Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 13
Текст из файла (страница 13)
«О Если установлена оценка ~!2'„' — х'„~~ ц Стг, и = 1, 2, ..., М, 5 51 6! иитяп иювлиии зядлчи коши для систем одт где С не зависит от т и и, то говорят, что установлен р-й порядок сходимости, а схема имеет р-й порядок точности. Установление сходимостн, а лучше, и порядка сходимости (еще лучше, с хорошей оценкой константы С) есть основная цель теоретическою обоснования метода приблилсенного решения. Этому вопросу посвящен б 7. Схема Адамса.
Опишем общую конструкцию схем численного интегрирования, достоинством которой является ее экономичность. Каждый шаг интегрирования требует только одного вычисления правой части с, в то же время порядок точности метода может быть (формально) любым желаемым. В методах Рунге-Кутты (они описаны в б 7) число вычислений / на шаг равно порядку точности метода. Итак, пусть задача решается на равномерной сетке, значения х„(и все предшествующие х„„х„з, ..., хр) уже найдены. По значениям ус = у(х„ +,) для с = О, 1,..., р (р определяет порядок точности метода) в узлах сс с„,я+с построим интерполяционный полипом степени рс с-о Ею можно применить и для экстраполяции функции у [х(с) [ на интервале [с„, с„+ т = с„с[.
Теперь используем очевидное тождеспю с+с х(с„ + т) = х(с„) + $ у[х(с)[ асс. с (б) Заменяя у[х(с)) интерполяционным полнномом и вычисляя интеграл, получаем формулу х„+, = х„ + т(а с + асУ~ с + ... + а У ), (7) где ао, а,, ..., ар — некоторые универсальные (не зависящие от шага т) числа. Они очевиднмм образом вычисляются через интегралы от базисных ннтерполяцнонных полиномов 1'(с). При вычислении а, делается замена переменных с = с„+ т,т н рассматривается стандартный шаг по ~, равный единице. Оценим погрешность аппроксимации, предполагая /(х), а следовательно, н решение х(с) достаточно гладкими. Погрешность экстраполяции [[у[х(с) [ — с".
(с)[[ = О(тя+с) (см. з 3). При интегриро- (ч. т ОснОВы Вычисли3тльной мАтемАтики б2 ванин по (1„, ( 1 в оценке погрешности вычисления интеграла появляется еще множитель т. Переписывая (б), (7) в форме, дающей в пределе дифференциальное уравнение, получаем х((„ + ) — к((„> аобу(х„) + а, Ях„ ~ ) + ... + арф( ха р ) + 0( тР + ' ) . Итак, порядок погрешности аппроксимации равен числу используемых в (7 ) точек р + 1 . Неудобством метода является необходимость помнить некоторое число прошлых значений г„ 3 Это, конечно, мелочь, если не считать самого начала процесса интегрирования, когда прошлого просто нет. Приходится несколько первых шагов выполнять нестандартно, например методом Рунге-Куттм (см.
з 7). Метод Адамса является характерным примером схемы, формальный порядок которой превмшает порядок дифференциального уравнения. Стандартный алгоритм начинает работать лишь при задании, кроме начальных данных хса еше и значений х„х, ..., х . Таким образом, общее решение разностного уравнения содержит больше, чем нужно, произвольных постоянных и, следовательно, какие-то лишние «решения». Полезно иметь представление о том, во что переходят лишние решения в пределе при т О. Рассмотрим простейшее уравнение х *= ах и две схемы второго порядка — примитивную схему (4) и квалифицированную схему Адамса второго порядка: Ха Ы вЂ” х„ " = — У(х„) — — У(х„,), У(х) Вя ах.
В этом простом случае можно вычислить и проанализировать общие решения разностнмх уравнений. Они ищутся в стандартной для однородных разностных уравнений с постоянными коэффициентами фОрМЕ Х„= Сита, + Сздз, ГдЕ рн аз — КОРНИ ХараКтсрнетнЧЕСКОГО уравнения, С„С2 — постоянные, определяющиеся в данном случае начальными данными хо и хи Характеристические уравнения получаем, подставляя ра в уравнение. Для простейшей схемы (4) имеем а' — 2 д — 1 О. ..
а,, а Л + ( )'. Первый корень (при (ат~ м 1); ( )2„1. р( 3) ат „1. П(ЕЗ) аа еаа.(1 .1 О(тз)) и Р(УЕ) бз 3 51 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОДУ Это решение в пределе дает. решение дифференциального уравнения. Второй корень: д ~ 1+От дь ( 1)АЕ ААЧ т.е. сеточная функция никакого разумного предела не имеет (из-за множителя ( — 1)" = ( — 1)'~'). Это есть паразитическое решение, появившееся из-за превышения порядка разностного уравнения над порядком дифференциального.
В общем решении х„= С,д", + С дз, и дая того чтобы схема имела второй порядок точности, нужно обеспечить соотношения С = х„+ О(тз), С О(т~). Аналогичные выкладки для схемы Адамса приводят к характеристическому уравнению дз = д + — д сд — — ат. з г г Его корни: з дьз з+ 4 От~ Предоставим читателю убедиться, что д — ат/2, д, = 1+ ат+ азтз/2+ О(т') = е" (1+ О(гз)) Таким образом, дп' е"(1+ О(тз)), а паразитическое решение дз ~ (ат)" Очень быстро стремится к нулю (мы, конечно, считаем ~ ат ~ ж 1, например ат м 0.1). Итак, выбор х, в схеме Адамса должен обеспечить соотношение С, = хв+ О(тз).
