж Т ищется функция и(г, х, у), удовлетворяющая уравнению теплопроводности — = — + — +У(г, х у) аг ах' ау' с начальными данными и(0, х, у) = иа(х, у) и краевыми условиями на боковых стенках области и(г, О, у) = р,(1, у), и(!, Х, у) = 'рз(а, У), и(! х 0) Ра(! х) н(! х у) т4(! х) (Можно рассматривать и другие условия, свои на разных частях границы.) Метод сеток строится, как обычно, из стандартных элементов.
1. Сетка — множество точек (и, Л, ИР) с геометрическими координатами г„, х, у . Ради простоты рассмотрим равномерную сетку: г„= лт, х = /сЛ, у = РНЬ (можно брать разные шаги Ь, Ь ). 2. Приближенное решение ищется в виде сеточной функции (и» ), н=0,1,...,М, Л=0,1,...,К, Рн=0,1,...,М. 3. Разностное уравнение строится так же, как в 5 ! !. Яеняя схема: ОСНОВЫ ВЫ!ИСЛИГЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ !Ч.! 134 Здесь, ради краткости, мы используем компактные обозначения типа ! и" — 2и" ь и" ди * — Ь к, ~ «.~.си дх Л К и Несложное исследование спектральной устойчивости с универсальной конструкцией и" = Хие!"«+1""", р, кр Е !О, 2И), е,и приводит к спектральной функции Х( р, кр; т, /1„, /1, «схема») = 1 — 4 — ', з!п» 2 — 4 — ', з!и "к У откуда получаем условие Куранта т(!//1~ + 1//12) И 1/2.
Неявная схема: к 2 2 ;1 Л(р, р) = 1+4 — з!Ода+4 — 'з1пз — ). Аг 2 Лз 2 к У !Цр,кр)~ ~1, !/ р,крЕ10,2И). Эта схема безусловно устойчивая, но уравнение на верхнем слое очень сложное: каждое уравнение связывает пять неизвестных. Картина «связности» имеет вид, показанный на рис, 12, т.е. получается система КМ уравнений с матрицей, в каждой строке которой всею пять ненулевых элементов. Мы не останавливаемся специально на аппроксимации начальных данных и краевых условий, так как здесь ннчею нового по сравнению с одномерной задачей не появляется. Эти уравнения замыкают систему й уравнений на верхнем слое. Матрица системы имеет специальную РИС. !2 структуру: все ненулевые элементы расположены на пяти диагоналях.
Матрицы подобного рода часто появляются при аппроксимации краевых задач методом сеток. Оии получили специальное название «ленточные матрицы». Этот термин связан с тем, что в такой матрице можно выделить сленту» около главной диагонали, в которой расположены все ненулевые элементы, и «площадь» ленты (в нашем случае 2КМК) существенно меньше «площади» матрицы КВМ2. 135 метод пеееменных нхпгхвлеиий %!31 В насюящее время созданы специальные методы решения систем уравнений с такими матрицами.
Их основная особенность состоит в том, что в процессе решения ненулевые элементы появляются только в области исходной ленты, т.е. можно проводить вычисления с объемом памяти, существенно меньшим обьема полной матрицы; соответственно уменьшается и число операций. Однако в нагнем случае есть другой путь: построение такой аппроксимации уравнения теплопроводности, которая совмещает безусловную устойчивость с возможностью построения чрезвычайно эффективною алгоритма решения уравнений на верхнем слое.
Эта конструкция (так называемый метод переменных направлений)— одно из важных изобретений в современных численных методах решения задач математической физики. Существенным ее элементом является метод проюнки. Шаги по времени не одинаковы. Они выполняются по чередующимся формулам (четные по одной схеме, нечетные по другой). Рассмотрим пару шагов: и" известно. Вычислим сначала и"+', затем и"+з. 1. Первый шаг: и"- и"+'. Используем схему в которой производная по х аппроксимируется на верхнем слое, производная по у — на нижнем.
Система уравнений на верхнем слое расщепляется на независимые системы. Каждая такая система объединяет неизвестные, лежащие на одной горизонтальной линии, и каждая группа переменных (и,"„) ш (и'„' „,) (й = О, 1, ..., К) может быть найдена независимо от всех остальных. Более того, эта система является системой с трех- диагональной матрнцей и может быть решена прогонкой по юризонтальной линии ценой О(К) операций„Всего таких линий М; следовательно, весь массив и"+' может быть найден ценой О(КМ) операций, т.е. число операций пропорционально числу неизвестных. 2. Второй шаг: и" +'- и" +з. Он осушествляется по аналогичной схеме, но с переменой ролей х и у: Здесь та же ситуация, только система расщепляется на независимые подсистемы, объединяющие переменные на одной вертикали: (ив+2) ш (пят+2) пг () 1 М ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ !зз 1ч.
