Главная » Просмотр файлов » Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku

Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 12

Файл №810773 Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku) 12 страницаFedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773) страница 122020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Пусть область й есть часть единичного куба, выделенная неравенствами й)(х) ж О, Р' = 1, 2, ..., у. Техника вычисления интеграла по й выглядит примерно так. Генерируется та же последовательность псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в единичном кубе. Для каждой точки х проверяются неравенства а.(х ) жО, 1=1, 2, ..., у.

Если все они выполнены, / т.е. х Е й, вычисляется,((хи), которая прибавляется к накапливающейся сумме. Кроме того, ведется подсчет числа попавших в й точек. Пусть вычислено М случайных точек, К из которых попало в й, и накоплена соответствующая сумма "', у(х"'«). Среднее значение у в области й можно определить величиной 1 ~ ~ х 1 И Вместе с тем это среднее вычисляется методом Монте-Карло: К 'х' У(х «). Что касается меры шез й, то она приближенно равна К/М.

Итак, имеем формулу к ) у(х) «1х= — Х. у(х"'«) + е . с« »=! О погрешности е» известно, что это случайная величина, математическое ожидание ее модуля имеет оценку СРЧ'К; константа С зависит от гладкости ~. Кващзатуры высокой точности, В качестве 7 можно взять интерполяцнонный полипом 2,„(1), построенный на сетке (1„)„'" . За счет того или иного выбора узлов сетки можно получить соответствующие преимущества. Широко используются чебышевские сетки, обеспечивающие устойчивость чебышевских квадратур при больших л«', Отметим еще гауссовы квадратуры.

Они основаны на следующей идее. При любой сетке квадратура, в которой используется интерполяционный полипом 1.„, точна в классе полиномов степени не выше ЛР, Можно так подобрать узлы сетки, что квадратура станет точной в классе поли номов степени не выше 2ЛР+ 1. Узлы сеток и коэффициенты квадратурных формул вычислены для разных ПР на стандартном интервале ( — 1, 1). Их можно найти в справочниках по методам приближенных вычислений (гауссовы узлы и коэффициенты, чебышевские и некоторые другие).

58 основы вьгчислитвльиой млтвмлтики й 5. Численное интегрирование задачи Коши дпя систем обыкновенных днффвренцивпьных уравнвний Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений. требуется найти функцию х(г), 0 ч г ч т, удовлетворяющую уравнению —,", =У(х, г), х(0) = х, Ок с<Т. (1) Здесь х — гримерный вектор, г(х, г) — заданная вектор-функция той же размерности, хо — заданная точка (данные Коши), Как известно, при весьма простых и общих предположениях о гладкости У решение задачи (1) существует н единственно. Хорошо также известно, что найти явное аналитическое выражение для х(г) удается в крайне редких случаях, н только для очень частных классов задач (например, линейных уравнений) имеются способы явного решения задачи Коши.

Сама же задача (!) — одна нз наиболее часто встречающихся в различных приложениях (в физике, механике, астрономии, биологии, экономике и тд.). К таким задачам приходят, изучая движения планет и ракет, эволюцию биологических и экономических систем. Рассмотрим мегоды приближенного интегрирования задачи Коши, начиная с самых простых и старых. Используем метод сеток, или, иначе, метод конечных разностей, являющийся одним из наиболее универсальных н общих (хотя н достаточно трудоемких) методов приближенного решения дифференциальных уравнений. Начнем с основных обьектов метода сеток. На интервале (О, Т(, на котором ищется решение, введем покрывающую его дискретную сетку точек О=Г <Г,<Г «...Гн=т, (Гь) и 0' Ради простоты в дальнейшем будем в основном использовать равномерную сетку с шагом т = Т)И: Г„= нт. Приближенное решение будем искать в виде сенгочной функции, т.е. в виде функции дискретного аргумента и; обозначим ее как (х„)„'" .

Напомним, что каждый х„есть р-мерный вектор. С содержательной точки зрения х„будет представлять (приближенно) значение искомой функции х(г) в узле г„: х„х(г„). Сеточная функция (х„) не может удовлетворять никакому дифференциальному уравнению, н нужно построить какие-то другие уравнения, из которых можно было бы найти функцию (х„) и притом так, чтобы она была приближенным решением исходной задачи. й 51 ИИТЕГРИУОЕАИИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ Такие уравнения (так называемые разностные уравнения) строятся очень просто: входящие в дифференциальные уравнения производные заменяются соответствующими разностями. Это можно сделать разными способами, и они приводят к разным уравнениям. Например, "=/(х„, 1„) (явная схема Эйлера), (2) = /(х„+„ 1„Ч,) (неявная схема Эйлера), (3) х„+1- х„„1 = /(х„, 1„) (схема с центральной разностью).