Полезно проверить, что выбор х~ = хо + т/(хо) обеспечивает требуемые соотношения. Более высокий интеллектуальнмй уровень схемы Адамса (по сравнению с примитивной схемой с центральной разностью) сказался в том, что паразитическое решение этого метода очень быстро убывает — как (ат)п'. Численное интегрирование на ЭВМ. Представленный выше анализ погрешностей приводит к выводу, что точность численного интегрирования тем выше, чем меньше шаг т. Это верно только до известного предела — до тех пор, пока погрешности округления, связанные с конечной разрядностью машинной арифметики, остаются пренебрежимо малыми, Реальная расчетная формула (метода Эйлера, для определенности) в действительности прн реализации на ЭВМ имеет вид х„> = х„+ т/(х„) + с„. 64 основы вычислитввьиой мАтвмАтики 1ч. 1 Величина в„обычно определяется погрешностью округления щш машинном представлении х„, т.е. имеет величину 10 '~х~ (г = 12 на БЭСМ-б, г= б-;- 7 на ЕС, г =16 на ЕС при двойной точности).
Погрешность округления т/, если г вычисляется с машинной точностью, несущественна, так как обычно ~ тД м ~ х~ (х мало меняется за шаг). Но если функция г вычисляется сложным алгоритмом, ее погрешность может определять величину в„. Таким образом, машинная вычислительная формула имеет внд *."„-*."+ ос)(1.~*а~-ф. где Ь вЂ” относительная погрешность вычисления /, т~ — относительная погрешность представления х. Можно трактовать эту формулу как точную с погрешностью вычисления г.
И теперь ясно видно, что, начиная с некоторых малых величин, дальнейшее уменьшение т приводит к падению точности. Интегрирование уравнений высокого порядка. Пусть требуется проинтегрировать уравнение 14к — 4 — — У(х), к(0), ..., х(0) заданы. Не составляет труда построить разностное уравнение: хм+а — 4кп+1+ах„-4х„1+хк в -- -Их.). Данные Коши позволяют вычислить значения хо, хи хм хз, по ним находим х4, затем хз и т,д. Однако здесь конечная разрядность машинной арифметики имеет еще худшие последствия.
Машинная расчетная формула имеет вид х„+, —— 4х„+, — бх„+ 4х„, — х„з+ т~У(х„) + т1! х~. Таким образом, погрешность округления т~ ~ х ~ эквивалентна погрешности вычисления У порядка т1 х!/т4. К счастью, есть простой выход — переход от уравнения четвертого порядка к системе уравнений первого порядка: х'=хз, хз кз, хз=х4, хх=г(х'). Именно по этой причине теория численного интегрирования строится для систем уравнений первого порядка. Замечание. Выше без определений были использованы некоторые понятия (аппроксимация, точность и т.п.).
Смысл их достаточно прозрачен. Он уточняется в следующем параграфе. Б 61 АБСТРАКТНАЯ ФОРМА НРНБЛНЖБННОГО МЕТОЛА й 6. Абстрактная форма прнбпнигвиного метода Приближенное интегрирование задачи Коши послужит нам удобным примером, на котором можно будет ввести основные обьекты общего приближенного метода и установить связи между ними. Настоящий параграф носит, так сказать, идеологический характер, в нем появляются фундаментальные понятия теории приближенных методов вычислений. Итак, мы исходим из задачи, записанной в общей форме: А,(к') = Р'". Здесь 2' — искомый элемент- некоторого функционального пространства Х, г — некоторый заданный элемент пространства Г, Š— оператор, отображающий Х в г (зг мы будем называть иногда «правой частью уравнения»). Приближенное решение задачи (1) тем или иным способом сводится к решению уравнения Е,,(х,) = Я',.
(2) Здесь х, — искоммй элемент некоторого конечномерного пространства Х„г; — элемент другого конечномерного пространства Р„ 1., — оператор, отображающий Х, в Рк По существу (2) есть конечная система (вообще говоря, нелинейных) уравнений. Поясним смысл индекса Б (символ «сетки» в обобщенном смысле слова). Наличие индекса Б связано с тем, что в теории численных методов мы имеем дело не с одной задачей (2), а с бесконечной последовательносп ю задач, с целым семейством, Б — параметр семейства (который может быть не только скалярным, но и векторным).
При интегрировании задачи Коши в роли параметра выступает шаг сетки т. Нас будет интересовать предельный переход прн Б- О, т.е. точное решение в* задачи (1) должно быть пределом решений систем (2) при Б О. Однако еще предстоит ввести процедуру сравнения в' и х,, ведь это элементы разных пространств. Следующий элемент приближенного метода — некоторый оператор Р,, отображающий Х в Х,. Мы еще вернемся к обсуждению этого оператора. Можно вычислить элемент л.', = Р,Д' Е Х, и подставить его в уравнение (2).
Конечно, .и', не удовлетворяет уравнению (2), и появляется новый важный объект — невязка, или погрешность аппроксимации, г, =* Ь,(д',) — Я г (3) Теперь можно установить связь между уравнениями (1) и (2). Пока что у них не было ничего общего, кроме использования одинаковых букв (Е, .г и т.д.). з — 1ззз ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТВЛЬНОй МАТВМАТИКИ [Ч. 1 66 Определение 1.
Говорят, что семейство задач (2) аппроксимирует уравнение (1), если [[г,[[ - О при х -» О. (4) Если, кроме того, установлена оценка [[г,[[ Н С, [ г ~[г (С, не зависит от з), (5) говорят„что аппроксимация имеет порядок р по ж В общем случае г есть набор малых параметров, а р — соответствующий набор показателей. Отметим важное требование: оценка (5) — равномерная на семействе 'задач (2), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
