Главная » Просмотр файлов » Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku

Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 10

Файл №810773 Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku) 10 страницаFedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773) страница 102020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Иногда зту задачу трактуют и как задачу наилучшей (в норме С) аппроксимации функции ГР полиномом степени не выше р — 1, Чебышевым была указана явная формула Т (!) = —,соз (рагссоз г]. (14) Правая часть, несмотря на тригонометрическую форму представления, в действительности является именно полиномом от ! степени р. Если нас интересует полипом, наименее уклоняющийся от нуля на произвольном интервале 1а, Ь], следует сделать замену переменных а+Ь Ь вЂ” а 2 / а+Ы х= — + — / г= — х —— 2 2 ' Ь-а ~ 2 которая переводит интервал — 1 и ! к 1 в а к х и Ь. Очевидно, Множитель ](Ь вЂ” а)/2]Р введен для сохранения нормировки: коэффициент при хг в тр(х) равен единице.

Легко вычислить корни полинома Чебьппева, используя его тригонометрическое представление (14): 22 — 1 2 Р Для /г = 1, 2, ..., р получаем разные корни. Их значения имеют простую геометрическую интерпретацию: полуокружность единичного радиуса нужно разделить на 2р равных частей и из каждой нечетной тачки деления опустить перпендикуляр. Отметим, что плотность корней повышается на концах интервала [ — 1, 1]. Корни чебышевского полинома на произвольном интервале (а, Ь] суть а+Ь Ь-а 22-! х = + — сов — и. 2 2 2Р Полиномы Чебьппева являются хорошим базисом в пространстве функций, заданных на каком-то интервале, для определенности на ИИТИРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ зз1 1 — 1, 1].

Базис — важное понятие в приближенных методах. Напомним, что это система функций, обладающая свойством полноты, т.е. другие функции можно сколь угодно точно представлять конечными суммами (линейнимн агрегатами) функций базиса с числовыми коэффициентами. Кроме свойства полноты, с практической точки зрения важна «цена» (в числе операций) вычислений функций базиса, С этой точки зрения удобен степенной базис (1, г, гз, ..., гл, ...). Он является полным. Полипом с коэффициентами а„, аи ..., а„вычисляется достаточно просто, Обозначая частичные суммы через З =~ аРГ'", Р-Ь полипом зз вычисляем рекуррентно: Зь-1 = Пь-1 + Рзь К =а, л л т.е.

за л сложений и л умножений. К сожалению, степенной базис обладает серьезным дефектом: он плохо обусловлен. Плохими являются такие базисы, элементы которых котя и линейно независимы, но очень «похожи» друг на друга. Рисунок б поясняет, что имеется в виду. Точка А в плохом базисе имеет представ- л ление а,~р, + азуз с очень большими, противоположными по знаку и близкими друг к другу по модулю коэффициентами ап ИЗ.

Вычисление такой суммы сопровозкдается уже знакомым нам неприятным явлением — сокращением знаков. Итак, плохой базис — это «сплюснутый» базис. Есин читатель потрудится «нарисовать» графики функций г, гз', ..., Узз, едва ли он отличит нх друг от друга, н это заставит его насторожиться. Если читатель сможет найти аппроксимацию какой-либо нормальной функции полнномом высокого порядка, он увидит, что коэффициенты растут очень быстро при повышении степени (т.е. при уменьшении погрешности аппроксимации). При не таких уж больши:с степенях (прн р, равных 20, 30, 40) они достигают столь больших величин, что вычисление полинома на ЭВМ, имеющей 10 — 15 десятичных знаков в мантиссе машинного числа, оказывается невозможным из-эа полноуь потери точности.