! Таким образом, алгоритм метода переменных направлений «экономичен», т.е. число операций пропорционально числу неизвестных. Спектральная устойчивость схемы переменных направлений. Рассмотрим эволюцию универсальной функции е!"т+'"'т за два стандартных шага, Схема эволюции такая: и" вв е!«т+'"т- и"+' = Х2(р, р) е!Ьт+!""У (первый шаг); ил+! И«Сыт+!В»» ил+2 )ь (р р) емт+2тт (второй шаг) Сдвоенный шаг дает л Ш,22Т»2т» ь ! л~! ) л л ) л+! г = )2)ь!и" = Х2(Р, Р))2(Р, Р)е2«т+!». Здесь )ь( р, р) = ) !)!2 отвечает за устойчивость схемы. Вычисляем Х!: ! 2«! .
2Ч вЂ” = — 4 — з2п — 4 — згп —, ьг г Зг г' У т.е ), -(1-4 — 'з)пг-'1/~1+4 — 'з1пг~~, У Аналогично (с переменой ролей х и у) вычисляем ) 2: Х = 1 — 4 — 'з1пгх / 1+ 4 т з1пгл!. Р у Окончательно: — клд У Ил — ьъ! '(«л Цр, з)=)!Л,= ЬО н лл> ° вф, ь«л Очевидно, ~ Х( р, 2р) ! И 1 и схема безусловно устойчива. О краевых условиях.
При осуществлении прогонки «по линии» система разностных уравнений замыкается соответствующими краевыми условиями. В случае задания значений и на границе области, дело совсем просто! правые и левые значения ил+! на данной линии уже известны. Не возникает трудностей и в том случае, когда заданы общие краевые условия третьего рода: д« вЂ” а —, + 1)и = 2р, где т — направление внешней нормали к грани- метод пеРеменных нАпРАВлений й 121 !37 це. Аппроксимация, например, на правой границе (при х = Х) имеет очевидную форму: и+! и+ 1 и х"' х ~ +рви~~ =1Р» ~ П2=1и2~ ° ° иМ 1 и Х,и~ ии Она использует величины й м на одной т-й горизонтали сетки и не препятствует расщеплению системы на изолированные подсистемы.
Однако если заданы условия с косой производной (это нечасто встречающийся в, приложениях случай), их аппроксимация уже не может быть осуществлена по величинам на одной линии. Аналогичные препятствия к непосредственному обобщению схемы метода переменных направлений возникают и при краевых условиях с нормальной производной на границе непрямоугольной области, если ее граница не проходит по координатной линии сетки и направление нормали к такой границе является «косым» по отношению к линии сетки. Основная конструктивная идея метода переменных направлений оказалась очень плодотворной н была в дальнейшем обобщена. Ниже кратко описываются два обобщения, часто применяемые в современной практике конструирования разностных схем для краевых задач математической физики.
Метод дробных шагов. Суммарная аппроксимация. Рассмотрим эволюционную систему дифференциальных уравнений с частными производными в айцей форме: — ", =Ь,и+ 2 и+У. Здесь Х,„Ь2 — операторы дифференцирования по х и у соответственно; и в принципе может быть вектор-функцией; У вЂ” заданная правая часть, (В такой системе отсутствуют члены со смешанными Производными,) В методе дробных шагов переход от слоя и" к слою и"+ ' совершаЕтСя С ИСПОЛЬЗОВаНИЕМ дрОбНОГО ПрОМЕжутОЧНОГО ШаГа ии'"П2, КОтОрЫй условно можно отнести к моменту времени 2„+ из — — 2„+ т/2 (т — шаг сетки по 7), Схема стандартной группы дробных шагов такова.
Пусть и" известно. 1. Вычисляем и"+ц2, используя, например, неявную схему Ни+ Ш В 1 Ни+ Ц2 1 2 г Ради простоты мы не вводим особых обозначений для сеточных функций и разностных аппроксимаций дифференциальных операторов. Читатель по тексту без труда догадается,. где речь идет о (ч.! ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ !зз дифференциальном уравнении, а где — о его конечно-разностной аппроксимации. Уравнение первого дробного шага на верхнем слое распадается на серии независимых уравнений, связывающих неизвестные на одной линии сетки. Такие разностные уравнения называются локально-одномерными, Второе пространственное измерение в этих уравнениях присутствует в качестве параметра, определякицего совокупность «одномерных» задач.
2. Второй дробный шаг строится аналогично: «и+1 «»»1Л г = Е и" +' + т . г. Он имеет такую же локально-одномерную структуру. Уравнения на верхнем слое в обоих случаях обычно решаются алгоритмами типа прогонки, как н в методе переменных направлений. В этих общих терминах метод переменных направлений записывается в форме »»1» = Е и""+ Е и" +У, 1 г «+г и+! = Х. и"" + Е и"«г+ у', ! г Для метода дробных шагов нам надо еще уточнить два вопроса. Как «разбить» правую часть | на /! и У? Какому времени соответствует функция и»+1! г„+ т или г„+ 2 !? На оба вопроса мы получим ответ, используя формальную процедуру «исключения промежуточного слоя», которая приведет к сравнительно обычной форме аппроксимации. Запишем уравнения дробных шагов в виде (Š— т1!) и" » "г = и" + тУ„(Š— туг) и"+' = и»+1!г+ т/ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
