Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Но иногда удаются более остроумные и квалифицированные способы повышения точности расчета, не требующие существенного увеличения обьема вычислений. Один из таких приемов — выделение особвнноппи (регуллризацил). Поясним идею на' простой задаче. В квадрате О к х, у к 1 решается задача Лапласа: Ьи = О, однако краевые условия и(х, у) =* р(х, у) на границе содержат разрыв. Для 1«7 $ ! 41 гешение эллиптических э»длч методом сеток определенности, пусть р(х, 0) — а при х- О, р(0, у) - Ь при у- О, а ы Ь.
Решение такой задачи существует, но около точки (О, 0) оно теряет гладкость (в точке (О, 0) нет непрерывных первых производных). Это обстоятельство приводит к снижению точности расчета в окрестности точки (О, 0). Правда, влияние такого локального нарушения гладкости носит локальный характер и погрешность расчета быстро убывает пря удалении от точки (О, 0). Метод регуляризации состоит в следующем. Решение ищется в форме и(х, у) = о(х, у) + и(х, у), где о(х, у) — некоторая известная гармоническая функция, имеющая в граничных условиях тот же разрыв, который имеет заданная граничная функция у, а в остальном — ' гладкая.
Второе слагаемое м(х, у) подлежит расчету. Для ы ставится, очевидно, следующая краевая задача: йм= О внутри, и(х, у) = ~р(х, у) — о(х, у) на границе. Граничные значения функции 1«непрерывны, и при ее расчете методом сеток не происходит потери точности. Для реализации такого выделения особенности нужно иметь функцию о(х, у). В данном случае такая гармоническая функция известна. В теории функций комплексного переменною устанавливается, что, например, агк (х + /у) = агс1к (у/х) является гармонической функцией в положительном квадранте и она имеет разрыв в краевых условиях именно в той точке, где нам нужно: агс1к — =Я при х=О у- О.
И х 2 Ф агс1к У 0 при у=О, х-«0, Следовательно, в качестве о можно взять гармоническую функцию о(х, у) = а + 2 — агс1к —. Ь-а у Диагональное преобладание. Устойчивость системы разностных уравнений удалось установить благодаря важному их свойству, называемому «диагональным преобладанием».
В разностном уравнении (»ъи)» — — /» «вео центрального члена (коэффициент при и», равный — 4/лз) по модулю не меньше суммы модулей остальных «весов>. Это есть следствие как математической структуры оператора Лапласа /» (значение гармонической функции в какой-то точке равно среднему значению этой же функции по окружности с центром в рассматриваемой точке), так и использованной нами простейшей его аппроксимации.
Свойство диагонального преобладания настолько полезно, что его стараются обеспечить и при построении аппроксимации в более сложных ситуациях. Не всегда оно получается автоматически, иногда нужно потрудиться над конструкцией схемы. Для эллиптическою 1ч.1 основы вычислитквьной млтяметикн 14а уравнения и„„+ и, + и „= 5 можно предложить несколько схем, например: 1Ьи) + ! + — (ие ! „— ие+! „,,— ие ! е1+ие ! 1)+Уе 4И На рис. 13а показан шаблон схемы, около узлов которого проставлены коэффициенты схемы !умноженные на йз), Видно, что диапзнального преобладания нет. Смешанную производную можно аппроксимировать иначе: ать 1 а а —,(ие+! „,+! — и» ~! — и„ч, + ие,т) ху /, Коэффициенты схемы показаны на рис.
13б. Возможно, читатели смутит сокращение числа узлов в схеме, хотя диагональное преобладание здесь есть. Автора это обстоятельство тоже смущает, хотя ничего определенно компрометирующего зту схему мы сказать не 1/4 1 1/2 !/2 -1/4 Е Н 1/2 1/2 1/4 ! -1/4 ! 1/2 1/2 а б в Рвс. 13 можем. Попробуем аппроксимировать смешанную производную еще одним способом: 1 2а е (иеее, в+1 — ие, в+! — не+! + ие ) + 1 + г е~е,т е,м — 1 е-1, «+ 4-1,м-!)' 26 Шаблон схемы показан на рис. 13в. Если бы смешанная производная входила в уравнение со знаком минус, следовало бы (для сохранения диагонального преобладания) ориентировать шаблон по другой диагонали. Что касается рассматриваемого уравнения, то зто то же самое уравнение Пуассона, только в косоугольной системе координат.
Для его решения, конечно, справедлив принцип максимума и теорема о среднем в соответствующей редакции. Надо, однако, предупредить, что отсутствие диагонального преобладания не является фатальным недостатком схемы, делающим ее непригодной для использования. 5 141 Ркшкиик эллиитнчкских 3АдАч методом сеток 149 Перейдем к практическим проблемам: как найти решение системы линейных алгебраических уравнений очень высокого порядка и очень специальной структуры? Нас интересует не принципиальная возможность решить систему (это тривиально).
Суть проблемы — в числе необходимых для решения операций. Предварительно отметим лишь, что из доказанных оценок (устойчивости) следует, что однородная система (/ ев О, р ш 0) имеет только тривиальное решение и вв О. Следовательно, разносгное уравнение Пуассона однозначно разрешимо при любых правых частях. Метод простой итерации. Основным средством решения больших систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при разностной аппроксимации краевых эллиптических задач, являются методы итераций (последовательных приближений).
В этих методах, начиная с какой-то сеточной функции ии (верхний индекс означает номер итерации), по тем или иным правилам находят и„', и~ ~~, ... Если при этом и' — и (1- м), то метод называют сходящимся. Однако в этих вопросах одного факта сходимости мало, нам нужна еще и оценка скорости сходимости. Обычно она имеет вид ~и„'— и ~жСд' (Ч?с,т; <?с1). Числа и < 1 — свои для разных методов: чем меньше д, тем лучше метод, тем быстрее он сходится. Поскольку ие совпадает с решением Ое с точностью до е=О(ЛР), то итерации следует проводить до тех пор, пока ие нс совпадет с ие с той же точностью е = О(?ЗР). дальнейшие итерации особою смысла не имеют, Поэтому обычно назначается некоторое с= О(йв) и делается такое число 1(е) итераций, которое обеспечивает оценку откуда 1(е) = —.
1и (а/С1 1и 4 ~1и' — ие ~ О е, т.е. СЦ'= е, 1(е) = 1(е)Т = Т '", Кроме числа итераций, мы должны учитывать и число операций, которых требует выполнение одной итерации. Обозначим его через Т. Можно считать Т временем выполнения одной итерации, так как в конечном счете нас интересует именно машинное время, необходимое для получения е-решения. Очевидно, ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ »50 (Если Т вЂ” число операций, то мы получаем характеристику метода как такового. Если Т вЂ” машинное время, то мы получаем характеристику, учитывающую быстродействие ЗВМ, приспособленность данного алгоритма к ее архитектуре н качество программирования.) Метод простой итерации несложен.
Опишем стандартную итерацию. Пусть 1-е приближение (и' ] известно (будем обозначать его просто и'). Тогда для внутренних и граничных узлов имеем соответственно ~ и» + т(йи' — /) „,, (/с, пг) внутри, (й, ие) на границе. Число операций Т К'Фз (К'ж10), так как число узлов (1, ие) есть Мз, а вычисление (Аи' — /)» „требует около шести операций. (Считаем, что массив /» „, хранится в памяти.) Разумеется, в памяти не хранятся массивы и' для каждого 1.
Как н при решении уравнения теплопроводности, заведомо достаточно двух массивов, а при незначительном усложнении программы и одного (плюс Ф буферных ячеек памяти). Особую роль играет т — итерационный параметр. Анализ сходимости. Оценка скорости сходнмостн. Выбор оптимального значения т. Для анализа сходимости введем фундаментальные объекты — погрешность В и невязку г' ~ (Аи' — /)» „,, (к, ле) внутри, ~(и' — р) „,, (х, не) на границе. Равенство нулю невязкн илн погрешности означает, что найдено точное решение. Погрешность имеет очевидный смысл, но, как правило, она нам неизвестна. Кевязка удобна тем, что ее всегда можно вычислить.
Поэтому обычно итерации обрывают, когда невязка достигает достаточно малой величины. В дальнейшем мы увидим, что между погрешностью и невязкой есть простая связтн !!э!! ~ И!г!!. (Число р будет ухазано; нормы здесь и в дальнейшем гильбертовы.) Выведем формулу итераций погрешности. Из формулы итераций и тождества и = и + т (Аи — /) имеем для внутренних н граничных узлов (й, и») соответственно + ~(~и /)к» ~и», и»,„. 5 141 Решение эллиптических ЗАдАч методОм сеток Вычитая, получаем уравнение эволюции погрешности: ~О~ + т(ЕО~)», (Й, Ри) внутри, ! (й, Ри) на границе. Введем операторную запись. Определим оператор Р, переводящий сеточную функцию в такую же функцию: ~(ЬИ)», (7с, т) внутри, (Ри) 1и», (х, т) на границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
