Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 28
Текст из файла (страница 28)
»4З з г41 РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК (Обратим внимание на то, что в угловых точках условий нет, но там функция в сущности и не нужна. Впрочем, можно было бы просто краевые условия определять для х, т = О, 1, ..., М, потребовав согласования функций р» в угловых точках.) Итак, построение аппроксимирующей разностной задачи закончено.
Мы получили систему линейных алгебраических уравнений высокого порядка. (В современных расчетах»т'ж 1Оз, стало быть, система имеет порядка 104 неизвестных.) Эта система имеет специальную структуру: каждое уравнение связывает значения только пяти неизвестных. Как всегда, возникают два вопроса.
1. Теоретический вопрос как обосновать метод сеток, т.е. доказать (при тех илн иных предположениях), что ( и»,„— и(х», у,„) ~ и СЬР? Такое обоснование распадается на установление аппроксимации и устойчивости разносгной схемы. 2, Практический вопрос: как фактически решить систему уравнений, т.е. вычислить и„»,? Обоснование метода.
Рассмотрим свойства аппроксимации и устойчивости системы разностных уравнений в несколько более обшей ситуации. Пусть задача решается в произвольной области й с гладкой границей. В этом случае сначала надо уточнить построение сетки н аппроксимирующих задачу уравнений. Покроем плоскость (х, у) квадратной, для простоты, сеткой с шагом л. Множество узлов (й, т), для которых точки (х, у ) попадают строго внутрь й, назовем внутренними. В каждой такой внутренней точке поместим шаблон используемой схемы и отметим узлы сетки, входящие в шаблон. В случае простейшей схемы шаблон в точке (к, т) «отмечает» еще четыре узла: (к — 1, т), (т — 1, й), (й+ 1, т) н (1», т+ 1). Множество отмеченных узлов назовем счетными узлами; именно в них будет определена сеточная функция и» .
Разумеется, внутренние узлы являются счетными; все остальные счетные узлы образуют множество граничных узлов. В каждом внутреннем узле может быть записано стандартное разностное уравнение; в граничных узлах следует использовать краевое условие.
Простейший вариант: для граничного узла (й, т) можно найти на контуре области Оь» ближайшую точку (х», у ) н реализовать краевое условие сносом: и = у(х», у» ). Очевидно, расстояние между точками (х», у») и (х», у» ) есть 0(н). (Этого достаточно, чтобы считать точку на контуре «ближайшей».) 1Ч.1 ОснОВы ВычислительнОЙ мАтемАтики 144 Пусть У(х, у) — решение исходной дифференциальной задачи, У вЂ” ограничение решения на сетку. Подставляя УЕ в разностное уравнение, вычисляем (формально) погрешность аппроксимации для внутренних и граничных узлов (А, т) соответственно: (Ы1), — У, = —,", (ии„„„+ и„„) + О(й«), У(хы у„) — р(х „, у м) = О(л).
1 Итак, если решение имеет четыре непрерывных производных (это обеспечивается двумя производными у и гладкостью р на контуре), разносгная задача имеет первый порядок аппроксимации. Если граничные узлы сетки точно попадают на границу области Й (как для задачи в прямоугольной области), порядок аппроксимации равен двум. Перейдем к устойчивости. Эллиптические линейные задачи в этом отношении достаточно благополучны, Часто можно установить их устойчивость, используя специфическое свойство — «прннцип максимума». Л е м м а 1.
Пусть сеточная функция и удовлетворяет условию (би) „, > О во всех внутренних узлах. Тогда шах иь достигается км в граничном узле. (Здесь, конечно, (би)„„, — аппроксимация оператора Лапласа на пятиточечном шаблоне.) Доказательство. Предположим, что максимум ИЕ не достигается на границе. Тогда он достигается в какой-то внутренней точке (1, 1). В этой точке определена положительны по условию величина (ци), Распишем ее в полных обозначениях: 1 — (и1 .. + И1 1 1 — 4и,. + и,.
„+ ВЧ 14,) > О. Отсюда 1 "'1~ 4 (И1-~ 1+ "'1-1+ И1+11+" 14 Это явно противоречит тому, что и1 — максимум, т.е. не меньше каждого из четырех входящих в правую часть неравенства значений и. Таким же образом можно установить, что из условия (4ьи)4 < О следует, что минимум ИЕ „, достигается на границе. Построим специальную функцию сравнения — разностную мажоранту Гершгорина. (Читатель, знакомый с начальными фактами теории уравнения Пуассона, легко поймет, что нижеследующее есть простое ее обобщение для разностного уравнения Пуассона.) Предположим, что точка (О, О) находится внутри й близко к ее «центру».
Введем мажоранту — сеточную функцию 1В„=1 11111 ((х~~+ у~) — Яз), где ~1/1~ = Тпах 1У(х, у) ~, Я вЂ” пока произвольная постоянная. % г41 гешение эллиптических з»длч методом сеток Утверждение 1. Функция в» удовлетворяет разностному уравнению (Ьи) = 11Д, (й, т) — внутренний узел. Оно непосредственно следует из тою, что для функции хз+ уз значения вторых производных и вторых разностных производных совпадают (при любом шаге сетки). Выберем значение Я таким, чтобы область »1 помещалась в круг р;щиусом М и функция в», таким образом, была отрицательной в й. Введем нормы 11и11 шах 1и 1, 1Я =шах 1у(х, у)1, 11р11 = шах 1 р(х, у)1.
», юв (к, г)еп (», у)е«п Теперь мы имеем все для доказательства устойчивости ревностною уравнения Пуассона. Теорема 1. Пусть функция и удовлетворяет разностному уравнению Пуассона. Тогда имеет место общая для всех задач (т.е. равномерная по шагу сетки Л) оценка 11и11 и 11 р11 + — Я~ 11/11 Доказательство, Рассмотрим функцию э» = и» + и»,„. Во внутренних узлах сетки она удовлетворяет разностному уравнению: (б )». =(б )», +(Ьм)», =з», +1М1~0. Следовательно, максимум с» достигается на границе и для любого счетного узла (г) у) можно записать соотношение (условимся, что.
(х, т) пробегают лишь граничные значения) в, ишаки „=шах (и„+ и ) ишах и =шах р и 11р11 (здесь мы использовалн отрицательность и» ). Далее, из э, . с 11 р11 следует 11р11ии„+ ...=и„,+-,'11Л1(хе+а)--,'11Л1 '. Отсюда и, ~ 11 р11 + Яз 1Д/4. Так как функция — и» удовлетворяет тому же разностному уравнению Пуассона, но с изменением знаков у и р, имеем второе неравенство: — и» и 11ф1 + 1«з 11у11/4.
Из двух полученных неравенств следует утверждение теоремы. Таким образом, для всего семейства разностных задач Пуассона (с параметром Ь О) установлена равномерная оценка решения через нормы функций, входящих в «правую часть» уравнения. Как уже разъяснялась, для линейной задачи она означает ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 1ч. 1 146 непрерывную зависимость решения от правой части задачи, а отсюда (в силу теоремы Рябенького — Филиппова) следует сходимосгь разностного решения к точному с порядком, равным порядку аппроксимации. Можно придать этому утверждению более определенную формулировку. Пусть и„" — решение разностной задачи иа сетке с шагом Ь, У" — ограничение точного решения на ту же сетку.
Тогда 11 и" — 1У" 11 П С1Ь + С 11з~Р/12, где С, — оценка первой нормальной производной У(х„у) на границе, Сз —, оценка четвертых производных У(х, у). Тем самым мы установили устойчивость и сходимосгь в метрике С. Хотя доказанная теорема имеет внешне вполне законченный характер, ее не следует переоценивать: она основана на слишком сильных априорных предположениях о гладкости решения У(х, у), Дальнейшее развитие теории разностного уравнения Пуассона связано со стремлением существенно ослабить зги предположения, доведя их до «естественныхм Например,.
если / только ограничена, У(х, у) имеет лишь две производные. Реальные задачи обычно связаны с функциями, существенно лучшими по гладкости, чем просто ограниченные. Так, часто / — кусочно-гладкая функция, имеющая небольшое число линий разрыва самой функции нлн ее производных. Это приводит к тому, что погрешность аппроксимации устроена «неравномерном она мала (порядка О(йз)) почти всюду в области. Только в окрестности линий нарушения гладкости У(х, у) она существенно больше и может достигать даже величины 0(1).
Следовательно, невязка может оказаться малой лишь в какой-то интегральной норме, более слабой, чем норма в С. Соответственно, нужны и белее тонкие теоремы об устойчивости. Такие теоремы тем ценнее, чем белее слабая норма используется для невязки и чем более сильная — для погрешности. Все это, конечно, выходит за рамки принятого в книге теоретического уровня. Однако надо понимать, что дело не только в качестве теорем, но и в существе самой проблемы. Более слабые требования к невязке приводят к более слабым утверждениям о погрешности численного решения потому, что ухудшение гладкости искомого решения ведет к росту погрешности. Бороться с этим можно, просто тупо увеличивая число узлов сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