Вспомннм, что совсем не так ведут себя коэффипзгеитм разложения какой-либо,функции по такому хорошему базису, как тригонометрический: коэффиппеатн Фурье «честно» убывают в соответствии со степенью гладкости функции. Хорошими базисами являются ортогональные нли близкие к ним. Это одна нз причин, определяющих основы зычислитзльноа мАтвнлтнки большую роль различных ортогональных систем функций в ириближенных мепщах. Полиномы Чебышева с этой то шн зрения хороши, Ови образуют ортогональную (правда, в специальной метрике с весом) систему функций: 1 ~ ть(с) т (с) ~ — '~ —— б'. -! Полиномы Чебышева близки к известному хорошему базнсу— тригонометрическому и, в сущности, совпадают с ним с точностью до замены независимого переменного х = агссоз С.

Дело'стало только за «ценой» вычисления Тг(с). Но и здесь ситуация достаточно блаюпрнятиая: существует удобная рекуррентная формула, позволяющая очень дешево вычислить в какой-то точке с последовательность Т (с), т,(с), ...: т,(с) = 1, т,(с) = с, ..., ть+ (с) 2с ть(с) — ть,(с). и Таким образом, вычисление ~ аь т„(с) стоит, как нетрудно под*-о считать, примерно 2р умножений и 2р сложений. $4. Вычисление определенных интегралов Речь пойдет об одной из самых распространенных в анализе опера- ций — вычислении определенного интеграла $У(с) й.

Весьма общий подход состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию /(с) какой-то другой функцией 7(с1, для которой интеграл вычисляется аналитически. Итак, строим с'(с) с оценкой 1Лс) — 7(с)! % с, 'с с е [а, а), и полахаем приближенно ь ь $дс) ссж~7(с) й с очевидной оценкой погрешности з(Ь вЂ” и). Введем на (а, Ц сетку (сь)„"„в и таблицу У„)„" о, являющуюся ограничением подынтесральной функции 1 на сетку. Рассьн)трим несколько шюстйх вариантов 'построения /, приводящих к широко распространенным формулам. 49 Ь 41 вычнсленне опгеделенных ннтепллое 1.

Функция г(г) строится как кусочно-линейная интерполяция [у'„)» на равномерной сетке с шагом т = (Ь вЂ” а)/Ф. Очевидно, что ~ 7(г) ~й = ',~ 0.5 (у„+ У„,.,) т = О а о =т(05уо+У~+Уг+" +Ум-1+05ун). Эта формула известна как Формула транедий. Формулы такого сорта ф С„У„) называют мехпническими квадратурами, ф— коэффициентами (весами) квадратуры, г„— ее узлами.

Точность формулы трапеций зависит от гладкости У. Если У ~е Ир(С), то 1 У(г) — /(г) ) «0.5Ст и погрешность формулы трапеций не превосходит 0.5Сг(Ь вЂ” а). Если У на 1а, Ь1 имеет вторую производную, ограниченную числом С, то линейная интерполяция на каждом малом интервале есть интерполяциоиный полипом первой степени: ~Дг) — 7(г) ~ ц 0 5ггС и погрешность формулы трапеций не превосходит 0.5тгС(Ь вЂ” а). 2.

Еше более популярна формула Симпсона. Она так же строится на основе равномерной соски, содержащей четное число интервалов. Находится таблица Д„)~"' и У(1) строится как кусочно-квадратичная интерполяция, т.е. на каждой паре интервалов (гг„, гг„~н гг„+г) по значениям гг„, угв+„уг„~г строится интерполяционный полипом Лагранжа второй степени. Несложные выкладки дают аде ( у(г)д~=ъ-, у„+4!„„, +у„„). Суммируя для и= О, 1, ..., Ф вЂ” 1, получаем ь и-1 ~7(1) Ы=-, '~(У +4У „+У „) = а -о = з Уо + 4А + юг+ 4уз + " + ага-г + ага-1 + Угн) Формула легко запоминается, ее точность легко оценивается, Если функция у имеет третью производную и ~ У"'(г) ~ ц с, то ~ 7(г) — У(г) ~ ц Стг/3 и иогрелпюсть формулы Симпсона не превосходит Ст (Ь вЂ” а)/3, т= (Ь вЂ” а)/2М. Однако теоретические оценки не очень популярны среди прахтнков.'Если нужно вычислить' интеграл с погрешностью е, то мало кто основы вычислительной млтвмлтнкн 1ч.

г сначала оценит третью производную функции у и вычислит шаг сетхи т ° ((Зе/С(Ь вЂ” ' а))) ог. Дело, конечно, в том, что сама оценка завышена и тем более завышена константа С, особенно если функция У задана сложным алгоритмом. Поступают иначе. Вычисляя интеграл с небольшим числом узлов (М= 2 + 3), получают число Ю,; вычисляя интеграл с удвоен- Ч'вблнпа 5 ным У, получают, 5, Ясли модуль ~5 „— 5,~ с,е, число 5 считают ответом с требуемой точностью.

В прот(явном случае вычисляют еще 5р, и сравнивают ~5г,„— 5гл~ %~в, и т.д. Нужно иметь в виду, «то для гладких функций у ча интеграл вычисляется очень~ точно при неожиданно малом~ числе узлов. Поясним на конкретном примере полезный прием, позволяющий заметно повысить точность ответа, когда известны 5н, 5 „, ... (это так называемая экстраполяция Ричардсона). Вычислим, например, г ~ е" ~й = ег — 1 = 6.389056098. о В табл. 5 представлены (У„) и коэффициенты квадратур Симпсона С„для Ф, равных 1, 2, 4.

По таблице легко вычисляются значения Ю = б 420727761 Яг = 6.391210176 5з = б 3891937. Относительные погрешности этих величин суть 0.5, 0.03, ОЛ)02 7,'. Для многих инженерных приложений даже погрешность 0.5 % считается малой. Экстраполяция Ричардсона. Вычисление значений 5л для нескольких Ф открывает возможность в качестве «бесплатного приложения» получить значительно более точное значение интеграла. Это достигается простой процедурой экстраполяции полученных значений. Идея очень проста. Пусть для величины Я имеются приближенный метод вычисления с малым параметром т и теоретическая оценка 5=5, + Стг+ о(тг). Посюянная С, конечно, неизвестна, порядок же погрешности р иавестен.

3 41 вычислеиие опгеаелеииых иитнтллов Если вычислены две величины Ю, и Л„мы имеем два следующих соотношения: Я= Лм + С(гт)г+ о(тл), Я= Б, + Стг + о(тг), Из них можно найти о с точностью до о(тл), исключив главный член погрешности. Умножая второе уравнение на гг и вычитая из него первое, получаем 5 = (гав, — Бы)/(гг — 1) + о(тг) В табл, 6 представлены результаты: значения Я„вычисленные по формуле Симпсона, и значения Б, полученные экстраполяцией Ричардсона по значениям Яп Явл и Зол, Бом.

Для всех величин приведена погрешность (абсолютная). Выше было указано, что погрешность формулы Симпсона не превосходит о(т'), поэтому экстраполяция проводилась сначала при р= 3. Результат оказался обескураживающим: экстраполяция не только ие повысила точности, но и дала заметно худший результат. В чем же дело? Причина кроется в очень важном обстоятельстве, которое никогда не следует забывать, применяя подобную экстраполяцию. Обычно порядок погрешности р устанавливается на основе теоретиче- Таблица б скнх оценок, которые, как правило, дают завышенное значение. Завышение оценки может влиять как на коэффициент при тг, так и на саму степень.

Фактически точность может быть более высокой. Те же соображения могут быть использованы в условиях, когда не только коэффициент С в оценке погрешности, но и степень р не известны. Разумеется, теперь надо иметь три приближенных значения, чтобы исключить член Стг с двумя неизвестными. Формулы выводятся просто: б,=я+ Се" + о( ), бм = и+ г С" + о("), б„= я+2 г С. + о(. ), основы вычяслитзльноя млтвмлтихн Пренебрегая членами о(тг), имеем (Я, Ям)/(Я, Я,) 2 .

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее