Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Используя числа табл. 6, получаем 2г 14.64 = 21~~. Поскольку порядок точности формул обычно является целым числом, положим р= 4, относя разницу на счет величин О(тг). Если теперь проделать эксграполяцию при р= 4, получим числа, представленные в той же табл. 6. Эффект уточнения явно виден и не нуждается в комментариях. Однако читатель должен усвоить и другой урок: применение этой экстраполяции требует определенной осторожности, особенно в снежных задачах, в которых нет полной ясности с главным членом асимптотикн погрешности. Что касается формулы Симпсона, то более аккуратный анализ показывает, что она на самом деле имеет четвертый порядок точности, Это дополнительное повышение ее точности — следствие симметричности формулы. Симметричность часто и в других случаях приводит к повышению точности.
Например, формула численного дифференцирования (односторонняя, несимметричная) и формула центральной разности (снмметричная) имеют первый и второй порядки точности соответственно, хотя они одинаковы по трудоемкости (каждая гстонть двух вычислений функции). Несколько слов о чувствительности формулы Симпсона по отношению к возможной неточности априорного предположения о функции /. Пусть на самом деле функция /(1) лишь кусочно-гладкая, для простоты, имеет один разрыв на [а, Ь[, а в остальном гладкая. Нетрудно понять, что если разрыв попал на четный узел сетки, точность формулы сохраняется. Прн произвольном положении разрыва испортится только значение интеграла по той паре шагов сетки, в которую попал разрыв.
Этот интеграл и вычисленный по Снмпсону не имеют между собой ничего общего кроме того, что оба суть О(т). Следовательно„точность вычисления интеграла станет О(т) вмеето ожидаемой О(тз). Вычисление интегралов с особенностями. Рассмотрим простой пример — приближенное вычисление интеграла пв г о Подынтегральная функция обращается в бесконечность при 1'= О, но интеграл существует. Попытка его прямого вычисления но формуле Симпсона сразу же приведет к неудаче: первое слагаемое Уо 53 вычисления опгвдвязнных интепъяов- обращается в бесконечность. Грамотный студент легко находит выход! надо вычислить интеграл ! 1 — "'! дг, е>0; т7 ь при достаточно малом е он приближает нужное значение. И даже оценка связанной с этим погрешности легко вычисляется: зто величина с — в!! = 2!/е.
а Некоторые даже догадаются взять в качестве приближенного решения сумму ! 2г!е + ~ — (Й, с где интеграл по [з, 11 вычисляется, например, по формуле Симпсона. В вычислительной математике многие проблемы допускают решения на уровне студенческой грамотности. Нередко на основе подобных соображений работы пишутся людьми далеко не студенческого возраста„знающими о проблемах этой нзуки с чужих слов и не «чувствующих» такого важнейшего фактора, как число операций (речь идет, конечно, о более сложных задачах). И здесь приведенный выше, вполне правильный ответ не устраивает профессиональных вычислителей именно в силу нерационально большого обьема вычислений.
Аккуратное вычисление интеграла с особенностью может быть выполнено гораздо более экономными средствами. Это достигается с помощью приема рееуляриэации, или выделения особенности. Поясним его в более общей ситуации. Пусть требуется вычислить где у'(!) — гладкая функция. Регуляризация состоит в том, что проделывается тождественное преобразование ! ! ! ~ у[,),-!!г в!, ~ [у[,) р[,)],-!п,~с+ ~ р[,),-г!г в!, о о о Функция р(!) выбирается такой, чтобы первый интеграл правой части не содержал особенности и при небольшом объеме вычислений достаточно точно определялся хотя бы по формуле Симпсона. Второй интеграл особенность содержит, но вычисляется аналитически.
основы вычислительной млтвылтнкн 54 В данном случае цель будет достигнута, если в качестве р(!) взять отрезок ряда Тейлора У(г) в точке ! = О. Это приводит к вычислению ! ! ! 1 У!!! У!о1 1~ !о! ж+ЛО)1 ! 41 +!'(0)1 ~ с! /! !!! о о о В примере, с которого мы начали (у(1) = соз !), приходим к вычислению Второе слагаемое есть 2, первое вычислим по формуле Симпсона: сначала с шагом 0.5, что даст значение 1.807967, затем с шагом 0.25, что даст значение 1.808850. Эти вычисления *стоили» всего четырех вычислений подынтегральной функции.
Поучительно сравнить их с тем, сколько вычислений этой функции потребуется при «студенческом» рецепте (для достижения такой же точности). Вычисление интегралов от быстроосциллнрующих функций. Начнем с простого примера. Пусть требуется вычислить ') е !з!пЫ Й о при большом значении я, например к 100. Интегралы типа ~ У(!) зш х! а1, где ~(!) — гладкая функция, часто приходится вычислять в некоторых разделах физики. Сложность задачи состоит в том, что подынтегральная функция совершает большое число колебаний. Вычисление интеграла по стандартной формуле Симпсона, конечно, возможно, но требует сетки с очень малым шагом: каждая волна должна быть описана некоторым числом узлов сетки, а волн мною.
Дело осложняется еще и тем, что вычисление должно проводиться с высокой точностью, так как результат есть сумма большого числа близких величин с противоположными знаками (интегралов от отдельных волн подынтегральной функции), происходит сильное сокращение знаков и для обеспечения точности остатка (результата) отдельные слагаемые должны вычисляться с существенно более высокой точностью. Дая вычисления подобных интегралов используется следующий прием: гладкая функция Яг) аппроксимируется некоторой другой гладкой функцией у(!), такой, чтобы интеграл от ,г(!) з1п к!' вычисаялся аналитически.
55 Я 4! ВБ1ЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ННТЕГГАЛОЕ Итак, дело сводится к тождественному преобразованию л л л ~ 1(!) Е1п и ы! = ~ 7(!) зш ! ! 5! + ][1(г) — 1(!)] 51п к! (!. о а о Второе слагаемое является малым и отбрасывается. Правда, если оценить.ртбрасываемую величину, опираясь только на оценку типа ]У(!) — у'(!) ] ц е, т,е. в дан- ном случае величиной яе, ничего хорошего (даже если е — точная оценка погрешности аппроксимации) не получится, так как величина яе может оказаться значительно большей интере- ! 4 1 4 2 4 2 4 сующего нас интеграла. На о 6 самом деле погрешность существенно меньше. Это ведь Рис 7 интеграл от гладкой функции, не превосходящей с, умноженной на быстроосциллирующую функцию.
Естественно ожидать, что погрешнос!ь будет во столько раз меньше результата, во сколько раз ]У вЂ” 7] меньше У. При у(!) = е ' интеграл вычисляется аналитически, Поучительно вычислить его приближенно, заменив функцию е ' ее интерполяционным полиномом всего лишь второй степени. Интересно, совпадает ли точность результата с ожиданиями? На этой идее построена формула механической квадратуры, аналогичная формуле'Симпсона.
Интервал интегрирования разбивается на четное число шагов длиной т, на каждой паре шагов функция заменяется ингерполяционным полиномом второй степени 2;2(!), интегралы от Ьз(!) 51п й! вычисляются аналитически, полученные выражбния суммируются. Вычисление многомерных интегралов. Метод Моите-Карло. Рассмотрим задачу вычисления интегрзла по многомерному кубу 11 1 ~ ''' ~ ! (Х!' ХМ "'~ Хл) иХ! икз" о о о Нетрудно и здесь построить формулы механических квадратур, аналогичные, например, формуле Симпсона. Проще всего такие формулы получить, используя процедуру повторного интегрирования, т.е.
заменяя многомерный интеграл иа равный ему ! 1 1 ]с с(х, ~ а'хз ... ]г У(х„х, ..., х„) !5х„. о о о 1ч. г ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИЕЯ 56 В двумерном случае для «элементарной ячейки» имеем коэффициенты (аналогичные коэффициентам 1, 4, 1 в одномерной формуле Симпсона), изображенные на рис. 7О. Суммируя интегралы по элементарным ячейкам, получаем коэффициенты, частично изображенные на рис.
7б. Эти коэффициенты поставлены около точек сетки, покрывающей двумерный квадрат. Вычисление интеграла по такой квадратурной формуле состоит в вычислении значений У в узлах сетки, умножении на соответствующий коэффициент и суммировании результатов. Аналогичные формулы можно построить и в кубах бблыпих размерностей, но пользы от этого мало. Дело в том„что при росте размерности обьем вычислений катастрофически растет. Операция интегрирования, справедливо считающаяся одной из самых элементарных в анализе, практически является одной из самых сложных, точнее трудоемких.
Поэтому описанные выше квадратуры, основанные на регулярных сетках, используются в практических вычислениях лишь для двумерных и трехмерных пространств. При переходе к вычислению интегралов по кубам большей размерности применяется другой метод, получивший название метода Монте-Карло. Он состоит в том, что с помощью специальных быстро работающих алгоритмов генерируется последовательность «случайных» точек единичного л-мерного куба х', хз, ..., хм е я", в каждой точке вычисляется значение У = У(х'"), и в качестве при- ближенного значения интеграла принимают величину М ' ~ У„,. Что касается алгоритмов, генерирующих случайные точки (соответствующие программы называют «датчиками случайных чисел»), то их разработка — отдельная достаточно тонкая наука.
Эти точки должны быть «равномерно распределены» в л-мерном кубе, т,е. они не должны «сбиваться в кучу» и оставлять в кубе «пустоты», в которые долго не попадают генерируемые точки. Можно еще иначе пояснить требование равномерности распределения случайных точек. Выделим в кубе некоторую часть О' не слишком причудливой формы и не слишком малой меры. Тогда число точек последовательности х', хз, ..., х"', попавших в о, должно быть близко к М шез о и не только асимптотически (при М- «ь), но и при конечных, не слишком больших М.
Разумеется, если мера шез о мала, такое свойство проявляется лишь цри очень больших длинах последовательности случайных чисел (поскольку случайные числа выдает программный датчик,' работающий детерминированно, их называют псевдослучайными). Ограничимся 'этим поверхностным описанием, дающим самое общее представление о важном разделе вычислительной математики. Добавим еще несколько слов о вычислении интеграла от У по слож- ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОЕ ной области й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
