Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Вычислив 8„„найдем универсальные характеристики: г„Л /Пв, уз= 1п 8 ' 1п г,,', 1„= 1/1п г . В конкрепюй задаче, имея оценки границ спектра 1, Ь, рассчитываем длину итерационного цикла г' = 1р!и (И/) + 1, среднюю эффективносп итерации у = у Л(п (А/!) и набор итерационных параметров т< — — Л /1, тз= т,/г, тз тфв, ... Для уменьшения нормы погрешности в в ' раз в конкретной задаче потребуется 1(в, 1/Е.) ж ув ' 1и (//1) 1п е ', ув- 3.2, итераций. Значение Вьы находится по табл. 10, из которой видно, что 8, ж0.16-~-0.2 (ббльшая точность, очевидно, здесь не нужна) и /в = 5 ' 4 соответственно. Значения П, Л„, гв предоставим вычислить читателю.
Для задачи на сетке 100 х 100 (1 = нз, А = 4й8) получаем убывание норм погрешности и невязки в процессе итераций со скоростью воюя ~1ов~1в-взм ягбан ~~гвЦв-вэвв !65 к 141 гкшкиик эллиитичкских элалч методом соток Таким образом, для того чтобы уменьшить погрешность начального приближения в 105 раз, потребуется около 30 итераций метода переменных направлений. Важно отметить, что, хотя эти формулы Таблица 10 нужно понимать «в среднем», в данном случае убывание норм погрешности и невязки происходит монотонно: ~)о'+'~~ < 'ао'() при любом порядке использования итерационных параметров.
Проблемы устойчивости здесь, в отличие от метода чебышевского ускорения, не возникает. Величины а о«~) и 8г«8, фигурирующие в формулах, легко оцениваются при самом простом выборе начального приближения: внутри, ио = р на границе. ио =0 кт В этом случае и, ои оил лгои и «и + и, огьзм (где и — решение разностной задачи, 11 ~р~! ж (ф рг сЬ) пг), и содержательный смысл достигнутой в расчете точности ))о'~) = 11и" — иа н < 10 «)~оо8 в 1О 511иа очевиден. Если же в этом примере использовать оптимальные параметры Вашпресса, результат будет такой: за 16 итераций получается оценка ао'~0 ж 0.3 10 «11и~а. В формулеэффективного убывания погрешности множитель 3.2 меняется на 9, т.е. оптимальный вариант примерно в 2.8 раза эффективнее упрощенного.
Обсудим вопрос о возможности применения метода переменных направлений в более общей ситуации. Проанализировав весь ход рассуждений, легко убедимся в том, что были использованы следующие факторы. 1. Уравнение Юи = у имеет форму .О,и + гг и = у. 2. Уравнения «на верхнем слое» для схем суть и-и' — 2ги+д, т ! где и', 9 известны; они легко (т.е.
«экономно») разрешаются отно- сительно и. |ч. 1 |ьь ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИХЯ 3. Операторы Р! самосопряженные с положительным (отрица- тельным) спектром. Для границ спектра есть достаточно эффектив- ные оценки 1|, г'.| 4. Операторы (разностные) Р,, Р. имеют общую систему собст- венных функций, что, как известно, эквивалентно нх перестановоч- ности: Р,Рг — -Р Ри Этот важный факт существенно определяет возможность обобщения приведенной выше теории. Если перевести приведенные формальные признаки на содер- жательный язык применительно к эллиптическим уравнениям второго порядка, то мы получим следующий класс уравнений, простейшие разностные аппроксимации которых имеют нужные свойства: а) уравнение з а,(х) д„+Ь|(х) и+В аг(у) з +Ьг(у) И=У(х, у), б) область — прямоугольник, аи в) достаточно общие краевые условия: а — + Ви = р; здесь ив дЛ внешняя нормаль, и, р — постоянные, свои на каждой стороне пря- моугольника, В сущности это — случай, когда работает разделение перемен- ных.
Мы не обсуждаем известных в теории эллиптических задач ус- ловий на а|, Ьи обеспечивающих знакоопределенность операторов Р,=~ а|з» +Ь!, Рг=з аг~ +Ьг. Мы применили грубую теорию, в которой границы спектров Р,, Р взяты в виде 1= пни (1,,1), В=шах (1,|, г'.). В точной теории Золотарева — Вашпресса используются свои границы спект- ров для Р,, Р. Первое собственное число разиостного оператора часто уже при не очень больших Н почти совпадает с соответствующим собствен- ным числом аппроксимируемого дифференциального оператора. Для его приближенного вычисления можно привлечь весь арсенал ана- литических оценок.
В частности, можно заменить переменные коэф- фициенты дифференциального оператора на средние значения и вы- числить аналитически первое собственное число оператора с посто- янными коэффициентами. При оценке верхней границы Р используется другое соображе- ние.
Известно, что для любой матрицы (а! 1) оценкой любого соб- ственного числа сверху является шах~ ~|а| !. В нашем случае в ! каждом узле схемы следует просуммировать модули коэффициентов разностной схемы и взять наибольшее (по узлам сетки) значение $ )41 гвшенив эллиптических злдлч мвгодом свток такой суммы. Для оператора Лапласа, аппроксимированного по пятиточечной схеме, получим значение Ь = 8/л», почти не отличающееся от точного: Ь = (8//г~) соз (п(Ю вЂ” 1)/2Ф). Величину Ь можно оценить и снизу, используя известное соотношение Рэлея для самосопряженных матриц Р (операторов). Для любого собственного числа А имеем (Пи, и) (Ои, и) ппп ' а)жшах ( '). (и, и) (и,и) ' Эти соотношения часто применяют для оценок границ спектра.
Оии эффективно работают в том случае, когда имеется априорная информация о том, какую форму имеют собственные функции, соответствующие крайним точкам спектра. В частности, максимальному (по модулю) собственному числу разностной аппроксимации оператора /( (и других аналогичных операторов) соответствует сеточная функция типа и« „, = ( — 1)"» . Для оценки можно взять даже функцию, равную — 1 в одном узле сетки и +1 в четырех соседних узлах, в соответствии с шаблоном пятиточечной схемы. Предоставим читателю проверить, насколько близко к верхней оценке Ь = 8/лз будет отношение Рэлея на такой пробной функции.
Как было указано выше, теория выбора итерационных параметров н оценка эффективности работают лишь в случае разделения переменных. Однако сама схема формально применима н в более общей ситуации, например при уравнении вида эх и!(х У) у~ + э «~2(х У) з + с(х У) и /(х У) Для краевых условий первого рода (задано и на границе области) форма области более или менее безразлична: простейшие разностные аппроксимации операторов Р„ /)з включают точки только одной горизонтали (вертикалн) и краевые условия этого обстоятельства не нарушают. Если область — прямоугольник (или объединение прямоугольников), допустимы краевые условия третьего рода: в них входит нормальная производная, а при ее аппроксимации используются точки той же горизонтали (вертикали) сетки (если опустить тонкую проблему аппроксимации в угловой точке границы).
Если граница области не проходит по координатной линии сетки, нормальная производная аппроксимируется по шаблону, захватывающему как минимум две соседние горизонтали (вертикали) сетки. Такие краевые условия препятствуют непосредственному расщеплению уравнений «на верхнем слое» метода переменных направлений и прямое обобщение вычислительной схемы не проходит. Что касается выбора параметров, то они, естественно, рассчитываются для системы с «замороженными» коэффициентами (в качестве таковых берут, например, средние значения) и для минимального прямо- ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 1зз 1ч.т угольника, содержащего данную область. Опыт показывает, что такой способ часто приводит к успеху (к быстрой сходимости итераций), особенно когда коэффициенты уравнения изменяются не очень сильно. Однако при появлении в уравнении смешанной производной и„отказывает не только теория сходимостн, но н алгоритмическая схема.
Что делать в этом случае? Общая схема итерационных процессов. Пусть Р— разносгная аппроксимация общего эллиптического самосопряженного дифференциального оператора. И пусть разностная аппроксимация выбрана так, что Р= Р' (сохраняется самосопряженность). Нужно решить уравнение Ри = ~, Многие итерационные методы решения этого уравнения укладываются в общую схему: где  — некоторый разностный оператор, называемый (по терминологии А. А. Самарского) регуляриэатором. Он должен обладать следующими свойствами: 1) В В' (самосопряженность); 2) В ) О, т.е.
(Ви, и) ~ у(и, и) для всех и; 3) (очень важное свойство) оператор В должен быть легко обратимым, т.е. задача ВО = к легко решается; мы имеем алгоритм, позволяющий сравнительно щешево» определить О из этого уравнения («дешево» по сравнению с «ценой» исходной задачи Ри = /'); 4) (очень важное свойство) оператор В должен быть «энергетически эквивалентен» оператору — Р в смысле неравенств у!(Ви, и) < ( — Ри, и) ц т (Ви, и), 'т! и.
Положительные постоянные О ( т! с тз называются константами эквивалентности В н — Р; будем считать нх известными. Итерационный процесс фактически реализуется так: 1) вычисляем г' = Ри! — У (и' — известно); 2) решаем уравнение ВО! = г'; 3) вычисляем и!+' = и' + тв!. Формально процесс можно записать в виде и!+' = и! + тВ 'Ри! — тВ Алгоритм напоминает метод простой итерации с оператором В 'Р.
Если В н Р неперестановочны, нз самосопряженности В и Р не следует самосопряженность В 'Р. Однако это легко исправить. Так как 1б9 5 14! гвшвниз эллиптических злаьч методом сеток В В' и В > О, существуютоператоры Визн В Нз. Сделаем замену переменных в = Вози и умножим формулу итерации на Вцз: Внзи'+г «Внзи1+ тВнзВ 1РВ изВнзи' — тВ11зВ 1/, т.е. и'+1 и1+ тВ нзРВ ням' — тВ нз/. Обозначим Б В ихРВ ит.
Легко видеть, что Г = Я и итерация может изучаться в виде н'+' = н'+ тБю'+ 7. Из предположения об энергетической эквивалентности можно вывести важный факт: спектр оператора 5 (в смысле Б р = — Ьр) положительный и у, н Хн уз. В самом деле, т,(Ви, и) н ( — Ри, и) ч 'у,(Внзи, Вити) и ( — Ри, и), т и (так как В = ВпзВпз, (Внз)' = Впз). Полагая Вази = ю, имеем у1(н, я ) н (-РВ изн, В нззг) = ( — В цзРВ нзгг, ю), т.е. у1(и, и) < (-Юи, и), Ч и. Аналогично, из ( — Ри, и) < ух(Ви, и), ч и следует ( — Би, и) н уз(н, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