(4) Ограничимся пока этими простыми примерами, ниже мы рассмотрим и более сложные схемы. Первая проблема, с которой мы сталкиваемся при решении разностных уравнений, — зто фактическое определение х„. Во всех случаях значения х„определяются последовательно, слева направо. Особенно просто вычисляются х„ при использовании явной схемы Эйлера: л = О, 1, ..., Ф вЂ” 1.

х„ „ = х„ + т /(х„, 1„), Здесь х„известно (данные Коши). В правой части этой формулы используются уже найденные значения х„. В случае неявной схемы Эйлера ситуация несколько сложнее. Пусть значение х„уже найдено. Тогда хв м находится из уравнения х„„= х„+ т /(х„+,, 1„„), (5) которое являегся нелинейным относительно неизвестного х„+,, Правда, это слабая нелинейность, так как перед / стоит малый множитель т, что делает уравнение (5) не таким уж сложным. Интуитивно ясно, что х„+, мало Отличается от х„, т.е.

х„есть очень хорошее начальное приближение для какого-либо итерационного метода определения х„, (см. з 1). В схеме (4) мы сталкиваемся с характерным явлением: формальные порядки дифференциального и разносгного уравнений не совпадают. Под формальным порядком мы понимаем число произвольных постоянных в общем решении, или, если угодно, число дополнительных данных, полностью определяющих решение. В схемах Эйлера (2) и (3), как и в дифференциальном уравнении, достаточно задать х, чтобы все остальные значения х„хз, ... Определялись однозначно. В схеме (4) ситуация иная: только задав хв и х„мы опРеделим хз = хв + т /(х„1,) и т.д. бо ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Значение хо определяется постановкой задачи, х, формально можно задать каким угодно.

Фактически, конечно, если мы стремимся получить хорошие результаты, х, нужно задавать достаточно аккуратно. Например, приемлемым (ио не лучшим) является х, = хо. Лучше (и правильнее) вычислять х, по какой-либо более простой разносгной схеме, например по явной схеме Эйлера: х, = хо + т У(х«). Обсудим некоторые вопросы, естественно возникающие при построении и использовании разностных схем. Первый вопрос: чем следует руководствоваться при построении разностных уравнений? Интуитивно ясно, что разностные уравнения (2) — (4) имеют прямое отношение к исходному дифференциальному уравнению хотя бы потому, что в пределе (при т- 0) они переходят в (1).

Но это соображение нужно четко оформить и дать ему количественное выражение. Таковым будет фундаментальное в вычислительной математике понятие аппроксимации. Второй вопрос. Пусть разносгное уравнение явно «соответствует» дифференциальному. Но значит ли это, что его решение (х„) в какойто мере аппроксимнрует решение дифференциального уравнения? Так мы приходим к другому фундаментальному понятию — к сходи- мости разностной схемы. Правильнее и аккуратнее было бы сказать: сходимость решения разностного уравнения к решению дифференциального при т - О. Но мы будем использовать «жаргонное» выражение «сходимостьь. Перейдем к аккуратному оформлению этих понятий.

Рассмотрим ' следующие математические объекты: 1) дифференциальное уравнение — = Д2', Т), 2'(0) = х„ и его решение 2'(г); 2) ограничение функции 2'(г) на сетку (г„), т.е. сеточную функцию (2'„)„", где 2'„= 2'(г„); 3) разностное уравнение (например, явную схему Эйлера или еще какую-нибудь) и его решение (х„). Мы будем иметь дело с последовательностью сеток, соответствующих уменьшающимся шагам т - О, так что при стремлении к полной аккуратности следовало бы каждый объект пометить еще индексом т: 2"„, х„* н т.д. Этот индекс т неявно везде следует иметь в виду. 0 п р е д е л е н и е. Говорят, что разностное решение сходится, если Вш ~~2"„— х'„~~ = О, и = О, 1, ..., М=?Ут.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее