Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Краевые условия; х~=хз=х4 0 4 О. хз=О, х4=1, г=т= 20. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ 5Е1 В качестве начального приближения берется функция, удовлетворяющая краевым условиям к'(Г) = хз(г) = О, х'(Г) = Г/Т, [0.5г/Т, ' (г) = ]0,5(т — 1)/т, г и 0.5т, г н0.5т г и 0.1Т, 0.1Т и1и 0.5Т, 0.5Ти / и 0.9Т, 1> 0.9Т.' 1/Т, О. 15 — 0.51/Т, 0.51/Т вЂ” 0.35, 1 — //Т, Это приближение очень грубое, оно выбрано без использования известного решения задачи. Теперь поясним детали технической реализации алгоритма. Сетка, сеточная функция.
На интервале [О, Т] вводится равномерная сетка (/л)л, Гл = пт, т = Т/М. В узлах сетки определяется сеточная функция (хл]~ В, х„Е йз. Невязка. Это очень важный объект, определяющий (наряду с числом узлов М) точность приближенного решения. Обозначая систему х = /(х), определяем невязку г(1) как кусочна-постоянную на сетке функцию: Г(Г) / З ' 1 ~ (1л' 1л+1)' Итерационный процесс имеет целью свести норму невязки к нулю, т.е. приводит (при успешных вычислениях) к решению системы разностных уравнений, аппроксимирующих задачу со вторым порядком.
нормой невязки Я считаем (] гз ю) '/т, добавляя еще нормы невязок в краевых условиях. Я, Ь) х(/) + Ь Ьх(г), где Ь вЂ” подлежащий определению шаг. Для определения Ьх(1) решается краевая задача, получающаяся линеаризацией исходной нелинейной задачи на имеющемся уже приближении х(г). Эта краевая задача имеет вид Ьх /,[х(г)] Ьх(~) — г(8). Уравнение в вариациях. Напомним, что процесс итераций по схеме модифицированного метода Ньютона состоит в вычислении поправки Ьх(1) н образовании однопараметрнческого семейства функций основы вычислительной млтемлтнкн зб Линеаризация краевых условий строится очевидным образом.
Пояснения заслуживает способ вычисления матрицы /„(г( вв /,(х(1) ). В расчетной схеме в качестве этой матрицы использовалась кусочно-постоянная матрица у»~ 1 = у» 2 Решение линейной краевой задачи осуществляется методом ортогоналъной прогонки, описанным в 5 18. Не следует думать, что шаг численного интегрирования совпадает с шагом сетки т, он в несколько раз меныпе. В процессе интегрирования запоминается ограничение функции Ьх(г) на сетку (1„) — сеточная функция (Ьх„). Определение итога.
Определяется функция й(Ь) — норма невязки сеточной функции (х„+ Ь Ьх„)н„, находится (не очень точно) пнп ЩЬ) по Ь. После определения Ь новое приближение вычисляется по формуле х„:= х„+ Ь Ьх„, и = О, 1, ..., Ф. Выше описан стандартный шаг итерационного процесса. Итерации продолжаются до получения достаточно малой невязки. Отметим, что во многих прикладных задачах одной иэ наиболее трудоемких операций является линеаризацня, т.е. вычисление У„.
Конечно, такая операция трудна при достаточно сложной форме правой части. В рассматриваемом примере это не так. Трудоемкой операцией, вообще говоря, является и вычисление шага Л, требующее несколъкнх вычислений невязки. Естественно, число операций пропорционалъно числу интервалов сетки М, и следующее ниже усовершенствование имеет целью повысить точность, не увеличивая существенно М или даже совсем его ие меняя. Это достигается изменением определения невязки.
Упвочненная' формула вычисления невязки. Имея сеточную функцию (х„), восполняем ее до непрерывной функции х(1) с помощью кусочно-гладкого интерполяционного аппарата (с помощью сплайна, например). Теперь, в принципе, можно говорить о непрерывной функции г(г) = х — Дх(г)) и вычислять ее норму () гза1)из. Разумеется, норма вычисляется по какой-нибудь хорошей квадратурной формуле, так что на самом деле такая «непрерывная» невязка вычисляется в дискретном наборе узлов квадратуры (в описываемых ниже расчетах на каждом интервале (г„, 1„+,) интеграл вычислялся по квадратуре Гаусса с тремя узлами).
Остальные элементы вычислителъной схемы остаются без изменений. 88) Решение кРАеВых зАдАч для систем Оду Таблица 7 держит только компоненту х — У; невязкн в краевых условиях остаются нулевыми. Расчет проводился прн шаге основной сетки т = П50=0.4. Таблица 8 характеризует точность расчета. В ней приведены значения компонент вектора х в нескольких характерных точках Таблица 8 х (5.6) х (20) х (12) х (0) «3(10 4) х)0О. О а) б) -1.0808 -1.091 -1.091 -1.1808 — 1.190 — 1.190 -0.0455 -0.0444 -0.0443 — 0.9621 -О. 9863 -0.9863 -О.ОВЗВ -О.О4ЗОВ -0.04312 0.1244 0.1214 0.1213 В) х (0) хз(5.6) «5(12) х <5.6) «4(12) хз(ЕО) В) б) — 0.09101 -0.08878 -0.08874 !ЛВЗВ 1,1817 1.1820 0.9867 0.9867 0.9866 0.6442 0.6529 0.6529 0.02496 0.02434 0.02433 0.009!5 О.ООВВО6 О,ОО8622 В) времени. Каждая величина представлена тремя числами: а) результат, полученный за одиннадцать итераций при грубом вычислении невязки; б) результат, полученный после одной дополнительной итерации с более точным вычислением невязки, в) «точноеь решение.
Приведем результаты, характеризующие эффективность алгоритма и достигнутую точность. В табл. 7 представлены следующие данные: ! — номер итерации, 28 — норма невязкн, )) — шаг на 1-й итерации. Начальное приближение выбрано таким, что краевые условия выполнены; они линейны, поэтому не нарушаются в процессе итераций. Невязка со- ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ вв й 9. Метод днфференцнаиьной прогонки Начнем изучение самого, вероятно, популярного в вычислительной математике алгоритма. С ним связаны существенные успехи в решении сложных задач, и его изобретение считается по праву ярким событием в истории развитии современной вычислительной математики. Любопытно, что метод прогонки предназначен для решения задачи, на первый взгляд не содержащей никаких проблем.
Пусть требуется решить краевую задачу для системы двух уравнений х= ау+/, у=Ьх+ р, Оц1 <1, а>0, Ь>0, с краевыми условиями х(0) = Я'В, у(1) =О. Коэффициенты а и Ь ради простоты считаем постоянными, Очень важны их числовые значения. Пусть а Ь 40. Эти значения взяты не случайно, в них суть дела. Как мы увидим дальше, а и Ь вЂ” «большие параметры». Именна то, что они большие, определяет специфику задачи и требует разработки принципиально новых алгоритмов.
Объясним причины, по которым описанный в 3 8 метод сведения краевой задачи к задачам Коши не работает. Проанализируем известный («школьный») метод. Ради простоты положим / = р = 0 (не в них дело). Найдя решение двух задач Коши: а) х' =ау', х'(0) =1, у' = Ьх', у'(0) = О; б) хг = дуг, х'(0) = О, уг = Ьхг уг(0) ищем решение в виде линейной комбинации х(Г) х'(1) + хг(1) ( ) = С,е~', + Сгегт' где Х„У; — некоторые числа (которые легко вычисляются, но они нам не нужны), С„Сг — произвольные постоянные, а Л,, Лг— корни характеристического уравнения / — Л а) бе1 ~ Ь Л) =О, т.е.
Л =аЬ, Л, г — — ч= ГаЬЬ вЂ” .»40. а коэффициенты а, и аг определим, подставив его в краевые условия, Что же из этого получится? Посмотрим, какие последствия имеют большие значения коэффициентов а и Ь (и в самом ли деле они большие). Как известно, точное общее решение рассматриваемой системы уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид 89 9 91 метод диФФеРенциАльнОЙ пРОГОнки Таким образом, почти любое частное решение (в том числе построенные нами два линейно независимых решения) есть сумма (с примерно равными коэффициентами С„Сз) двух экспонент: одной— сильно растущей (типа е40'), второй — сильно убывающей (типа Е 40') Теперь обратимся к исходной задаче.
Прежде всего подчеркнем, что выбор больших значений коэффициентов а и О не был произвольным, ои продиктован практикой. Наиболее близким содержательным примером задачи, качественные черты которой хорошо передает разбираемая модельная, является прохождение излучения через слой большой оптической толщины, например прохождение потока нейтронов, источником которого является ядерный реактор, через слой зашиты.
В этом случае одно краевое условие хо — — Х задает поток нейтронов, падающий на внутреннюю поверхность зашиты, второе условие у(1) =0 означает отсутствие потока нейтронов, падающих на внешнюю границу защиты. Интересующая же нас величина х(1) имеет смысл потока нейтронов, выходящего со стороны внешней границы защиты. Искомое решение есть функция типа е 40'.4." (в этом, собственно, и состоит назначение защиты: ослабить поток нейтронов примерно в е40ж 10'4 раз). Мы же пытаемся получить его в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений, в каждом из которых решающую раль играет именно растущая экспонента. Получить Функцию типа е 40' в виде линейной комбинации решений, в которых главную роль играют компоненты типа е40' (они должны взаимно погаснться), — очень трудная вычислительная задача, сопровождающаяся резким падением точности.
Следует принять во внимание и накопление погрешностей вычислений. В рассматриваемом случае, допустим, при интегрировании задач Коши методом е-го порядка погрешность аппроксимации у левого конца траектории имеет величину порядка тей'0 (т — шаг численного интегрирования). Ве последствия у правого конца траектории достигнут величины е40ЕЬЯ'О, н нужно, чтобы они были заметно меньше искомого решения, т.е.
величины порядка е 40,2' . Итак, имеем ориентировочное соотношение для шага численного интегрирования: е40ть~к 0-40 т е ть ~ 10-30 Даже при К=5 получаем с<10 0, т.е. нужно брать сетку с миллионом узлов. Это чудовищно. Забегая вперед, укажем, что ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ фактически такие задачи решаются методом прогонки при условиях ~Х, т~ «к1. В нашем случае т.-"к1/40, т,е. вполне приемлем, например, расчет при тж1/200 и даже при т 1/100.
Убедившись в провале «школьного» метода решения простой краевой задачи, приступим к описанию метода прогонки. Отметим только в качестве «морали»: в вычислительной математике важна не столько внешняя форма задачи, сколько качественные свойства искомых решений. Абсолютно одинаковые внешне задачи часто требуют существенно разных методов. Та же самая задача при а Ь 5 (илн на интервале 0 ц г к 0.1) без всяких затруднений может быть решена только что скомпрометированным методом фундаментальных решений.
Рассмотрим детально метод дифференциальной прогонки. Будем искать связь между компонентами решения вида х(г) = а(г) у(~) + В(г), где а(1), р(г) — неизвестные пока «прогоночные коэффициенты». Получим уравнения для них. Дифференцируя прогоночиое соотношение! х = ау + ау+ р, и учитывая, что х= ау+ /, у= Ьх+ р, имеем ау+ / = ау+ а(Ьх + р) + Р. Заменяя х на ау+ р: ау+/= а+ Ьазу+ Ьра+ ар+ и приводи подобные члены (коэффициенты при у н единице), получаем у [а+ Ьаз — а) +(р+ Ьра — /) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
